数学九年级上册（2024）1.4 相似三角形的判定优秀综合训练题

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参考答案
题型01
利用平行判定三角形相似
1．C 2． 3． 4.D
5.【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴．
6.【详解】证明：过点C作，交于点M．
则，
∴．
∵点D为的中点，
∴．
∴①，
∵，
∴，
∴②，
由①和②可知，．
题型02
两角分别相等的两个三角形相似
1.C 2.70
3.【详解】（1）证明：，，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，，
，
解得（负值已舍去），
则的长为．
4.【详解】（1）证明：，，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，，
，
解得（负值已舍去），
则的长为．
5.【详解】证明：∵，
∴，
∵D、E分别是边、的中点，
∴是的中位线，
即，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
6.【详解】证明：在中，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
题型03
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
1.C 2．B
3.【详解】证明：∵，
∴，
∵，
∴．
4.【详解】证明：，
则，
，
，
，
，
．
5.【详解】（1）证明：∵是的高，
∴．
又∵，
∴；
（2）证明：由（1）知，
∴，即．
又∵，
∴．
6.【详解】证明：∵四边形是正方形，，
∴，．
∵P为CD的中点，
∴．
∵，，
∴．
∴．
题型04
三边成比例的两个三角形相似
A 2．C 3．/度 4.
5.【详解】（1）证明：∵，
．
．
．
．
（2）证明：，
．
由（1）可知：，
．
题型05
添加条件使两个三角形相似
1．C 2．D 3.D 4.（答案不唯一）5.①②③
题型06
在网格中判断相似三角形
B 2. C
3.【详解】证明：由题意可知，．由勾股定理，得．
5.【详解】（1）解：如图所示，取格点G，连接，，
由网格得，点G，A，C三点共线
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形
∴
∴；
由勾股定理得，；
（2）解：∵在中，，，，
∵在中，，，
∴
∴．
题型07
相似三角形判定的综合
1【详解】（1），
证明：∵，
又，
∴，
∴，
（2）解：，证明如下，
∵，
∴，
∵为线段的中点，
∴，
∴， 即
又∵，
∴,
同理可得，即
又∵
∴．
2.【详解】（1）解：相似．理由如下：
，
．
（2）解：由（1），得．
又，
．
3.【详解】证明： ，
，
，
，
，
，
．
4.【详解】（1）证明：∵，，
∴，，
在和中,
，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
5.【详解】（1）证明：，
，
是正三角形，
，
，
，
，
，
∴，
（2）解：∵，
∴，
∴，
故答案为：的长度为．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，即，
∴点是的中点；
（2）解：如图，延长交延长线于点，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∵是中点，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，即，则，
∵，
∴，
∴，
∴，解得，
即．
2.【详解】（1）解：有两角对应相等的两个三角形相似，据此可得小星说法对；有两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似，据此可得小红的说法对；有两边对应成比例，且一组角对应相等（不是成比例的两边的夹角）的两个三角形不一定相似，据此可得小亮的说法错；
故答案为：对，对，错；
（2）证明：选小星说法，
∵，，
∴；
选小红说法，
∵，，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
3.【详解】（1）解：由是公共角，可得要使，
所以还需要补充的一个条件是：，，或；
（2）解：如图，延长到点D，使，

∵，
即
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴，
∴．
4.【详解】（1）证明：在和中，
，
∴，
∴；
（2）证明：如图，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
5.【详解】（1）证明: ∵是的高,
∴,
∵,
∴，
∴，即，
又∵,
∴；
（2）∵点是的中点,,
∴,
在中,
∵,
，
，
∵，
，
，
，
．
故答案为：．
1【详解】（1）证明：四边形是矩形，
，
点是的中点，
，
将沿着折叠后得，
，，
，，
，
，
，
平分．
（2）证明：由折叠可得：，
由（1）得：，
，
，
，
，
，
．
2.【详解】（1）证明：是等腰直角三角形，
，，
，
，
是的中点，
，
在和中，
，
；
（2）证明：和是两个全等的等腰直角三角形，
，
，
即，
，
，
．
3.【详解】(1)证明：∵四边形是正方形，
∴；
∵
∴，
∴，；
∴；
又∵；
∴．
（2）解：∵点M是的中点，正方形边长为4，
∴，
设，则，
在中，，
∴，解得：，
∴
∵；
∴，即
∴，，
∴的周长．
（3）在点H的运动过程中，的周长P始终为8，是一个定值，理由如下：
设，则，
在中，
∴，即，
又∵，
∵；且相似比为：
∴的周长的周长．
∴在点H的运动过程中，的周长始终为8，是一个定值．
4.
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（2）证明：∵四边形是正方形，
∴，，，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵点在的延长线上，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：如图，延长到点，使，连接，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
A 2．D 3.B
4.证明：，，
，
四边形是正方形，
，，
，，
又，
．
5.【详解】（1）解：(1)
（2）解：∵在矩形 中，
∴，
由（1）知，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．