湘教版（2024）九年级上册（2024）1.5 相似三角形的性质优秀练习

这是一份湘教版（2024）九年级上册（2024）1.5 相似三角形的性质优秀练习，文件包含第二章《匀变速直线运动的研究》20262027年人教版高一物理必修一单元自测卷解析版pdf、第二章《匀变速直线运动的研究》20262027年人教版高一物理必修一单元自测卷学生版pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共21页， 欢迎下载使用。

题型01
利用相似三角形的性质判断比例式的正确性
1．如图，则下列式子中不成立的是（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质得出，逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：∵
∴
∴，故A，B，C正确,D错误
故选：D．
2.如图，已知、分别在的、边上，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了相似三角形的性质，如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边成比例，根据相似三角形的对应边成比例列式解答即可．
【详解】解：∵相似，
∴，
∴，
∴A、C、D错误，不符合题意，B正确，符合题意
故选：B．
3.如图,在中,,若,则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】本题考查相似三角形的判定及性质．通过条件得出,再通过得到对应边的比例系数,利用知识点相似三角形周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方选出本题答案．
【详解】解:∵,
∴,
又∵,
∴,故A错误;
∴,故B错误;
∴,;故C错误．
故选:D．
题型02
利用相似三角形的性质求线段的长度或角度
1.（24-25九年级上·湖南岳阳·期中）已知，且相似比为3，若，则为（ ）
A．2B．9C．18D．
【答案】A
【分析】本题考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
根据相似三角形对应边的比等于相似比求解即可．
【详解】解：∵，相似比为3，
∴，
∵，
∴．
故选：A．
2.（24-25九年级上·湖南永州·期末）已知，若，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的对应角相等得到，再根据三角形内角和求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
3.如图，在由完全相同的小正方形组成的网格中，已知，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
利用相似三角形的性质解答即可．
【详解】解：∵为一个小正方形的对角线，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
4.（23-24九年级上·湖南郴州·期中）若，相似比为，则对应边的中线比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了相似三角形的性质的应用，能理解相似三角形的性质是解此题的关键，注意：相似三角形对应边上中线的比等于相似比．
相似三角形对应边上中线的比等于相似比，根据以上性质得出即可．
【详解】解：与的相似比为，
∴与对应边上中线的比是，
故选：A．
5.（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）两个相似三角形的周长之比为，那么它们对应边上的高之比是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了相似三角形的性质，相似三角形对应边上的高的比和周长的比等于相似比，据此求解即可．
【详解】解：∵两相似三角形的周长之比为，
∴两相似三角形的相似比为，
∴它们的对应边上的高的比为．
故选：D．
6.已知，，则与的相似比是 ；与的相似比是 ．
【答案】
【分析】本题考查求相似比，掌握相似三角形对应边的比等于相似比是解题的关键．
根据相似三角形对应边的比等于相似比解答即可．
【详解】解：，，
与的相似比，与的相似比，
故答案为：；．
7.已知：如图在中，，高，它的内接矩形（点E在边上，点H、G在边上，点F在边上），与边之比为，求的长．
【答案】
【分析】设矩形的长，则宽，易证四边形是矩形，则，根据矩形的性质得出，推出，根据相似三角形的性质计算即可得解．
【详解】解：设矩形的长，则宽，
四边形是矩形，
，，
，
是的高，
，
四边形是矩形，
，
，
（相似三角形对应边上的高的比等于相似比），
，，
，
，
解得：，
．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质．解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质的运用，注意：矩形的对边相等且平行，相似三角形的对应高的比等于相似比．
题型03
利用相似三角形的性质求周长或面积
1.如图，，，相交于点E，，，则与的周长比是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．利用平行线证明三角形相似，得到相似三角形的周长比等于对应边的比求解即可．
【详解】解：，
，，
，
，
，，
，
设的三边分别为a、b、c，的三边分别为A、B、C，
则，
与的周长比；
故选：A．
2.（25-26九年级上·湖南常德·期中）若与相似，且对应边的比为，则与的面积比是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是掌握“相似三角形的面积比等于相似比的平方”这一性质．
根据相似三角形的面积比与相似比的关系，结合题目中给出的对应边之比（即相似比），计算面积比．
【详解】已知与相似，且对应边的比为，
根据相似三角形的定义，对应边的比即为相似比，因此两三角形的相似比为．
又因为相似三角形的面积比等于相似比的平方，
所以与的面积比为．
故选：D．
3.（25-26九年级下·湖南衡阳·开学考试）如图，，，与的面积分别是与，周长分别是与，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用相似三角形周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方、对应边比等于相似比的性质，逐一判断选项．
【详解】解：已知，，
选项：相似三角形的周长比等于相似比，故，正确；
选项：，错误；
选项：相似三角形的面积比等于相似比的平方，故，错误；
选项：，不是对应边，无法确定比例，错误；
故选：．
4.（23-24九年级上·湖南郴州·期末）两个相似三角形的对应边上的中线之比为，它们的面积比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查相似三角形性质的应用，解题的关键是掌握：相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比；相似三角形的面积比等于相似比的平方．
【详解】解：∵两个相似三角形的对应边上的中线之比为，
∴两个相似三角形的相似比为，
又∵，
∴两个相似三角形的面积比为．
故选：C．
5.（23-24九年级上·湖南邵阳·期中）如果，且的三边长分别为3、5、6，的最短边长为9，那么的周长等于 （ ）
A．4B．C．21D．42
【答案】D
【分析】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比是解题的关键．
【详解】解：，
相似比为，
，
；
故选：D．
6.两个相似三角形的最长边分别是和，并且它们的周长之和为，那么较小三角形的周长是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查相似三角形的性质，根据最长边分别为和确定相似比，相似三角形的周长比等于相似比，再根据周长之和为即可求解．
【详解】解：两个相似三角形的最长边分别为和，
相似比为，
较大三角形与较小三角形的周长比为：，
它们的周长之和为，
较小三角形的周长为：，
故选：B．
7.如图，在中，是的中点，，若的面积为4，则四边形的面积为（ ）

A．8B．10C．12D．16
【答案】C
【分析】根据相似三角形的性质得出的面积，即可求出答案．
【详解】解：∵点D是的中点，
∴
∵
∴，
∴，
∴
∴四边形的面积为，
故选：C．
【点睛】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定．
8.如图，在中，，，，为边上一点，过点作的平行线交于点，过点作的平行线交于点．
(1)求证：；
(2)若，求与的面积比．
【答案】(1)证明见解析；
(2)与的面积比为．
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质定理是解题的关键．
（1）根据平行相似证明、，即可得出；
（2）先证明四边形为平行四边形，得出边的关系，再运用相似三角形的面积比等于相似比的平方的性质解答即可．
【详解】（1）解：∵，
∴．
∵在和中，
，
∴．
同理：
∵，
∴．
∵在和中，
，
∴．
∴．
（2）∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴．
∵，
∴设，，
∴．
∵由（1）得，
∴．
∴与的面积比为．
9.如图， 在平行四边形 中，， 交 于点 ．
(1)求证：；
(2)如果的面积为， 求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，
（1）根据平行四边形的性质可得，进而即可得，进而即可判定；
（2）根据，求得，进而根据面积比等于相似比的平方即可求得的面积．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
；
（2）解：四边形是平行四边形，
∵
∴
∵的面积为，
∴的面积为．
题型04
利用相似三角形的性质进行证明
1．（25-26九年级下·湖南株洲·阶段检测）已知，如图，四边形 中，，，．求证：
(1)∽．
(2)．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据推出 ，进而证明；
（2）根据∽的对应边比例相等即可证明．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
又 ∵，
∴∽；
（2）证明：∵∽，
，
．
2.如图，是平行四边形的对角线，在边上取一点F，连接交于点E，并延长交的延长线于点G．
(1)若，求证：．
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件．
（1）依据等量代换得到，依据，可得，进而得出，即；
（2）依据，可得，依据，即可得出，再根据，可得，进而根据解题．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴
即；
（2）解：∵平行四边形中，，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
3.（24-25九年级上·湖南娄底·期中）如图，四边形为正方形，且E 是边延长线上一点，过点B作 于F点， 交于H点， 交于G点， 连接．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形判定和性质等知识点，熟练运用相似三角形判定和性质是解题的关键．
（1）由正方形性质和题干已知垂直条件得直角相等，后由对顶角相等，进而得到；
（2）由第一问的结论可得到相似比，既有，然后因为正方形四边相等，进行等量代换即可求出证明出结论；
（3）证明，然后通过相似三角形的对应角相等解题即可．
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：∵四边形是正方形，是对角线，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
题型05
利用相似三角形的性质求点的坐标
1.如图，已知两点A（2，0）B（0，4），∠1=∠2，则点C的坐标为（ ）
A．（0，1）B．（0，）C．（0，2）D．（0，3）
【答案】A
【分析】根据已知条件，易证△AOC∽△BOA．运用相似三角形的性质求OC即得解
【详解】解：∵∠1=∠2，∠BOA=∠AOC
∴△AOC∽△BOA
即
∴OC=1
∴点C的坐标是（0，1）．
故选A
【点睛】求点的坐标的问题可以转化为求线段的长度的问题，本题利用了三角形的相似的性质．
2.如图，是小芳在制作“简易视力表”时的两个成相似的“E”字，若把这两个“E”字放在图中的平面直角坐标系内，会发现它们的对应点B，G和对应点C，H的连线刚好经过原点O，其中点C，H均在x轴上．若，点G的坐标是，则点B的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了相似图形的性质及平面直角坐标系中坐标的变化规律．先根据已知条件得出的比值，在平面直角坐标系中，根据点G的坐标得出其横纵坐标的值，由题意易证得，从而得到相关线段的长度，进而求得点B的横纵坐标并最终求出点B的坐标．
【详解】解：∵，
∴，
又∵点，
∴，，
由题意知，，
∴，
∴，
∴，即，，即，
∴点B坐标为，
故选：D．
3.如图，在直角坐标系xOy中，A（﹣4，0），B（0，2），连结AB并延长到C，连结CO，若△COB∽△CAO，则点C的坐标为（ ）
A．（1，）B．（，）C．（，2）D．（，2）
【答案】B
【详解】根据相似三角形对应边成比例，由△COB∽△CAO求出CB、AC的关系AC=4CB，从而得到，过点C作CD⊥y轴于点D，然后求出△AOB和△CDB相似，根据相似三角形对应边成比例求出CD=、BD=，再求出OD=，最后写出点C的坐标为（，）．
故选：B．
点睛：本题考查了相似三角形的性质，坐标与图形性质，主要利用了相似三角形对应边成比例，求出是解题的关键，也是本题的难点．
4.如图，点的坐标分别是，如果以点为顶点的直角三角形与相似，则点的坐标可能是下列的（ ）
① ② ③ ④

A．①③B．②④C．①②③D．①②③④
【答案】D
【分析】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是根据相似三角形的判定：两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可判断．
【详解】解：在中，，，则是等腰直角三角形，
，
①、当点的坐标为时，，，则，故符合题意；
②、当点的坐标为时，，，则，故符合题意；
③、当点的坐标为时，，，则，故符合题意；
④、当点的坐标为时，，，则，故符合题意；
故选：D．

题型06
利用相似三角形的性质求解决折叠问题
1、如图，矩形中，为AB边上一点，，为CD边上一点，连接，将四边形沿翻折，点恰好落在AD边上处，点的对应点为，，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，设交于点，过作于点，设，由折叠的性质得，，，由勾股定理得到 ，求出，得到，，由，得到，求出，由，得到，求出 ，得到，由勾股定理求出 ，由，得到，求出，得到，由矩形的性质得到，，求出 ，由勾股定理求出，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】设交于点，过作于点，
设，
∵，
∴，，
由折叠的性质得：，，，，，
在中，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
2、如图，在等腰直角中，，M为边上任意一点，连接，将沿翻折得到，连接并延长交于点N，若点N为的中点，则的长为 ．
【答案】
【分析】过作于D，作于E，先得出四边形是矩形，设，则，利用勾股定理和相似三角形，即可得到的长，进而得出的长．
【详解】解：如图所示，过作于D，作于E，
又∵，
∴四边形是矩形，
设，则
∵，
∴，
∴，即，
∴，
在中，，即，
解得 (不合题意)，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
由折叠可得，，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质以及翻折变换的综合运用，勾股定理，矩形的判定与性质，灵活运用相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
3.（25-26九年级上·湖南郴州·阶段检测）如图，点是矩形的边上一点，沿直线将翻折，使得点落在边上，记作点．
(1)求证：；
(2)若，且，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，矩形的性质，翻折变换（折叠问题），勾股定理，
（1）根据两个角相等可证明；
（2）根据相似三角形的性质列比例式可得的长，再根据勾股定理列方程可得的值，从而可得答案；
熟练掌握相似三角形的判定与性质和折叠变换的性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∵沿直线将翻折，使得点落在边上，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；．
（2）解：∵，
∴，
∵，且，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵沿直线将翻折，使得点落在边上，
∴，
∴，
在中，，
即，
解得：，
∴．
题型07
相似三角形的判定与性质的综合
1.（24-25九年级上·湖南长沙·期末）如图，P为等边的边BC上一点，D为上一点，若．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质．
（1）根据等边三角形的性质得出，根据三角形的外角定理和角度的和差关系得出，即可证明；
（2）根据相似三角形对应边成比例即可解答．
【详解】（1）证明：∵等边，
∴，
∵，且，
∴，
∴．
（2）解：∵等边，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
解得：．
2.（25-26九年级上·湖南永州·期末）如图， ，点是线段的中点，且，已知
(1)求证：
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，含度角的直角三角形的性质，勾股定理，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）由垂直可得，，由余角的性质可得，据此即可证明；
（2）由已知可得，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，再由相似三角形的性质得，据此即可求解；
【详解】（1）证明：∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，点是线段的中点，
∴，
∵，
∴
在中，
∵，
∴，
即，
∴．
3.（25-26九年级上·湖南永州·期中）如图，在中，是上一点，且．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键．
（1）在这两个三角形中有一对已知角和一对公共角即可证明；
（2）根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．
【详解】（1）证明：∵，，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴．
4.（25-26九年级上·湖南·阶段检测）如图：中，是斜边上的高．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理：
（1）证明，即可求证；
（2）根据勾股定理可得，再由，即可求解．
【详解】（1）证明：是斜边上的高，
，
∵，．
∴．
∴，
∴，
∴；
（2）解：在直角中，，，
∴，
由（1）知，，
∴，
∴．
5.如图，在和中，是边上一点，且，．
(1)求证：；
(2)若，，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
（1）根据得出，进而根据两边成比例夹角相等，证明即可；
（2）根据（1）的结论，得出，代入已知条件即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
即，
∵，即，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
解得．
1.如图，在中，，，则（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的判定定理并结合已知可得，再根据相似三角形的性质可得，，最后利用面积之间的关系进行解答即可．
【详解】解：，
，
，
，，
设，则，，
，，
，
故选：C．
2.如图，D、E分别是的边上的点，，若，则的值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由已知条件易求得，由可证，，可得的值，再利用相似三角形的性质即可解决问题．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了等高的两个三角形的面积之间的关系和相似三角形的判定和性质，属于基本题型，熟练掌握相似三角形的判定和性质是关键．
3.如图，在中，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果点P，Q分别从点A，B同时出发，t秒后，与相似，则t的值是（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】C
【分析】本题考查了相似三角形的判定，三组对应边的比相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．注意分两种情况讨论求解．设t秒后，与相似，可表示出，，再分与是对应边和与是对应边两种情况，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．
【详解】解：设t秒后，与相似，则，，
当与是对应边时，则，
，
解得，
当与是对应边时，则，
，
解得，
故t的值为或时，与相似，
故选：C．
4.如图，在中，于D，作于E，F是中点，连交于点G．
(1)求证：；
(2)若，求的值．
【答案】(1)证明见详解
(2)
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，直角三角形的性质等知识，解题的关键是准确寻找相似三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．
（1）只要证明，可得，推出即可解决问题；
（2）利用直角三角形斜边中线定理求出，题根据，可得，由此可得，题利用第一问的结论，即可解决问题；
【详解】（1）证明：∵于，作于，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：如图，连接．
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
1.（25-26九年级上·湖南邵阳·阶段检测）如图1，为等边三角形，，点为边上的动点（点不与点，重合），且，其中点在边上．
(1)求证：；
(2)如图2，当运动到的中点时，求的长．
(3)是否存在点，使得点恰好是的中点？若存在，求的长，若不存在请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)的长为5
(3)不存在，理由见解析
【分析】（1）利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，得到，再利用两角相等的三角形相似求解；
（2）由题意易得，，然后可得，进而根据含30度直角三角形的性质可进行求解；
（3）根据点是的中点，则，设，则，根据可得，代入相关数值，结合一元二次方程的判别式即可求解．
【详解】（1）证明：三角形是等边三角形，
，
，，
，
，
，
，
；
（2）解：是等边三角形，点是中点，
，，
，
，
，
，
，
；
（3）解：不存在，理由如下：
∵为等边三角形，，
∴，
若是的中点，则，
设，则，
∵，
∴，
∴
∴，
∴，
∴
，
∴方程无实数解．
∴不存在这样的点．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定、等边三角形的性质、含30度直角三角形的性质和一元二次方程的应用，灵活运用所学知识是解题的关键．
2.如图1，已知正方形的边长为，点在边上，，连接，点、分别为、边上的点，且．
(1)求点E到的距离；
(2)如图2，连接，当、、三点共线时，求的面积；
(3)如图3，过点作于点，过点作于点，求的最小值．
【答案】(1)点E到的距离为1
(2)
(3)的最小值为
【分析】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，一元二次方程的判别式等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
（1）如图1中，过点作于．解直角三角形求出即可．
（2）过点作的垂线分别交，于点，（如图．设，证明，推出，构建方程求出即可解决问题．
（3）如图3中，设，．观察图象可知，当的值最小时，的值最小，利用相似三角形的性质构建一元二次方程，利用判别式，轨迹不等式求出的最小值可得结论．
【详解】（1）如图1中，过点作于．
四边形是正方形，
，
，
．
点到的距离为1．
（2）如图2中，过点作的垂线分别交，于点，．
，，共线，，
，
．
设，
且，
，
，
，
，
，
即，
，
，
，
，
，
．
（3）如图3中，设，．
四边形是正方形，
，，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
整理得，
，
，
解得或（舍弃），
的最小值为，
的最小值，
观察图象可知，当的值最小时，的值最小，的最小值．
3.（25-26九年级上·湖南益阳·阶段检测）如图，在矩形中，，．点沿边从开始向点以厘米/秒的速度移动；点沿边从点开始向点以厘米/秒速度移动．如果、同时出发，用（秒）表示移动的时间（），那么：
(1)当为何值时，为等腰直角三角形？
(2)求四边形的面积；提出一个与计算结果有关的结论；
(3)当为何值时，以点、、为顶点的三角形与相似？
【答案】(1)时，为等腰直角三角形
(2)四边形的面积为；在、两点移动的过程中，四边形的面积始终保持不变
(3)当经过秒或秒时，与相似
【分析】本题考查了相似三角形的性质及等腰直角三角形的性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．
（1）根据题意得出，，，由于为等腰直角三角形，则，求出的值即可；
（2）根据计算即可得出结论；
（3）由于以点、、为顶点的三角形与的对应边不能确定，故应分两种情况进行讨论．
【详解】（1）解：∵，，
点沿边从点开始向点以厘米/秒的速度移动，
点沿边从点向点以厘米/秒的速度移动，
∴，，，
当为等腰直角三角形即，
解得：．
（2）解：在中，∵，边上的高，
∴，
在中， ，，
∴，
∴，
∴由计算结果发现：在、两点移动的过程中，四边形的面积始终保持不变．
（3）解：∵与中均有，
若二者相似，则对应边应成比例，对应边不能确定，故应分两种情况进行讨论：
当时，
即，
解得（秒）；
当时，
即，
解得（秒）；
故当经过秒或秒时，与相似．
4.阅读与思考：
如图是两位同学对一道习题的交流，请认真阅读下列对话并完成相应的任务．
在中，是线段上一点，且，过点作交于点，使以为顶点的三角形与相似，求的长．

(1)写出正确的比例式及后续解答．
(2)指出另一个错误，并给出正确解答，
(3)如图，已知矩形的边长，某一时刻，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动；同时，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，是否存在时刻，使以为顶点的三角形与相似?若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)，见解析
(2)没有进行分类讨论，见解析
(3)存在，或
【分析】本题主要考查三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
（1）根据三角形相似的性质得到，再进行计算；
（2）根据题意可知另一个错误在于未进行分类讨论，进而解答即可；
（3）根据题意可知有两种情况分别是和，然后列出方程计算即可．
【详解】（1）解：由题意得，
正确的比例式是，
；
（2）解：另一个错误在于未进行分类讨论，如图，过点作
，则，
，
，
综上所述，为或．
（3）解：当时，设，则，
则由得，
，
解得：；
当时，
则由得，
解得：
综上所述，当或时以为顶点的三角形与相似．
5、[初步尝试]
（1）如图①，在三角形纸片中，，将折叠，使点B与点C重合，折痕为，则与的数量关系为________；
[思考说理]
（2）如图②，在三角形纸片中，，将折叠，使点B与点C重合，折痕为，求的值；
[拓展延伸]
（3）如图③，在三角形纸片中，，将沿过顶点C的直线折叠，使点B落在边上的点处，折痕为．
①求线段的长；
②若点O是边的中点，点P为线段上的一个动点，将沿折叠得到点A的对应点为点与交于点F，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）①；②
【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．
（2）利用相似三角形的性质求出，即可．
（3）①证明，推出，由此即可解决问题．
②设．证明，推出，因为，推出，判断出的取值范围，即可解决问题．
【详解】解：（1）如图①中，
折叠，使点与点重合，折痕为，
垂直平分线段，
，
，
，
，
．
故答案为．
（2）如图②中，
，
，
由题意垂直平分线段，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
（3）①如图③中，
由折叠的性质可知，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
②如图③中，设．
，，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
．
当时，．
综上所述，．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
1.（2026·山西·中考真题）如图，在正方形中，对角线，交于点．将线段沿射线方向平移，点，的对应点分别为点，，线段分别与，交于点，．当点是的中点时，的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由四边形是正方形得，由点是的中点得，由平移得，进而得，得出，代换即可求出．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
∵点是的中点，
∴，
由平移得，
∴，
∴,
又∵，
∴．
2．（2026·四川乐山·中考真题）如图，在 中，点 、 、分别是、 、 的中点，连接、、．若，则（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【分析】先证明，同理可证，解答即可．
【详解】解：点 、 分别是、 的中点，
∴，
∴，
∴，
同理可证，，
∴，
由，
∴．
3.（2026·四川眉山·中考真题）如图，矩形中，点在线段上，连接，平分交于点 ，过点 作，垂足为点，交于点．若，，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由矩形的性质结合角平分线容易证明，则，．容易证明，则，计算得，从而得到．由可判定，从而计算出，最后计算的面积即可．
【详解】解：设，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
解得，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
4.（2026·山东德州·中考真题）如图，在等腰 中，，点 是延长线上一点，，过点 作于点 交 于点 ．
(1)求证：；
(2)若， ，求线段 的长；
(3)若，，请直接写出的值．
【答案】(1)证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴
(2)
(3)
【分析】（1）由得，结合，利用等角的余角相等得出，再通过对顶角相等代换得，根据等角对等边即可证明；
（2）先由，结合和（1）中的结论，用表示与；再通过两角对应相等证明，得到，最后结合长，按比例分配求出即可；
（3）在上截取构造等腰直角，设求出的长度；再由等腰三角形底角度数推出，证得，进而求出即的长度；过作，由三线合一得到、的长度，算出的长，最后根据，利用平行线分线段成比例得出，化简计算即可．
【详解】（1）略
（2）解：∵，，
∴，，
由（1）得，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：如图，在上截取，
∵，
∴，
设，则，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
过点作于点，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
目 录
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc231745565" A组 巩固过关
\l "_Tc231745566" 题型01 利用相似三角形的性质判断比例式的正确性
\l "_Tc231745567" 题型02 利用相似三角形的性质求线段的长度或角度
\l "_Tc231745568" 题型03 利用相似三角形的性质求周长或面积
\l "_Tc231745569" 题型04 利用相似三角形的性质进行证明
\l "_Tc231745570" 题型05 利用相似三角形的性质求点的坐标
题型06 利用相似三角形的性质求解决折叠问题
题型07 相似三角形的判定与性质的综合
\l "_Tc231745574" B组 能力进阶
\l "_Tc231745575" C组 思维拔高
\l "_Tc231745576" 拓展 链接中考