初中数学人教版（2024）九年级上册（2024）26.4 实际问题与二次函数课文内容课件ppt

这是一份初中数学人教版（2024）九年级上册（2024）26.4 实际问题与二次函数课文内容课件ppt，共43页。PPT课件主要包含了学习目标，审题弄清题意，建立二次函数模型，找变量关系，知识回顾，1yax2，2yax2+k，生活中的抛物线，导入新课，新知探究等内容，欢迎下载使用。
掌握抛物线型实际问题的解题步骤，能根据实际场景合理建立平面直角坐标系，准确求出二次函数解析式；熟练利用二次函数的图象和性质，求解轨迹类问题中的高度、跨度、最值等实际问题.
经历“实际问题—抽象建模—函数求解—回归实际”的完整探究过程，提升数形结合分析问题、将生活问题转化为数学函数问题的能力，熟练掌握建模解题的通用方法.
感受二次函数在生活中的广泛应用，体会数学源于生活、服务生活的本质；培养严谨的数学思维和解决实际问题的能力，增强数学学习的实用性认知和学习兴趣.
利用二次函数的图象和性质求解
实际作答，确定实际问题的解
二次函数实际应用类型解题的通用步骤
一般地, 因为抛物线 y＝ax2＋bx＋c 的顶点是最低（高）点, 当 x = ________时,二次函数 y ＝ax2＋bx＋c 有最小（大）值____________.
如图是一个二次函数的图象，现在请你根据给出的坐标系的位置，说出这个二次函数的解析式类型.
（3）y=a(x-h)2
（5）y=ax2+bx+c
（4）y=a(x-h)2+k
＊这些建筑轮廓是什么曲线？＊能否用二次函数知识解决相关高度、宽度问题？
一座抛物线形拱桥如图所示，当拱顶离水面4m时，水面宽10m.突降暴雨后水面上升1m，此时水面宽为多少?
（1）二次函数的图象是抛物线，抛物线形拱桥问题如何转化为二次函数问题来解决？
第1步：以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为轴，建立适当的平面直角坐标系
第2步：将实际建筑数学化，根据已知条件求出这条抛物线对应的二次函数，进而解决问题；第3步：明确具体的数量关系，如函数解析式；第4步：分析所求问题，代入解析式求解.
（2）在建立的直角坐标系中，怎样求出抛物线形拱桥的函数表达式？
（3）突降暴雨后水面上升1m，此时水面宽为多少，转化为二次函数问题求什么量？
水面上升1m，即此时y= -3.
当y= -3时，对应的自变量x的值是多少？
答：此时水面的宽度大约是8.7 m .
归纳利用二次函数解决抛物线形问题的一般步骤
① 建系：根据图形特征，选择顶点、中点、端点为坐标原点，建立平面直角坐标系（优先选择让顶点在坐标轴上、对称建系，简化计算）；② 找点：结合题目已知数据，转化出抛物线上关键点的坐标；③ 求式：根据坐标特点，选择顶点式、交点式、一般式，用待定系数法求二次函数解析式；④ 求解验根：根据问题需求，代入自变量或函数值计算，结合实际范围取舍结果，规范作答.
注意：抛物线实际问题中，自变量、函数值均有实际意义，计算结果必须符合实际场景.
例1.某公园有一座抛物线型拱桥，拱桥最高点离水面高度为4m，拱桥水面跨度为8m。现有一艘宽4m、高2.5m的游船，试问这艘游船能否安全通过该拱桥？
① 最优建系：以拱桥最高点（抛物线顶点）为坐标原点，水平向右为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向建立平面直角坐标系，最大程度简化解析式；② 提取关键点坐标：根据跨度8m、高4m，确定抛物线端点坐标；③ 设顶点式解析式，代入坐标求解函数；
④ 结合游船宽度，求出对应位置的拱桥高度，对比判断.
变式小结： 若建系方式改变（以水面中点为原点），解题逻辑一致，仅解析式不同，对称建系是此类题型最优解法，可大幅简化运算。
1.在一名运动员的某次投篮中，篮球的运动路线是抛物线y=－0.2x²+3.85的一部分（如图），若篮球投入篮筐，求运动员到篮筐正下方的距离l.
解：当y=3.05时，代入解析式得：－0.2x²+3.85=3.05，解得：x1=2，x2=－2（舍去）.即篮筐所在位置为：(2 , 3.05)，则：l=3.2+2=5.2(m).答：运动员到篮筐正下方的距离l为5.2m.
一座抛物线形拱桥如图所示，当拱顶离水面4m时，水面宽10m. 在突降暴雨致水位上升1m后，有一艘装有物资的船准备从桥下通过，船身及物资外形如图所示.这艘船宽4m，物资顶部为长方形，且物资顶部距水面2m.这艘船能从这座拱桥下通过吗?
1.一座拱桥的示意图如图2所示，当水面宽为16米时，桥洞顶部离水面4米．已知桥洞的拱桥是抛物线，请尝试解决以下问题：
(1)建立合适的平面直角坐标系，求该拋物线的表达式；(2)由于暴雨导致水位上涨了2米，求此时水面的宽度；(3)已知一艘货船的高为2.6 米，宽为 3.2米，其截面如图3所示．为保证这艘货船可以安全通过拱桥，水面在正常水位的基础上最多能上升多少米？（结果精确到 ）
（1）解：如图，AB 为宽16米的水面，C为拱桥最高点，以AB 的中点为平面直角坐标系的原点O，OC 所在直线为x轴， 所在直线为y轴，建立平面直角坐标系如下：
∴抛物线的顶点坐标为（0,4）
设抛物线的函数表达式为
如图，这艘货船安全通过拱桥时，水面最多可以上升到 O′处，
∴要使这艘货船安全通过拱桥，水面在正常水位的基础上最多能上升1.24 米．
1．（2025•山西）综合与实践问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合．实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面60cm，起跳点与落地点的距离为160cm．数学建模：如图1，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M．以O为原点，OM所在直线为x轴，过点O与OM所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系．
（1）请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式；问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变．（2）如图1，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为（0，75），点Q在x轴的正半轴上．求起跳点P与落地点Q的水平距离OQ的长；（3）实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于3cm，才能安全通过．如图2，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形ABCD，其中∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝57cm，BC＝40cm，CD＝48cm．仿青蛙机器人从距离AB左侧80cm处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物．若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物．请直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内）．
（1）请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式；
实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面60cm，起跳点与落地点的距离为160cm．数学建模：如图1，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M．以O为原点，OM所在直线为x轴，过点O与OM所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系．
问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变．（2）如图1，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为（0，75），点Q在x轴的正半轴上．求起跳点P与落地点Q的水平距离OQ的长；
（3）实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于3cm，才能安全通过．如图2，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形ABCD，其中∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝57cm，BC＝40cm，CD＝48cm．仿青蛙机器人从距离AB左侧80cm处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物．若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物．请直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内）．
2．（2025•广东）如图，某跨海钢箱梁悬索桥的主跨长1.7km，主塔高0.27km，主缆可视为抛物线，主缆垂度0.1785km，主缆最低处距离桥面0.0015km，桥面距离海平面约0.09km．请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求该抛物线的表达式．
3．（2025•深圳）综合与实践【问题背景】排队是生活中常见的场景．如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系．【研究条件】条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数＝现场总人数﹣已入场人数；条件2：若该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人．【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数y与安检时间x之间满足关系式： y＝﹣x2+60x+100（0≤x≤30）．结合上述信息，请完成下述问题：（1）当开通3条安检通道时，安检时间x分钟时，已入场人数为　 　 ，排队人数w与安检时间x的函数关系式为　 　 ．
w＝﹣x2+42x+100
【模型应用】（2）在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？（3）已知该演出主办方要求：①排队人数在安检开始10分钟内（包含10分钟）减少；②尽量少安排安检通道，以节省开支．若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由？【总结反思】函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量（如突发情况、安检流程优化等）进行更深入的分析，以提高模型的准确性和实用性．
3．（2025•深圳）综合与实践【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数y与安检时间x之间满足关系式： y＝﹣x2+60x+100（0≤x≤30）．结合上述信息，请完成下述问题：（1）当开通3条安检通道时，安检时间x分钟时，已入场人数为　 　 ，排队人数w与安检时间x的函数关系式为　 　 ．
（2）在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？
（3）已知该演出主办方要求：①排队人数在安检开始10分钟内（包含10分钟）减少；②尽量少安排安检通道，以节省开支．若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由？
解：（1）若开设3条安检通道，安检时间为x分钟，则已入场人数为（用x表示）18x，若排队人数为w，则w与x的函数表达式为:w＝y﹣18x＝﹣x2+42x+100；
（2）w＝﹣x2+42x+100 ＝﹣（x﹣21）2+541，∴当x＝21时，Wmax＝541；答：排队人数在第21分钟达到最大值，最大人数为541人；
∵m为正整数，∴m最小值为7，∴最少开7条通道．
4．（2025•内蒙古）问题背景：综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图如图1所示．
外形参数：如图2，装置整体图案为轴对称图形，外形由上方的抛物线L1，中间的矩形ABCD和下方的抛物线L2组成．抛物线L1的高度为8cm，矩形ABCD的边AB＝8cm，BC＝6cm，抛物线L2的高度为4cm．在装置内部安装矩形电子显示屏EFGH，点E，F在抛物线L2上，点H，G在抛物线L1上．
问题解决：如图3，该小组以矩形ABCD的顶点A为原点，以AB边所在的直线为x轴，以AD边所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．请结合外形参数，完成以下任务：（1）直接写出B，C，D三点的坐标；（2）直接写出抛物线L1和L2的顶点坐标，并分别求出抛物线L1和L2的函数表达式；（3）为满足矩形电子显示屏EFGH的空间要求，需要EH边的长为15cm，求此时EF边的长．
解：（1）∵矩形ABCD的边AB＝8cm，BC＝6cm，∴CD＝AB＝8cm，AD＝BC＝6cm， CD∥AB，BC∥AD，∴B（8，0），C（8，6），D（0，6）；
问题解决：如图3，该小组以矩形ABCD的顶点A为原点，以AB边所在的直线为x轴，以AD边所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．请结合外形参数，完成以下任务：（2）直接写出抛物线L1和L2的顶点坐标，并分别求出抛物线L1和L2的函数表达式；
（2）∵装置整体图案为轴对称图形，如图，作出对称轴，分别交抛物线L1于M，交抛物线L2于N，交矩形ABCD于N，P，
问题解决：如图3，该小组以矩形ABCD的顶点A为原点，以AB边所在的直线为x轴，以AD边所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．请结合外形参数，完成以下任务：（3）为满足矩形电子显示屏EFGH的空间要求，需要EH边的长为15cm，求此时EF边的长．
（1）掌握抛物线型实际问题的四步解题法： 建系→找点→求式→求解验根；（2）学会根据图形对称特征，选择最优平面直角坐标系；（3）能利用二次函数解析式，求解轨迹高度、跨度、通行可行性等实际问题.
（1）数学建模思想：将生活中的抛物线轨迹问题抽象为二次函数数学模型；（2）数形结合思想：结合图形提取坐标，利用函数解析式还原图形数据；（3）转化归纳思想：将复杂实际问题转化为熟悉的二次函数求值问题.
（1）建系随意，未利用对称性简化计算，导致运算繁琐出错；（2）坐标提取错误，混淆横、纵坐标的实际意义；（3）忽略自变量、函数值的实际取值范围，直接套用纯函数结果；（4）忘记结果检验，未结合实际场景判断结果是否合理.
9.如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同.正常水位时，大孔水面宽度为20m，顶点距水面8m，小孔顶点距水面5m.求当水位上涨至刚好淹没小孔时，大孔的水面宽度（结果保留小数点后一位）.
解：建立如图所示直角坐标系.由题意可知，大孔抛物线经过(-10,0)、 (10,0)、 (0,8)三个点
10.分别用定长为l的线段围成矩形和圆，哪种图形的面积更大？为什么？