人教A版 (2019)必修 第一册基本不等式第2课时一课一练

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册基本不等式第2课时一课一练，共5页。试卷主要包含了已知x>0,y>0,证明等内容，欢迎下载使用。
题组一 利用基本不等式比较大小
1.(2026山东枣庄第九中学月考)已知a>b>0,则下列不等式恒成立的是( )
A.b>a+b2>ab B.a+b2>b>ab
C.a+b2>ab>b D.ab>a+b2>b
2.(2026江苏扬州中学月考)小王从甲地到乙地往返的速度分别为a和b(aab>b2=b.
2.A 设从甲地到乙地的距离为c,则小王从甲地到乙地往返的时间分别是ca和cb,所以v=2cca+cb=21a+1b=2aba+b,
由0v,故C,D错误.
3.B 由题意得5(1+a)(1+b)=5(1+x)2且a,b,x>0,
则由基本不等式可得x=(a+1)(b+1)-1≤a+1+b+12-1=a+b2,
当且仅当a+1=b+1,即a=b时取等号,故x≤a+b2.
4.证明 ∵a,b,c是三个不全相等的正数,
∴三个不等式ba+ab≥2,ca+ac≥2,cb+bc≥2(待证不等式左侧拆分后可得证明方向)的等号不能同时成立,
则ba+ab+ca+ac+cb+bc>6,
∴ba+ca-1+ab+cb-1+ac+bc-1>3,
即b+c-aa+a+c-bb+a+b-cc>3.
5.证明 (1)因为x>0,y>0,所以x+1x≥2,当且仅当x=1时,等号成立,
y+1y≥2,当且仅当y=1时,等号成立.
故x+1xy+1y≥4,当且仅当x=y=1时,等号成立.
(2)因为x>0,y>0,所以xy>0.
x+1yy+1x=xy+1xy+2
≥2xy·1xy+2=4,
当且仅当xy=1时,等号成立.
6.证明 (1)因为a,b>0,所以a+b≥2ab,所以1≥2ab,平方得1≥4ab,
所以1ab≥4,当且仅当a=b=12时,等号成立,得证.
(2)要证a+b≤2,即证(a+b)2≤2,即证a+b+2ab=1+2ab≤2,
只需证ab≤12,即证ab≤14,即证1ab≥4,由(1)可知1ab≥4成立,
所以a+b≤2成立.
7.B 设平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为y元,则y=x4×x×1+900x=x4+900x≥2x4·900x=30,当且仅当x4=900x,即x=60时等号成立,
故每批应生产产品60件.
8.答案 2
解析 当t=0时,C=0;
当t>0时,C=20tt2+4=20t+4t≤202t·4t=5,当且仅当t=4t,即t=2时取等号.
因此经过2 h后池水中药品的浓度达到最大.
9.答案 8 000
解析 设该超市每月销售该商品所获得的利润为L元,
由已知得每件该商品的利润为(x-10)元,每月的销售量为100y件,
∴L=100y(x-10)=10020x-20+2(x-10)=20010x-20+1(x-20+10)=200×100x-20+(x-20)+20
≥200×2(x-20)·100x-20+20
=200×40=8 000,
当且仅当100x-20=x-20,即x=30时取等号,
∴该超市每月销售该商品所获得的利润最少为8 000元.
10.解析 设保留旧墙x米,易知02.
5.B 由题意设y1=k1x,y2=k2x,k1>0,k2>0,
∵在距离车站6 km处建仓库时,y2=4y1,∴6k2=4k16,∴k1=9k2,则y1+y2=9k2x+k2x≥29k2x·k2x=6k2,
当且仅当9k2x=k2x,即x=3时等号成立,
所以要使这两项费用之和最小,则仓库到车站的距离应为3 km.
6.B 由题意可知,p=a+b+c2=5,
所以S=5×(5-4)×(5-b)×(5-c)
=5[25-5(b+c)+bc]=5bc-25,
又bc≤b+c22=9,所以S≤5×9-25=25,当且仅当b=c=3时等号成立,所以三角形面积的最大值为25.
7.解析 (1)因为AD=x cm,所以AB=(2-x)cm.
由AD>AB>0得1