初中数学湘教版（2024）九年级上册（2024）第1章 图形的相似1.3 相似图形精品练习题

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题型01
认识相似图形
1.（2025·湖南衡阳·模拟预测）湖南望城剪纸是国家级非物质文化遗产，内容淳朴秀美，具有浓郁的生活气息．剪纸艺人常为不同用途（如窗花、礼品装饰）创作同款“鲤鱼跃龙门”图案，其造型完全一致，仅整体尺寸根据需求放大或缩小，这体现了数学中（ ）
A．图形的平移B．图形的轴对称C．图形的相似D．图形的旋转
【答案】C
【分析】本题考查了相似图形的特征，掌握相似图形的特征是解题的关键，即相似图形强调形状相同而大小可变，而平移、轴对称和旋转均不改变图形大小．根据图案造型完全一致，仅尺寸放大或缩小，这符合图形相似的定义，即形状相同但大小不同，即可得解．
【详解】解： 图形形状相同但大小改变，
图形相似，即体现了数学中图形的相似．
故选：C．
2.下列各组图形中，不相似的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了相似图形的判定，理解相似图形的定义是解题关键．如果两个图形形状相同，但大小不一定相等，那么这两个图形相似，结合题中选项中所给的两个图形，运用上述的定义进行判定即可．
【详解】解：A. 两个图形均为正方形，是相似图形，不符合题意
B. 两个图形是相似图形，不符合题意；
C. 一个矩形，一个正方形，两个图形不是相似图形，符合题意；
D. 两个图形均为圆形，是相似图形，不符合题意．
故选：C．
3.下面几对图形中，相似的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据相似图形的形状相同，进行判断即可．
【详解】解：A，B，D三个选项中的图形形状不同，不相似，C选项中的两个图形形状相同，相似；
故选：C．
4.（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）观察如图所示的四组图形，不相似的图形是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用相似图形的定义解答即可．
【详解】解：由题意可知：
A. ，是相似图形，故不符合题意；
B. ，是相似图形，故不符合题意；
C. ，不是相似图形，符合题意；
D. ，是相似图形，故不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查相似图形的定义：把形状相同的图形叫做相似图形．
5.如图是视力表的一部分，其中开口向右的两个E之间的变换是（ ）
A．平移B．旋转C．相似D．轴对称
【答案】C
【分析】本题考查了几何变换的类型，熟练掌握几何变换的特征是解题的关键．根据几何变换的特征即可得到答案．
【详解】解：由图可知，两个开口向右的大小不一样，故只可能是相似，
故选C．
题型02
判断两个多边形是否相似多边形
1.（23-24九年级上·湖南岳阳·期中）下列命题中，正确命题的是（ ）
A．所有的正方形都相似B．所有的菱形都相似
C．底边相等的两个等腰三角形相似D．对角线相等的两个矩形相似
【答案】A
【分析】本题主要考查了相似多边形的判定，解题的关键在于熟知两个边数相同的多边形，如果它们的对应角分别相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形，据此求解即可．
【详解】解：A、∵所有正方形的四个角都是90度，对应边成比例，
∴所有的正方形都相似，故原命题正确，符合题意；
B、∵所有的菱形其四个角不一定对应相等，
∴所有的菱形不一定都相似，原命题错误，不符合题意；
C、底角相等的两个等腰三角形相似，原命题错误，不符合题意；
D、对角线相等的两个矩形不一定相似，例如长方形和正方形的对角线相等，但是它们不相似，原命题错误，不符合题意；
故选A．
2.（24-25九年级上·湖南永州·期末）下列图形一定相似的是（ ）
A．两个平行四边形B．两个矩形
C．两个等腰三角形D．两个等边三角形
【答案】D
【分析】本题主要考查了相似图形的定义，比较简单，要从边与角两方面考虑．
根据相似图形的定义，边对应成比例，角对应相等，对各选项分析判断后利用排除法解答．
【详解】解：A、两个平行四边形边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误；
B、两个矩形四个角相等，但是各边不一定对应成比例，所以不一定相似，故本选项错误；
C、两个等腰三角形的边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误；
D、两个等边三角形，形状相同，大小不一定相同，符合相似的定义，故本选项正确．
故选：D．
3.（24-25九年级下·湖南永州·开学考试）下列图形不一定相似的是（ ）
A．两个菱形B．两个圆C．两个等腰直角三角形D．两个正方形
【答案】A
【分析】本题考查了相似的判定，根据相似图形的判定方法求解即可．
【详解】解：A、角不一定相等，边不一定对应成比例，故两个菱形不一定相似，符合题意；
B、两个圆的半径对应成比例，则两个圆相似，不符合题意；
C、两个等腰直角三角形中，有一个直角，两个的锐角，对应相等，则两个等腰直角三角形相似，不符合题意；
D、两个正方形中，四个角都是直角，对应相等，对应边成比例，则两个正方形相似，不符合题意；
故选：A ．
4，下列命题正确的是（ ）
A．两个菱形相似B．各有一个角的两个等腰三角形相似
C．一角相等的两个直角三角形相似D．腰对应成比例的两个等腰三角形相似
【答案】B
【分析】本题考查了命题与定理的知识，用相似三角形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项，解题的关键是了解相似三角形的判定方法．
【详解】解：A、两个菱形的内角不一定相等，故不一定相似，故选项不符合题意；
B、有一个角的三角形中，角必须为顶角，两个底角分别是，可判定三角形相似，故选项符合题意；
C、如果相等的这个角是直角，则这两个直角三角形不一定相似，故选项不符合题意；
D、腰对应成比例但是顶角不相等的两个等腰三角形不一定相似，故选项不符合题意；
故选：B．
5.下列说法正确的是（ ）
A．所有的矩形都是相似形B．对应边成比例的两个多边形相似.
C．对应角相等的两个多边形相似D．有一个角等于的两个等腰三角形相似
【答案】D
【分析】此题主要考查了相似图形的判定，对应角相等，对应边成比例的多边形相似，缺一不可．利用相似图形的判定方法分别判断得出即可．
【详解】解：A、对应角都相等，但对应边的比值不一定相等，故此选项不符合题意；
B、对应边成比例，但对应角不一定相等，故此选项不符合题意；
C、对应角相等，但对应边的比值不一定相等，故此选项不符合题意；
D、有一个角等于的两个等腰三角形相似，此角度一定是顶角，即可得出两三角形相似，故此选项符合题意；
故选：D．
6.国旗法规定：所有国旗均为相似矩形，在下列四面国旗中，其中只有一面不符合标准，这面国旗是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据已知条件分别求出矩形的长与宽的比，即可得到结论．
【详解】解∶∵，，，，
∴，
∴B选项不符合标准，
故选∶B．
【点睛】本题考查了相似形的应用，熟练掌握相似形的判定定理是解题的关键．
7.如图所示，判断四边形与四边形EFGH是否相似，请说明理由．
【答案】不一定相似，理由见解析
【分析】题目主要考查相似多边形的判定和多边形内角和定理，熟练掌握相似多边形的判定是解题关键．
考虑相似多边形除了角相等外，对应边也要成比例，据此即可得出结果．
【详解】解：不一定相似，理由如下：
根据题意得：，
，
对应角都相等，
但是两个四边形的对应边的比值无法确定，
∴四边形与四边形EFGH不一定相似．
题型03
与相似多边形相似比有关的计算
1.两个相似多边形一组对应边分别为，，那么它们的相似比为（ ）
A．3∶2B．2∶3C．4：9D．9∶4
【答案】B
【分析】根据相似多边形的性质即可求解．
【详解】解：依题意，它们的相似比为，
故选：B．
【点睛】本题考查了相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边之比等于相似比是解题的关键．
2.如图，在边长为1的正方形构成的网格中，四边形和四边形的相似比是（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了相似多边形的性质与判定，利用勾股定理求出两个四边形对应边的边长，可得，据此可得答案．
【详解】解：由题意得，，，，，，，，，
∴，
∴四边形和四边形的相似比是，
故选；C．
3.如图，以正方形各边中点为顶点，得到一个新正方形EFGH，则新正方形EFGH与原正方形的相似比为（ ）
B．C
．D．
【答案】B
【分析】本题考查了相似多边形，勾股定理，相似多边形对应边的比叫做相似比．设正方形的边长为，根据勾股定理求出正方形EFGH的边长，即可求解．
【详解】解：设正方形的边长为，
∵、、、分别为正方形各边的中点，
∴，
∵，
∴新新正方形EFGH与原正方形的相似比，
故选：．
4.五边形五边形，相似比为，若，则 ．
【答案】6
【分析】本题考查的是相似多边形的性质，熟记相似多边形的对应边的比即为相似比是解本题的关键．利用相似五边形的对应边之比等于相似比求解即可．
【详解】解：五边形五边形相似比为．
，
，
．
故答案为：6
5.书籍开本指书刊幅面的规格大小．如图，将一张矩形印刷用纸对折后可以得到2开纸，再对折得到4开纸，以此类推，可以得到8开纸、16开纸……这些开本都是相似图形，我们所用的数学课本是16开本，有些图书是32开本，16开的纸和32开的纸的相似比是______．

【答案】
【分析】设32开的纸的长为a，宽为b，则16开的纸的长为，宽为a，根据相似多边形的性质得到，然后整理求解即可．
【详解】设32开的纸的长为a，宽为b，则16开的纸的长为，宽为a，
∵这两种长方形相似，
∴，
∴，
∴，
∴，或（舍去），
∴16开的纸和32开的纸的相似比是．
故答案为：．
【点睛】此题考查了相似多边形的性质，解题的关键是熟练掌握相似多边形的性质．
题型04
利用相似多边形的性质求线段长度与角度
1.下列说法中错误的是（ ）
A．相似多边形的对应边成比例B．相似多边形的对应角相等
C．相似多边形的边数相同D．对应边成比例的两个多边形一定是相似多边形
【答案】D
【分析】此题考查了多边形的性质及判定，根据相似多边形的性质及定义解答，熟练掌握相似多边形的定义和性质是解题的关键．
【详解】、 相似多边形的对应边成比例，此选项说法正确，不符合题意；
、 相似多边形的对应角相等，此选项说法正确，不符合题意；
、相似多边形的边数相同，此选项说法正确，不符合题意；
、 对应边成比例，且对应角相等的两个多边形是相似多边形，此选项说法错误，符合题意；
故选：．
2.秋天红透的枫叶，总能牵动人们无尽的思绪，所以诗人杜牧说：“停车坐爱枫林晚，霜叶红于二月花．”如图是两片形状相同的枫叶图案，则x的值为______．

【答案】6
【分析】此题考查的是相似多边形的性质，即两个多边形相似，其对应边、对角线的比等于相似比．
根据两个枫叶图案的形状相同，可知两个图形相似，再根据相似多边形的对应边的比等于相似比可得结果．
【详解】解：由两个枫叶图案相似，
可得，
解得，
即的值为6．
故答案为：6．
3.若四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，AB与A′B′，AD与A′D′分别是对应边，AB＝8cm，A′B′＝6cm，AD＝5cm，则A′D′等于（ ）
A．cmB．cmC．cmD．cm
【答案】B
【分析】直接利用相似多边形的性质，得出对应边成比例进而得出答案．
【详解】∵四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，AB与A′B′，AD与A′D′分别是对应边，
∴，
∵AB=8cm，A′B′=6cm，AD=5cm，
∴，
解得：A′D′= ．
故选：B．
【点睛】本题考查的知识点是相似多边形的性质，解题关键是熟记相似多边形对应边成比例．
4.一个四边形各边长为2，3，4，5，另一个和它相似的四边形最短边为8．则四边形的最长边长为（ ）
A．12B．14C．16D．20
【答案】D
【分析】考查了相似多边形的性质，理解并掌握相似多边形的性质是解题的关键．设四边形最长边长为x，根据相似多边形的性质列得，从而求出x．
【详解】解：设四边形最长边长为x，
∵四边形相似四边形，
∴，
解得，
故选：D．
5.（24-25九年级上·湖南郴州·期中）如图，在矩形中，，截去矩形，若剩下的矩形与矩形相似，则等于（ ）
A．2B．C．4D．
【答案】D
【分析】本题考查了相似多边形的性质，由相似多边形的对应边成比例可得，代入数据计算即可．
【详解】解：∵矩形与矩形相似，
∴，
又∵，，
∴，解得：，
故选D．
6.（24-25九年级上·湖南娄底·期末）如图，已知两个四边形相似，则可以确定___________，___________．
【答案】 /度
【分析】本题主要考查了相似图形的性质，熟知相似图形对应边成比例，对应角相等是解题的关键．根据相似图形对应边成比例，对应角相等进行求解即可．
【详解】解：∵两个四边形相似，
∴，
∴，
故答案为：，．
7.如图，已知四边形与四边形相似，点的对应点分别为．
(1)求的度数；
(2)求边的长度．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了相似四边形的性质，四边形的内角和，掌握相似四边形的性质是解题的关键．
（）根据相似四边形的性质得到，再根据四边形的内角和即可求解；
（）根据相似四边形的性质求解即可．
【小问1】
解：四边形与四边形相似，
，
．
【小问2】
解：∵四边形与四边形相似，
，
，
解得．
8.如图，四边形四边形，求的大小和的长度．
【答案】，，
【分析】本题考查相似多边形的性质，多边形内角和问题．观察图形，根据相似多边形的对应角相等可得出，，再根据四边形的内角和等于可计算求出的大小，然后根据相似多边形的对应边成比例即可求出的长度x．
【详解】解：∵四边形四边形，
∴，∠A=∠E=118°，
在四边形中，，
∵四边形四边形，
∴，
∴，
解得，
∴．
题型05
利用相似三角形的性质求线段长度与角度
1.（25-26九年级上·湖南永州·期中）已知，且与的相似比为3，若，则为（ ）
A．2B．4C．9D．18
【答案】A
【分析】本题考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
根据相似三角形对应边的比等于相似比求解即可．
【详解】解：∵，相似比为3，
∴，
∵，
∴．
故选：A．
2.（25-26九年级上·湖南张家界·期末）若，，则_______
【答案】40
【分析】先利用三角形内角和定理求出的度数，再根据相似三角形对应角相等的性质得出的度数即可．
【详解】解：在中，∵，，
∴，
又，
．
3.如图，若，且，，．则______．
【答案】
【分析】本题利用了相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质．根据，即可求解．
【详解】解：∵，，，
，
∵，
，
，
．
故答案为：．
4.（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）如图，已知，，，，．
(1)求的度数；
(2)求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了相似三角形的性质．熟练掌握相似三角形的性质是解题关键．
（1）由相似三角形的性质和角的和差即可得出结论；
（2）由相似三角形的对应边成比例，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴．
1、将一张矩形纸片沿较长边的中点对折，如果得到的两个矩形都和原来的矩形相似，那么原来矩形较长边和较短边的比是( )
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形对应边成比例的性质是解题关键．表示出对折后的矩形的长和宽，再根据相似矩形对应边成比例列出比例式，然后求解．
【详解】解：设原来矩形的长为，宽为，
则对折后的矩形的长为，宽为，
∵得到的两个矩形都和原矩形相似，
∴，
解得，
∴．
故选：B．
2.（25-26九年级下·湖南株洲·阶段检测）如图所示，已知，，且，，若图中两直角三角形相似，则________________．
【答案】或
【分析】分两种情况讨论，，根据相似三角形的性质，列出式子计算，即可求解．
【详解】解：∵，，，
∴，
∵，，图中两直角三角形相似，
∴，，
①当时，有，则，即，
．
②当时，有，则，
．
3.（23-24九年级上·湖南永州·阶段检测）如图，在矩形中，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形相似于矩形；再连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形相似于矩形；……按照此规律作下去．若矩形ABCD的面积记作，矩形的面积记，矩形的面积记作，……，则的值为______．

【答案】
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似多边形的性质.解题的关键是根据已知和矩形的性质可分别求得，再利用相似多边形的性质可发现规律.
【详解】∵四边形是矩形，
，
，
∵按逆时针方向作矩形的相似矩形，
∴矩形的边长和矩形的边长的比为，
∴矩形的面积和矩形的面积的比,


故答案为：.
4.在的矩形花坛四周修筑小路．
(1)如图①，如果四周小路的宽均相等，且宽度为x，那么矩形和矩形相似吗？请说明理由；
(2)如图②，如果互相平行的两条小路的宽相等，且宽度分别为，试问：当两条小路的宽x与y的比值为多少时，矩形和矩形相似？请说明理由．
【答案】(1)不相似，见解析
(2)，见解析
【分析】此题考查了相似多边形的判定．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
（1）首先设四周的小路的宽为x，易得，则可判定：小路四周所围成的矩形和矩形不相似；
（2）由相似多边形的性质可得：当时，小路四周所围成的矩形和矩形相似，继而求得答案．
【详解】（1）解：不相似，理由如下：
如果四周的小路的宽均相等，那么小路四周所围成的矩形和矩形不相似；
设四周的小路的宽为x，
∵，，
∴，
∴小路四周所围成的矩形和矩形不相似；
（2）解：当小路的宽x与y的比值为时，
矩形和矩形相似．
理由如下：
当矩形和矩形相似时，解得
所以当小路的宽x与y的比值为时，矩形和矩形相似．
1.如图，矩形A'B'C'D'在矩形ABCD的内部，AB∥A'B'，AD∥A'D'，且AD=12，AB=6，设AB与A'B'、BC与B'C'、CD与C'D'、DA与D'A'之间的距离分别为a，b，c，d，
（1）a=b=c=d=2，矩形A'B'C'D'∽矩形ABCD吗，为什么？
（2）若矩形A'B'C'D'∽矩形ABCD，a，b，c，d应满足什么等量关系？请说明理由．
【答案】（1）不相似，理由见解析；（2）2d+2b=a+c，理由见解析．
【分析】（1）分别求出A＇D＇、A＇B＇的长度，验证与是否相等即可；（2）用含a、b、c、d的式子表示出A＇D＇、A＇B＇的长度，根据矩形相似的性质列出式子，整理即可.
【详解】解：（1）不相似，理由如下：
由题意得：A＇D＇=8，A＇B＇=2，
∵==，==3，
∴≠，
∴不相似；
（2）A＇D＇=12﹣a﹣c，A＇B＇=6﹣d﹣b，
要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，
就要=，即=，
可得：2d+2b=a+c．
【点睛】本题主要考查相似矩形的性质.
2.（25-26九年级上·山西太原·期中）综合与实践
学校组织“数学文化节”，启航小组承担了校园宣传栏主题展板的设计任务，活动报告如下：
(1)根据版面规划，若展板一中，且图案区域与整块展板相似（即矩形矩形，求的值；
(2)根据版面规划，若展板二中的四个矩形图案区域都与整块展板相似（如矩形矩形），则的值为___________．
【答案】(1)20
(2)
【分析】本题考查相似多边形；
（1）计算矩形的两边长，根据相似多边形的对应边成比例解答即可；
（2）计算矩形的两边长，根据相似多边形的对应边成比例解答即可．
【详解】（1）解：矩形的两边长分别为，，
∵的两边比为，且与矩形相似，
∴，
解得；
（2）解：矩形的两边为，，
∵的两边比为，且与矩形相似，
∴，
解得，
故答案为：．
1.（2024·江苏连云港·中考真题）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（ ）

A．甲和乙B．乙和丁C．甲和丙D．甲和丁
【答案】D
【分析】本题考查相似图形，根据对应角相等，对应边对应成比例的图形是相似图形结合正方形的性质，进行判断即可．
【详解】解：由图可知，只有选项甲和丁中的对应角相等，且对应边对应成比例，它们的形状相同，大小不同，是相似形．
故选D．
2．（2023·山东·中考真题）如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为．若矩形与原矩形相似，，则的长为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根据折叠的性质与矩形性质，求得，设的长为x，则，再根据相似多边形性质得出，即，求解即可．
【详解】解：，由折叠可得：，，
∵矩形，
∴，
∴，
设的长为x，则，
∵矩形，
∴，
∵矩形与原矩形相似，
∴，即，
解得：（负值不符合题意，舍去）
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查矩形的折叠问题，相似多边形的性质，熟练掌握矩形的性质和相似多边形的性质是解题的关键．
3.（2025·甘肃平凉·中考真题）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”风筝古称纸鸢，起源于春秋战国时期，风筝制作技艺已被列入国家非物质文化遗产名录为丰富校园生活，某校开展风筝制作活动，小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，风筝的形状如图所示，其中对角线．已知大、小风筝的对应边之比为，如果小风筝两条对角线的长分别为和，那么大风筝两条对角线长的和为______．
【答案】195
【分析】本题考查了相似多边形的应用，证明大风筝和小风筝相似，相似比为，即可解决问题．熟练掌握相似多边形的判定与性质是解题的关键．
【详解】解：小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，大、小风筝的对应边之比为，
大风筝和小风筝相似，相似比为，
大风筝两条对角线长小风筝两条对角线长，
大风筝两条对角线的长分别为和，
大风筝两条对角线长的和为，
故答案为：195．
目 录
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc231745565" A组 巩固过关
\l "_Tc231745566" 题型01 认识相似图形
\l "_Tc231745567" 题型02 判断两个多边形是否相似多边形
\l "_Tc231745568" 题型03 与相似多边形相似比有关的计算
\l "_Tc231745569" 题型04 利用相似多边形的性质求线段长度与角度
\l "_Tc231745570" 题型05 利用相似三角形的性质求线段长度与角度
\l "_Tc231745574" B组 能力进阶
\l "_Tc231745575" C组 思维拔高
\l "_Tc231745576" 拓展 链接中考
活动任务
设计数学文化节展板
成员
组长：组员：
基本信息
有两张标准矩形板（一种制作展板的常用材料），尺寸为．
版面规划
用矩形表示整张板．
展板一：
如图1，在展板上下边缘各留宽为的空白，左右边缘各留宽为的空白，中间（即矩形）为图案区域．
展板二：
如图2，在展板上下边缘各留宽为的空白，左右边缘各留宽为的空白，中间部分纵向分割成四个全等的矩形图案区域，且每相邻两个矩形区域之间的间隔均为．

问题解决
确定版面图案区域的具体信息，如下：
……