苏教版小学数学六上第3课时神奇的黄金比讲义与练习

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第4单元 比和比例 · 第3课时 神奇的黄金比知 识 点 讲 义本课核心问题为什么斐波那契数列中相邻两数的比值会越来越接近同一个数？黄金比“神奇”在哪里？一、学习目标1. 认识斐波那契数列，能按规律写出数列中的后续项2. 通过计算相邻两数的比值，发现比值越来越接近0.618的规律，理解黄金比的含义3. 能举例说明黄金比在自然界、建筑和艺术中的表现，感受数学与美的联系二、重点• 斐波那契数列的规律（从第三项起，每一项等于前两项之和）• 黄金比的含义（比值接近0.618的比）三、难点• 理解“越来越接近0.618”是一个渐进过程，0.618只是近似值而非精确值学习支架斐波那契数列相邻项比值变化表黄金长方形迭代构造示意图黄金长方形迭代操作步骤1. 画一个宽与长的比接近0.618的长方形2. 在这个长方形中画一个最大的正方形3. 去掉正方形后，剩下一个更小的长方形4. 量一量新长方形的宽与长，计算比值5. 重复以上步骤，观察每次的比值四、知识要点1. 斐波那契数列观察树木的生长规律：一棵树每年的新枝数构成一串有规律的数——1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，……这串数的规律是：从第三个数起，每个数都等于它前面两个数之和。例如：2 = 1 + 1，3 = 1 + 2，5 = 2 + 3，8 = 3 + 5，13 = 5 + 8……人们把这串数称为斐波那契数列。它是以意大利数学家斐波那契的名字命名的。斐波那契数列在数学中非常重要，它不仅出现在树木生长中，还出现在许多自然现象中。例如：兔子繁殖问题、松果的鳞片排列、花瓣的数目等，都和斐波那契数列有关。2. 相邻比值趋近0.618让我们计算斐波那契数列中相邻两个数的比值（前一个数∶后一个数）：1∶1 = 11∶2 = 0.52∶3 ≈ 0.6673∶5 = 0.65∶8 = 0.6258∶13 ≈ 0.61513∶21 ≈ 0.61921∶34 ≈ 0.618观察这些比值的变化：1 → 0.5 → 0.667 → 0.6 → 0.625 → 0.615 → 0.619 → 0.618……关键发现：随着数列中数的个数不断增加，前后相邻两个数的比值越来越接近0.618。注意：比值不是直接等于0.618，而是在不断靠近0.618——有时比0.618大一点，有时比0.618小一点，但差距越来越小。3. 黄金比的定义比值接近0.618的比，被称为黄金比。需要注意的是：（1）黄金比的比值是一个无限不循环小数（即无理数），0.618只是它的一个近似值；（2）在小学阶段，我们用0.618作为黄金比的近似值来进行判断和计算。黄金比也叫做“中外比”，最早由古希腊数学家研究。据说，古希腊数学家欧多克索斯最先系统地研究了黄金比。后来，古希腊的毕达哥拉斯学派还用黄金比来构造正五角星，将其作为学派的标志。黄金比之所以“神奇”，是因为它同时出现在数学、自然界和艺术中。4. 自然界中的黄金比黄金比在自然界中有广泛的表现：（1）植物花瓣的数目：很多花的花瓣数目恰好是斐波那契数列中的数，如百合花3瓣、梅花5瓣、飞燕草8瓣、万寿菊13瓣等；（2）枫叶的叶柄长度与叶脉长度的比值约为0.625，接近黄金比；（3）向日葵种子的排列呈现螺旋线，螺旋线的数目通常是相邻的斐波那契数；（4）许多植物的叶序（叶子在茎上的排列方式）也与黄金比有关。这些现象说明，黄金比不是人类发明出来的，而是自然界本身就有的一种数学规律。植物在生长过程中，为了最有效地利用阳光和空间，自然形成了接近黄金比的排列方式。5. 黄金比在生活和艺术中的应用黄金比不仅存在于自然界，也被广泛应用于人类的建筑和艺术中：（1）美术构图：画家在构图时，常把画面主体放在大约占整幅画0.618比例的位置上，使画面更加和谐美观；（2）建筑设计：很多著名建筑的高与宽之比接近0.618，如古希腊的帕特农神庙；（3）正五角星：一个正五角星中有很多线段长度比的比值接近0.618；（4）日常用品：许多信用卡、书本、门窗的长宽比都接近黄金比，看上去令人感到舒适。为什么黄金比看起来“美”呢？科学家们认为，人的眼睛在看到接近黄金比的画面时最容易感到舒适和愉悦。这就是为什么很多设计师在创作时会有意识地运用黄金比。6. 黄金长方形的几何构造我们可以用如下方法体验黄金比的奇妙性质：第一步：画一个宽与长的比接近0.618的长方形（如宽约61.8毫米，长约100毫米）；第二步：在这个长方形中截去一个以宽为边长的最大正方形；第三步：剩下的小长方形的宽与长的比仍然接近0.618；第四步：继续重复上述操作——截去正方形，得到更小的长方形……每次操作后，新长方形的宽长比都仍然接近0.618！这就是黄金比“神奇”的几何性质之一。这种长方形被称为“黄金长方形”。更奇妙的是，如果把每次截去的正方形的对角用弧线连起来，就会形成一条优美的螺旋线——这种螺旋线在自然界中随处可见，如鹦鹉螺的外壳、台风的云图等。黄金比把数学、几何和自然之美完美地联系在了一起。五、典型例题【例1】斐波那契数列的前几项是：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，……（1）请写出这个数列接下来的3个数。（2）分别计算8∶13、13∶21、21∶34的比值（保留三位小数），并观察它们的变化趋势。【解答】（1）根据规律，从第三项起每个数等于前两个数之和：55 + 89 = 14489 + 144 = 233144 + 233 = 377所以接下来的3个数是：144，233，377。（2）计算比值（用除法，保留三位小数）：8∶13 = 8÷13 ≈ 0.61513∶21 = 13÷21 ≈ 0.61921∶34 = 21÷34 ≈ 0.618观察趋势：0.615 → 0.619 → 0.618这三个比值围绕0.618上下波动，且越来越接近0.618。这验证了教材中的结论：斐波那契数列中相邻两数的比值越来越接近0.618。【点拨】斐波那契数列的规律是“前两项之和等于第三项”，要灵活运用这个规律往后推算。计算比值时注意保留三位小数。【例2】某学校教学楼的设计图如下：教学楼正面高约12米，宽约19.4米。（1）计算教学楼正面高与宽的比值（保留三位小数）。（2）这个比值是否接近黄金比？请说明理由。（3）如果要在教学楼的侧面设计一块宣传展板，使展板的宽长比符合黄金比，展板长2米，宽应设计为多少米？【解答】（1）高与宽的比值：12∶19.4 = 12÷19.4 ≈ 0.619（注意：高12米是较短边，宽19.4米是较长边，所以用高除以宽。）（2）0.619与0.618相差仅0.001，非常接近黄金比。因此可以说教学楼正面高与宽的比值接近黄金比，设计师可能参考了黄金比进行设计。（3）展板宽长比符合黄金比，即宽∶长 ≈ 0.618。宽 = 长 × 0.618 = 2 × 0.618 = 1.236（米）所以展板宽应设计为约1.236米。验证：1.236∶2 = 1.236÷2 = 0.618，确实是黄金比。【点拨】黄金比中，较短边∶较长边 ≈ 0.618。注意区分谁比谁——“高∶宽”和“宽∶高”的比值互为倒数关系。计算时先确定谁是较短边。同 步 练 习★ 基础巩固1. 斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，（________），（________），（________），……2. 斐波那契数列中，55后面的一个数是（________），89后面的一个数是（________）。3. 计算比值（保留三位小数）：5∶8 = （________），8∶13 ≈（________）。4. 计算比值（保留三位小数）：3∶5 = （________），13∶21 ≈（________），21∶34 ≈（________）。5. 比值接近（________）的比，被称为黄金比。黄金比的比值是一个（________），0.618是它的（________）。6. 斐波那契数列中，1∶1=1，1∶2=0.5，2∶3≈0.667。从这些比值可以看出，随着项数增加，相邻两数的比值越来越接近（________）。7. 一个黄金长方形的长为10厘米，宽大约是（________）厘米。（宽∶长≈0.618）8. 在正五角星中，许多线段长度比的比值接近（________）。9. 0.618就是黄金比的精确值。（　　）10. 斐波那契数列中，从第三个数起，每个数都等于它前面两个数之和。（　　）11. 斐波那契数列中相邻两个数的比值始终等于0.618。（　　）12. 所有花的花瓣数目都是斐波那契数列中的数。（　　）13. 在黄金长方形中截去最大正方形后，剩下小长方形的宽与长的比仍接近0.618。（　　）14. 一张信用卡的长约85.6毫米，宽约53.9毫米。宽与长的比值约为（________）（保留三位小数），这个比值（________）黄金比。（填“接近”或“不接近”）★★ 能力提升15. 下面关于斐波那契数列的说法，正确的是（________）。　　A. 斐波那契数列中每个数都等于前两个数之和　　B. 斐波那契数列从第二项起，每个数等于前两个数之和　　C. 斐波那契数列从第三项起，每个数等于前两个数之和　　D. 斐波那契数列中相邻两数的比值始终不变16. 下列四组比中，比值最接近黄金比（0.618）的是（________）。　　A. 3∶5=0.600　　B. 5∶8=0.625　　C. 8∶13≈0.615　　D. 13∶21≈0.61917. 一个黄金长方形的长是20厘米，下面哪个宽度最符合黄金比？（________）　　A. 10厘米　　B. 12.36厘米　　C. 14厘米　　D. 16厘米18. 小明用斐波那契数列的数计算了一组比值。但他不小心算错了两个，请找出并改正。3∶5=0.6005∶8=0.6358∶13≈0.62513∶21≈0.61919. 一幅画的长为60厘米，宽为37厘米。（1）宽与长的比值？（保留三位小数）（2）是否接近黄金比？（3）另一幅画符合黄金比，长50厘米，宽应是多少？20. 小红做黄金长方形迭代实验。长100毫米、宽62毫米的长方形，截去最大正方形。（1）正方形边长？（2）剩下长方形的长和宽？（3）剩下长方形宽与长的比值？（保留三位小数）★★★ 拓展延伸21. 黄金长方形迭代实验。长100毫米，宽61.8毫米。（1）第一次截去正方形后，剩下长方形的尺寸和宽长比？（2）第二次再截去正方形后，剩下长方形的尺寸和宽长比？（3）你有什么发现？22. 用斐波那契数列构造比值表。请填写并回答：1∶1=1.000，1∶2=0.500，2∶3=0.667，3∶5=0.6005∶8=（________），8∶13=（________），13∶21=（________）21∶34=（________），34∶55=（________），55∶89=（________）（1）填写比值。（2）观察变化规律。（3）377∶610的比值大约是多少？说明理由。23. 【探究题】运用黄金比知识完成任务：（1）量一量身边物品（课本、橡皮盒、手机等）的长和宽，计算宽∶长的比值，记录3个物品。（2）哪个物品最接近黄金比？差距是多少？（3）为什么日常用品常设计成接近黄金比的长宽比？参 考 答 案第1题：13；21；34【解析】从第三项起，每个数等于前两个数之和：5+8=13，8+13=21，13+21=34。第2题：89；144【解析】55后面的数 = 34+55 = 89；89后面的数 = 55+89 = 144。第3题：0.625；0.615【解析】5∶8 = 5÷8 = 0.625；8∶13 = 8÷13 ≈ 0.615。第4题：0.600；0.619；0.618【解析】3∶5 = 3÷5 = 0.600；13∶21 = 13÷21 ≈ 0.619；21∶34 = 21÷34 ≈ 0.618。第5题：0.618；无限不循环小数；近似值【解析】根据黄金比的定义。第6题：0.618【解析】斐波那契数列相邻比值越来越接近0.618。第7题：6.18【解析】宽=10×0.618=6.18（厘米）。第8题：0.618【解析】正五角星中有很多线段长度比的比值接近0.618。第9题：×【解析】0.618只是黄金比的近似值。黄金比的比值是无限不循环小数。[错因:理解]第10题：√【解析】这是斐波那契数列的基本规律。第11题：×【解析】比值不是始终等于0.618，而是“越来越接近”0.618。[错因:理解]第12题：×【解析】教材说的是“很多”而非“所有”。[错因:理解]第13题：√【解析】这是黄金长方形的特殊性质。第14题：0.630；接近【解析】53.9÷85.6≈0.630，与0.618相差0.012，比较接近。第15题：C【解析】A错在“每个数”，前两项无法满足；B错在“第二项”；C正确；D错误，比值变化且趋近0.618。[错因:理解]第16题：D【解析】差距分别为：A:0.018, B:0.007, C:0.003, D:0.001。D最小。[错因:方法]第17题：B【解析】宽=20×0.618=12.36（厘米）。[错因:方法]第18题：5∶8=0.635错误，正确为5÷8=0.625。8∶13≈0.625错误，正确为8÷13≈0.615。【解析】验算：0.625×8=5（正确），0.635×8=5.08≠5（错误）。[错因:计算]第19题：（1）37÷60≈0.617（2）0.617与0.618差0.001，非常接近，符合黄金比。（3）宽=50×0.618=30.9（厘米）【解析】利用黄金比近似值0.618进行判断和计算。[错因:方法]第20题：（1）62毫米（2）长=62毫米，宽=100-62=38毫米（3）38÷62≈0.613，接近黄金比【解析】原宽变为新长，原长减宽得新宽。[错因:方法]第21题：（1）正方形边长61.8。新长=61.8，新宽=100-61.8=38.2。宽∶长=38.2÷61.8≈0.618（2）正方形边长38.2。新长=38.2，新宽=61.8-38.2=23.6。宽∶长=23.6÷38.2≈0.618（3）每次截去正方形后，宽长比仍接近0.618。说明黄金比具有“自我相似”性质。【解析】每次操作后新长方形尺寸变小但宽长比不变，体现黄金比的迭代不变性。[错因:理解]第22题：（1）0.625，0.615，0.619，0.618，0.618，0.618（2）比值从1开始先降后升，上下波动幅度越来越小，越来越接近0.618。（3）377∶610≈0.618。因为项数越多，比值越接近0.618。377和610是更后的项，所以更接近。【解析】综合考查数列延续、小数除法和归纳推理。[错因:方法]第23题：（1）示例：课本26.0×18.5，比值≈0.712；文具盒20.0×12.4，比值=0.620；手机15.5×7.5，比值≈0.484。（2）文具盒最接近，差距=|0.620-0.618|=0.002。（3）接近黄金比的长宽比看起来最和谐美观舒适，所以设计师常参考黄金比。【解析】开放探究题，培养数学眼光观察世界的意识。相邻两项1∶11∶22∶33∶55∶88∶1313∶2121∶34比值10.50.6670.60.6250.6150.6190.618与0.618的差距0.3820.1180.0490.0180.0070.0030.001≈0