2025-2026学年上海戏剧学院附属高级中学高一（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2025-2026学年上海戏剧学院附属高级中学高一（上）期中数学试卷（含解析），共5页。
1、考生须诚信考试,遵守考场规则和考试纪律，并自觉服从监考教师和其他考试工作人员
管理；
2、监考教师发卷后，在试卷指定的地方填写本人准考证号、姓名等信息；考试中途考生不准以任何理由离开考场；
3、考生答卷用笔必须使用同一规格同一颜色的笔作答(作图可使用铅笔) ，不准用规定以外的笔答卷，不准在答卷上作任何标记。考生书写在答题卡规定区域外的答案无效。
4、考试开始信号发出后,考生方可开始作答。
一、填空题（共12题，1-6题，每题4分，7-12题，每题5分共54分）
1．设全集，，则 ．
2．若，，则是的 条件．（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”、“既非充分又非必要”中的一个）
3．将化成有理数指数幂的形式 ．
4．用反证法证明命题：“若，则或”的第一步应该先假设 ．
5．已知幂函数的图像过点，则的解析式为 ．
6．已知，，且，求的最小值是 ．
7．集合，，且，则实数的取值范围 ．
8．不等式等号成立时的取值范围为 ．（结果用区间表示）
9．已知，且，则的值为 ．
10．已知集合，，若，则 ．
11．关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为 ．
12．已知不等式的解集为或，若，，，并且恒成立，则实数的取值范围是 ．
二、选择题：（本大题共4题，13，14题，每题4分，15，16题，每题5分共18分，请将结果直接填写在答题纸上）
13．若，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．C．D．
14．若，，，，下列运算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
15．若关于的不等式组解集为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．，
C．，，D．，，
16．，，，，，为非零实数，则“”是“关于的不等式和的解集相同”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
三、简答题：（本大题共5题，共78分，请将结果直接填写在答题纸上）
17．已知集合，．
（1）若，求集合；
（2）若中至多有一个元素，求实数的取值范围．
18．（1）已知，，试用、表示，．
（2）已知且，若，求的值．
19．解关于的不等式：
（1）；
（2）．
20．（18分）某化工厂生产的某种化工产品，当年产量在150吨至250吨之间时，其生产的总成本（万元）与年产量（吨之间的函数关系式近似地表示为．问：
（1）求年产量为多少吨时，每吨的平均成本最低？并求每吨最低平均成本；
（2）如果每吨平均出厂价为16万元，求年生产量为何范围时，获得的年利润可超过1200万元．
21．（18分）（1）集合表示不等式对任意恒成立的的集合，求集合；
（2）若实数、、满足，则称比远离．
①若比1远离0，求的取值范围；
②对任意两个不相等的正数、，证明：比远离．
参考答案
一、填空题：（本大题共12题，1-6题，每题4分，7-12题，每题5分共54分，请将结果直接填写在答题纸上）
1．设全集，，则 ．
解：全集，，
则．
故答案为：．
2．若，，则是的 必要非充分 条件．（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”、“既非充分又非必要”中的一个）
解：由，解得或，即或；
所以是的必要非充分条件．
故答案为：必要非充分
3．将化成有理数指数幂的形式 ．
解：．
故答案为：．
4．用反证法证明命题：“若，则或”的第一步应该先假设且 ．
解：用反证法证明“若，则或”时，
第一步应先假设“且”．
故答案为：且．
5．已知幂函数的图像过点，则的解析式为 ．
解：根据题意，幂函数的图像过点，
则，解可得，
故的解析式为．
故答案为：．
6．已知，，且，求的最小值是 4 ．
解：，
，当且仅当时等号成立，
故答案为：4．
7．集合，，且，则实数的取值范围 ．
解：集合，，且，
由并集定义得，
实数的取值范围为．
故答案为：．
8．不等式等号成立时的取值范围为 ， ．（结果用区间表示）
解：由绝对值的三角不等式得，
当且仅当时，等号成立，
即的取值范围为，时，等号成立，
故答案为：，．
9．已知，且，则的值为 ．
解：
，
则
即而
则
故答案为：
10．已知集合，，若，则 ．
解：因为，所以，且，，
当时，，则，因为，
所以或，所以或；
当时，，此时满足，故符合条件；
综上所述，的取值为．
故答案为：．
11．关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为， ．
解：由题意可知，关于的不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，符合题意，
当时，则，
解得，
综上，实数的取值范围为，．
故答案为：，．
12．已知不等式的解集为或，若，，，并且恒成立，则实数的取值范围是 ．
解：由不等式的解集为或，得，
且1和3是方程的两根，
由根与系数的关系得，解得，，
所以，即为，
所以，
当且仅当，即，又，所以，此时等号成立，所以的最小值为3，
因为恒成立，则，即，解得．
因此，实数的取值范围是．
故答案为：．
二、选择题：（本大题共4题，13，14题，每题4分，15，16题，每题5分共18分，请将结果直接填写在答题纸上）
13．若，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．C．D．
解：根据题意，依次分析选项：
对于，由于，则，错误；
对于，若，则，错误；
对于，由于，则，正确；
对于，若，则，错误；
故选：．
14．若，，，，下列运算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
解：根据对数的运算性质可知正确．
故选：．
15．若关于的不等式组解集为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．，
C．，，D．，，
解：由，即，
因为关于的不等式组解集为，
所以，
解得或，
所以实数的取值范围是，，．
故选：．
16．，，，，，为非零实数，则“”是“关于的不等式和的解集相同”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解：举反例，不等式与的解集都是，
但是，
若，则不等式与的解集不相同，
故是“关于的不等式和 “的解集相同的既非充分又非必要条件．
故选：．
三、简答题：（本大题共5题，共78分，请将结果直接填写在答题纸上）
17．已知集合，．
（1）若，求集合；
（2）若中至多有一个元素，求实数的取值范围．
解：（1）因为，
所以，
解得，
所以集合，，；
（2）当时，，，
所以，符合题意，
当时，方程无解或仅有1解，则只需△，
解得，
综上所述，的取值范围是．
18．（1）已知，，试用、表示，．
（2）已知且，若，求的值．
解：（1），，
，
．
（2），
，
，
，
．
19．解关于的不等式：
（1）；
（2）．
解：（1）不等式，即，即，即，
等价于，解得或，
的解集为，．
（2）可化为，
当时，即当或时，原不等式即为，解得；
当时，即当或时，解原不等式得或；
当时，即当时，解不等式得或，
故当时，原不等式的解集为或；
当或时，原不等式的解集为；
当或时，原不等式的解集为或．
20．（18分）某化工厂生产的某种化工产品，当年产量在150吨至250吨之间时，其生产的总成本（万元）与年产量（吨之间的函数关系式近似地表示为．问：
（1）求年产量为多少吨时，每吨的平均成本最低？并求每吨最低平均成本；
（2）如果每吨平均出厂价为16万元，求年生产量为何范围时，获得的年利润可超过1200万元．
解：（1）设每吨的平均成本为万元，
则，
当且仅当，即时取等号，
所以当年产量为200吨时，每吨的平均成本最低，且每吨最低平均成本为10万元；
（2）设年利润为万元，
则，
由，得，
即，解得，
因为，，
所以当，时，获得的年利润可超过1200万元．
21．（18分）（1）集合表示不等式对任意恒成立的的集合，求集合；
（2）若实数、、满足，则称比远离．
①若比1远离0，求的取值范围；
②对任意两个不相等的正数、，证明：比远离．
解：（1）由，当且仅当时取等号，
由不等式对任意恒成立，
所以，解得或，
所以集合或；
（2）①由比1远离0，得，所以，
解得或或，
所以的取值范围为．
②证明：因为、是任意两个不相等的正实数，
所以，
，
所以
显然恒成立，
因此，
所以比远离．