北师大版（2024）八年级上册（2024）3 二次根式同步练习题

这是一份北师大版（2024）八年级上册（2024）3 二次根式同步练习题，共20页。

题型归纳
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc1290" 【题型1 双重非负性——a中a≥0】 PAGEREF _Tc1290 \h 1
\l "_Tc11798" 【题型2 双重非负性——a≥0】 PAGEREF _Tc11798 \h 3
\l "_Tc26855" 【题型3 双重非负性——a≥0且a≥0】 PAGEREF _Tc26855 \h 5
\l "_Tc20933" 【题型4 (a)2=a(a≥0)】 PAGEREF _Tc20933 \h 7
\l "_Tc22953" 【题型5 a2=|a|】 PAGEREF _Tc22953 \h 9
\l "_Tc3893" 【题型6 字母型二次根式的运算】 PAGEREF _Tc3893 \h 10
\l "_Tc2267" 【题型7 分母有理化】 PAGEREF _Tc2267 \h 14
\l "_Tc1854" 【题型8 与二次根式有关的整体升（降）次整体求值】 PAGEREF _Tc1854 \h 15
【题型1 双重非负性——a中a≥0】
【例1】（25-26七年级下·河南信阳·期末）若y=3x−7+7−3x+4，则xy=_____________．
【答案】283
【分析】本题考查二次根式的性质，根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，可得到关于x的不等式组，求解得到x的值，再代入原式求出y的值，最后计算xy即可．
【详解】解：由题意得3x−7≥07−3x≥0，
解得x=73，
∴y=3×73−7+7−3×73+4=0+0+4=4，
∴xy=73×4=283．
【变式1-1】（25-26八年级下·全国·暑假作业）若y=2−4x+(x−1)2+4x−2，则(x+y)2026=________．
【答案】1
【分析】根据表达式中包含二次根式，根号下的被开方数必须是非负数，求出x=12，进而求出y=12，再进行计算即可．
【详解】解：y=2−4x+(x−1)2+4x−2
根据二次根式有意义的条件可知，
让2−4x和4x−2有意义
∴2−4x≥0且4x−2≥0，
解得x≤12和x≥12，
∴x=12，
∴2−4x=4x−2=0，
∴y=0+(12−1)2+0，
∴y=12，
∴x+y2026=12+122026=1．
【变式1-2】（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）已知a−2026+a−2027=a，则a−20262的值是____．
【答案】2027
【分析】先根据二次根式有意义的条件确定a的取值范围，再化简绝对值，整理等式后两边平方变形，即可求出a−20262的值．
【详解】解：根据二次根式的定义，被开方数非负，可得a−2027≥0，
解得a≥2027，
因此a−2026>0，根据绝对值的性质，可得|a−2026|=a−2026，
将|a−2026|=a−2026代入原方程得(a−2026)+a−2027=a，
移项整理得a−2027=2026，
两边同时平方得a−2027=20262，
移项得a−20262=2027．
【变式1-3】（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知a、b分别为等腰三角形的两条边长，且a、b满足a=5+3b−9−33−b，则此三角形的周长是________．
【答案】11或13
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，三角形三边关系，等腰三角形的性质，掌握二次根式有意义的条件，三角形三边关系，等腰三角形的性质是解题的关键．先根据二次根式有意义的条件得出：3b−9≥03−b≥0，解得：b=3，把b=3代入a=5+3b−9−33−b求出a的值，然后再分类分析，计算三角形的周长即可．
【详解】解：由题意，得3b−9≥03−b≥0，
解得：b=3，
把b=3代入a=5+3b−9−33−b，得a=5.
当等腰三角形的腰长为3时，则三角形的三边为3，3，5，
∵3+3>5，
∴能组成三角形，
∴三角形的周长为：3+3+5=11；
当等腰三角形的腰长为5时，则三角形的三边为5，5，3，
∵3+5>5，
∴能组成三角形，
∴三角形的周长为：5+5+3=13，
综上所述，此三角形的周长为11或13.
故答案为：11或13.
【题型2 双重非负性——a≥0】
【例2】已知x+2+(x+y−1)2=0，则x2−xy=____________．
【答案】10
【分析】根据非负数的性质求出x=−2,y=3，再代入求解即可；
【详解】解：∵x+2+(x+y−1)2=0，x+2≥0，(x+y−1)2≥0，
∴x+2=0，(x+y−1)2=0，
∴x+2=0x+y−1=0，
解得：x=−2,y=3，
将x=−2,y=3代入x2−xy得：x2−xy=(−2)2−(−2)×3=4+6=10．
【变式2-1】（25-26七年级下·天津南开·期中）如果2x−6与2+y互为相反数，那么x+y的平方根是________．
【答案】±1
【详解】解：∵2x−6与2+y互为相反数，
∴2x−6+2+y=0，
又∵2x−6≥0，2+y≥0，且2x−6≥0，2+y≥0，
∴2x−6=0，2+y=0，
∴2x−6=0，2+y=0，
解得x=3，y=−2，
∴x+y=3+(−2)=1，
∵1的平方根为±1，
∴x+y的平方根是±1．
【变式2-2】（25-26七年级下·陕西宝鸡·阶段检测）如果2x−6与2+y互为相反数，那么x+y的算术平方根是_________．
【答案】1
【分析】根据相反数的定义和非负数的性质求出x、y的值，然后求出x+y的值，最后根据x+y的算术平方根的定义求解即可．
【详解】解：∵2x−6与2+y互为相反数，
∴2x−6+2+y=0，
∴2x−6=0，2+y=0，
∴x=3，y=−2，
∴x+y=3+−2=1，
x+y的算术平方根是1．
【变式2-3】已知m为实数，且15+m2−19−m2=2，则19−m2+215+m2=________．
【答案】13
【分析】本题考查了换元法，二次根式的非负性，完全平方公式变形，换元法是解本题的关键．设a=15+m2,b=19−m2，由已知条件得a−b=2，且a2+b2=34，解出a和b的值，再代入所求表达式计算
【详解】解：设a=15+m2,b=19−m2，则a−b=2
由a2=15+m2,b2=19−m2，得a2+b2=34
将a=b+2代入a2+b2=34，得(b+2)2+b2=34
展开得b2+4b+4+b2=34，即2b2+4b−30=0
两边除以2得b2+2b−15=0
解方程得b=3或b=−5（舍去，因为b≥0）
则a=b+2=5
故19−m2+215+m2=b+2a=3+2×5=13
【题型3 双重非负性——a≥0且a≥0】
【例3】（24-25九年级下·广东广州·自主招生）对一切实数k，有8−x+x−3≥k成立，则k的最大值为___________．
【答案】
5
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质，求不等式的解集，先根据二次根式有意义的条件求出3≤x≤8，设y=8−x+x−3y>0，则y2=(8−x)+(x−3)+2(8−x)(x−3)=5+2(8−x)(x−3)，得到y2≥5，即y≥5，即可解答．
【详解】解：由题意得 8−x≥0 且 x−3≥0，
解得x≤8且x≥3，
所以3≤x≤8，
设y=8−x+x−3y>0，
则y2=(8−x)+(x−3)+2(8−x)(x−3)=5+2(8−x)(x−3)，
由于(8−x)(x−3)≥0，
所以y2≥5，即y≥5，
因此，y的最小值为5，
所以k的最大值为5．
故答案为：5．
【变式3-1】（25-26九年级下·重庆万州·阶段检测）已知：7−9m+n−32=9m−7−m−4，求n−m2026=_________．
【答案】1
【分析】先确定m≥4，得到7−9m+n−32=9m−7+n−32，结合已知得到9m−7+n−32=9m−7−m−4，利用非负性求解即可．
【详解】解：根据题意，得m−4≥0，
解得m≥4，
∴7−9m8时，x−5+x−8=x−5+x−8=2x−13>3；
当5≤x≤8时，x−5+x−8=x−5+8−x=3；
∴x的取值范围是5≤x≤8．
【题型5 a2=|a|】
【例5】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）当a>1时，化简1a−a2−1a的结果是（ ）
A．aB．−aC．2a−aD．a−2a
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的性质．由a>1可知1a−a1，
∴1a0,b>0）
(4)m−nm+n−m−2mn+nn−m÷1m+n（其中m≥0,n≥0,m≠n）
【答案】(1)62+2
(2)−5ab6
(3)−3aab
(4)2m−2n
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
（1）根据二次根式的乘法以及立方根和算术平方根的性质化简，再合并即可；
（2）根据二次根式的运算法则化简即可
（3）根据二次根式的运算法则化简即可；
（4）根据二次根式的运算法则化简即可．
【详解】（1）解：24−23×3−3−27+1−22
=26−63×3−−3+1−2
=563×3+3+2−1
=52+3+2−1
=62+2；
（2）解：2ab9a−ba4b+1aa3b−2bab3
=2a×ab3a−b×ab2b+1a×aab−2b×bab
=2ab3−ab2+ab−2ab
=−5ab6；
（3）解：5bab3×−25ab÷134ba
=5bab3×−25ab×3a4b
=5b×−25×3×ab3×ab×a4b
=−6b×a3b32
=−6b×abab2
=−3aab；
（4）解：m−nm+n−m−2mn+nn−m÷1m+n
=m+nm−nm+n−m−n2n−m÷1m+n
=m−n+m−n×m+n
=2m−nm+n
=2m−n
=2m−2n．
【题型7 分母有理化】
【例7】（25-26八年级下·浙江嘉兴·期末）计算：2+32−3+2−32+3=______．
【答案】14
【分析】先通分化成同分母再利用平方差公式、完全平方公式相加化简即可．
【详解】解：2+32−3+2−32+3，
=2+322−32+3+2−322+32−3，
=4+43+3+4−43+322−32，
=14．
【变式7-1】（2026·江苏南京·二模）计算18−42的结果是______．
【答案】2
【分析】先将各项化为最简二次根式，再合并同类二次根式得到结果即可．
【详解】解：18−42=32−22=2．
【变式7-2】可以用配方法化简二重根式，
例如：4−23=3−12=3−1，
请化简式子：5−26+7−43+42−44−22=_______．
【答案】2
【分析】先把5−26，7−43分别化为3−22与2−32，再化简，结合分母有理化，最后计算加减运算即可．
【详解】解：5−26+7−43+42−44−22
=3−22+2−32+42−122−2
=3−2+2−3+22−12+22−22+2
=2−2+2−12+2
=2−2+22+2−2−2
=2；
故答案为：2
【点睛】本题考查的是二次根式的化简，二次根式的混合运算，分母有理化，掌握二次根式的化简的方法与技巧是解本题的关键．
【变式7-3】化简35+105+37+533+25+7=______．
【答案】21+32
【分析】将原式变形为33+55+73+5+5+7，再求出1A=7−323，继而化简得到A=21+32．
【详解】解：设
A=35+105+37+533+25+7
=3×3×5+3×3×7+3×5×7+3×5×53+5+5+7
=33×5+3×7+5×7+5×53+5+5+7
=33+55+73+5+5+7
=33+55+73+5+5+7
则1A=3+5+5+733+55+7
=135+7+133+5
=7−523+5−323
=7−323，
∴A=237−3=237+34=21+32，
故答案为：21+32．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的运算法则和二次根式的性质．
【题型8 与二次根式有关的整体升（降）次整体求值】
【例8】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知x+1x=5，则xx2+3x+1的值为_________．
【答案】126
【分析】利用完全平方公式进行变形，然后代入求值即可．
【详解】解：∵x+1x=5，
∴x+1x2=52，
∴x+1x+2=25，
∴x+1x=23，
∴x2+1=23x，代入xx2+3x+1得，
x23x+3x=126．
【变式8-1】（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）已知0