小学数学苏教版（2024）六年级上册（2024）四 比和比例比例优秀第2课时习题

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本课核心问题
怎样利用比例的基本性质判断两个比能否组成比例，并解决实际问题？
一、学习目标
1. 理解比例的意义，能根据比例的意义判断两个比能否组成比例
2. 认识比例的项、外项和内项，掌握比例的基本性质
3. 能运用比例的基本性质解决简单的实际问题
二、重点
• 比例的意义和基本性质
• 用比例的基本性质判断和解题
三、难点
• 理解比例的基本性质的推导过程，能灵活运用比例解决实际问题
学习支架
比和比例的区别
比例的基本性质
用比例解决实际问题的步骤
1. 第一步：分析题意，找出两组相关联的比
2. 第二步：设未知数，列出比例
3. 第三步：利用比例的基本性质（外项积=内项积）求解
4. 第四步：检验并作答
验证比例的基本性质
四、知识要点
1. 比例的意义
表示两个比相等的式子叫作比例。怎样判断两个比能否组成比例？关键是看这两个比的比值是否相等。例如：6∶4 的比值是 6÷4 = 32，3∶2 的比值是 3÷2 = 32。因为这两个比的比值相等，所以可以写成比例：6∶4 = 3∶2。再例如：判断 8∶12 和 2∶3 能否组成比例。8∶12 的比值是 8÷12 = 23，2∶3 的比值是 2÷3 = 23。因为比值相等，所以 8∶12 = 2∶3 是一个比例。反例：2∶3 和 4∶5 不能组成比例，因为 2÷3 = 23，4÷5 = 45，比值不相等。
2. 比例的项、外项和内项
组成比例的四个数，叫作比例的项。两端的两项叫作比例的外项，中间的两项叫作比例的内项。以 6∶3 = 4∶2 为例：• 比例的四个项分别是：6、3、4、2• 外项（两端）：6 和 2• 内项（中间）：3 和 4用字母表示：a∶b = c∶d 中，a 和 d 是外项，b 和 c 是内项。注意：当比例写成分数形式时，如 a÷b = c÷d，a 和 d 仍然是外项，b 和 c 仍然是内项。交叉相乘时就是外项×外项 = 内项×内项。
3. 比例的基本性质
在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。这叫作比例的基本性质。验证过程：• 比例 4∶2 = 6∶3 中，外项是 4 和 3，内项是 2 和 6。外项的积：4 × 3 = 12
内项的积：2 × 6 = 12
外项的积 = 内项的积 ✓
• 比例 10∶5 = 8∶4 中，外项是 10 和 4，内项是 5 和 8。外项的积：10 × 4 = 40
内项的积：5 × 8 = 40
外项的积 = 内项的积 ✓
结论：在任何一个比例中，两个外项的积一定等于两个内项的积。
4. 用字母表示比例的基本性质
如果用字母表示比例的四个项，即 a∶b = c∶d，那么比例的基本性质可以表示为：a × d = b × c分数形式：如果 a÷b = c÷d，那么 a × d = b × c（即交叉相乘）。这个规律的正向使用：已知比例，求某个未知项。这个规律的逆向使用：如果 a×d = b×c，那么可以组成比例 a∶b = c∶d 或 a∶c = b∶d 等。用基本性质判断两个比能否组成比例：方法一：分别计算两个比的比值，看是否相等。方法二：如果能组成比例 a∶b = c∶d，则检验 a×d 是否等于 b×c。
5. 用比例解决实际问题
当题目中出现了两组相关联的量，且它们的比值相等时，可以列出比例来求解。典型例题——糖水问题：一种糖水，糖和水的质量比是 25∶200。如果要用 300 克水来配制这种糖水，需要多少克糖？解题步骤：① 设需要 x 克糖。② 糖和水的比保持不变：x∶300 = 25∶200
③ 利用比例基本性质：200 × x = 25 × 300
④ 200x = 7500
⑤ x = 7500 ÷ 200 = 37.5（克）
⑥ 答：需要 37.5 克糖。检验：37.5∶300 = 37.5÷300 = 0.125，25∶200 = 25÷200 = 0.125，比值相等 ✓
6. 比和比例的区别与联系
区别：• 比：由两个数组成（前项和后项），表示两个量之间的倍数关系。如 3∶2。• 比例：由四个数组成（两个外项和两个内项），表示两个比相等的关系。如 3∶2 = 6∶4。联系：• 比例由两个相等的比组成。• 比是比例的基础，比例是比的拓展。• 比的基本性质（前项和后项同时乘或除以相同的数，比值不变）是比例基本性质的基础。关键区分：• 比是两个数的关系——几比几
• 比例是一个等式——某个比等于某个比
• 比有基本性质，比例也有基本性质，两者不能混淆
7. 比例基本性质的综合应用
比例的基本性质在多种场景中有应用：一、判断四个数能否组成比例：检验：最大数×最小数 = 中间两个数的积？例如：3、4、6、8 → 8×3 = 24，4×6 = 24 → 能组成比例。可组成：8∶4 = 6∶3，8∶6 = 4∶3，3∶4 = 6∶8，3∶6 = 4∶8 等。二、在比例中求未知项：如果 a∶b = c∶d 中有一个未知数，利用外项积=内项积列等式求解。三、按比分配问题：把一定数量按照已知的比进行分配，可以用比例来解决。四、图形缩放问题：保持形状不变（即对应边成比例）进行放大或缩小，本质上就是利用比例关系。
8. 比例的读写与分数形式的转化
比例可以用比号形式书写，也可以用分数形式书写：比号形式：6∶4 = 3∶2，读作6比4等于3比2。分数形式：64 = 32，读作4分之6等于2分之3。两种形式可以互相转化。在分数形式中，交叉相乘就是利用比例的基本性质：64 = 32 → 6×2 = 4×3 → 12 = 12 ✓注意：分数形式的比例在交叉相乘时，分子×对角的分母，本质仍是外项积=内项积。
五、典型例题
【例1】
下面哪组中的两个比可以组成比例？把组成的比例写出来。（1）10∶12 和 25∶30（2）2∶8 和 9∶27（3）14∶18 和 38∶316
【例2】
一种消毒液需要按原液和水的质量比 3∶200 来配制。现有 500 克水，需要加入多少克消毒液原液？
【例3】
已知 3∶a = b∶12，且 a 和 b 都是整数，求 a 和 b 的所有可能值。
同 步 练 习
★ 基础巩固
1. 表示两个比（________）的式子叫作比例。
2. 在比例 8∶6 = 12∶9 中，外项是（________）和（________），内项是（________）和（________）。
3. 在比例里，两个（________）的积等于两个（________）的积，这叫作比例的基本性质。
4. 如果 a∶b = c∶d，那么 a ×（________）= b ×（________）。
5. 用 2、3、4、6 组成一个比例：（________）∶（________）=（________）∶（________）。
6. 2∶3 和 4∶6 可以组成比例。（ ）
7. 比和比例的意义相同。（ ）
8. 在比例 5∶10 = 3∶6 中，5 和 6 是外项，10 和 3 是内项。（ ）
9. 如果 a×b = c×d（a、b、c、d 均不为 0），那么 a∶c = d∶b。（ ）
10. 3∶5 = 7∶9 是一个比例。（ ）
11. 12∶18 的比值是（________），当另一个比的比值也等于（________）时，这两个比能组成比例。
12. 在比例 0.5∶0.2 = 10∶4 中，两个外项的积是（________），两个内项的积是（________）。
13. 判断 1.2∶0.8 和 9∶6 能否组成比例，并说明理由。（用两种方法）
14. 把比例 912 = 34 改写成乘法等式是（________）。
★★ 能力提升
15. 下面各组中的两个比，能组成比例的是（________）。
A. 3∶4 和 6∶10
B. 5∶8 和 15∶24
C. 7∶3 和 21∶12
D. 0.6∶0.2 和 13∶14
16. 在比例 a∶5 = 8∶10 中，a 的值是（________）。
A. 16 B. 4
C. 25 D. 0.25
17. 学校食堂配制果汁饮料，橙汁和水的质量比是 5∶40。如果要用 200 克水来配制，需要多少克橙汁？
18. 一辆汽车 2 小时行驶 150 千米。照这样的速度，5 小时能行驶多少千米？（用比例解答）
19. 用 4、5、12 和 15 四个数组成比例，能组成哪些比例？请全部写出来。
20. 在比例（________）∶6 = 10∶（________）中，如果第一个外项是 4，那么第二个外项是（________）。
21. 在一幅示意图上，用 2 厘米表示实际的 100 米。现在要在这幅图上画一条实际长 350 米的路段，在图上应画多少厘米？（用比例解答）
★★★ 拓展延伸
22. 一个长方形的周长是 56 厘米，长和宽的比是 4∶3。这个长方形的长和宽各是多少厘米？面积是多少平方厘米？
23. 甲、乙两个书架共有图书 240 本。如果从甲书架取出 20 本放到乙书架，甲、乙两个书架图书数量的比就变成 5∶3。原来甲书架有多少本图书？
24. 有甲、乙、丙三个数，甲∶乙 = 3∶5，乙∶丙 = 5∶7，甲、乙、丙三个数的和是 120。甲、乙、丙各是多少？
25. 在一个比例中，两个外项分别是 6 和 10，两个内项中较大的一个是 15。写出这个比例。
26. 甲、乙两人同时从 A、B 两地相向而行。甲每小时走 5 千米，乙每小时走 4 千米。两人在距中点 2 千米处相遇。A、B 两地相距多少千米？
比
比例
• 由两个数组成
• 表示两个量的倍数关系
• 如：6∶4
• 有前项和后项
• 由四个数组成
• 表示两个比相等的关系
• 如：6∶4 = 3∶2
• 有外项和内项
比例
外项
内项
外项的积
内项的积
是否相等
4∶2 = 6∶3
4和3
2和6
4×3=12
2×6=12
✓
10∶5 = 8∶4
10和4
5和8
10×4=40
5×8=40
✓
1.5∶0.5 = 6∶2
1.5和2
0.5和6
1.5×2=3
0.5×6=3
✓