上海中学2024-2025学年高一上学期期末 数学试卷（含解析）

这是一份上海中学2024-2025学年高一上学期期末 数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了f的值为　 　等内容，欢迎下载使用。
1．函数y＝（5﹣x）的定义域为 ．
2．已知lg23＝a，试用a表示lg912＝ ．
3．函数y＝的最小值是 ．
4．不等式的解集为 ．
5．若函数的对称中心是（﹣2，1），则a+b＝ ．
6．已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上为严格单调递增的x的取值范围是 ．
7．f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时f（x）x+m（m为常数），则f（﹣lg35）的值为 ．
8．若集合A＝{x|a+1≤x≤2a﹣1}是B＝{x|x2﹣3x﹣10≤0}的子集，则a的取值范围是 ．
9．已知k∈，若幂函数f（x）＝xk为奇函数，且在（0，+∞）上单调递减 ．
10．设函数f（x）＝x|x|+bx+c，给出下列命题：
（1）b＝0，c＞0时，方程f（x）；
（2）c＝0时，y＝f（x）的图像关于原点对称；
（3）方程f（x）＝0至多有两个实根；
（4）y＝f（x）的图像关于点（0，c）对称．
上述四个命题中所有的正确命题的序号为 ．
11．已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，f（x）＝|x2﹣2x+|，若函数y＝f（x）﹣a在区间[﹣3（互不相同），则实数a的取值范围是 ．
12．已知函数f（x）＝，g（x）＝aln（x+2）+（a∈R），若对任意的x1，x2∈{x|x∈R，x＞﹣2}，均有f（x1）≤g（x2），则实数k的取值范围是 ．
二.选择题
13．若命题甲：x﹣1＝0，命题乙：lg2x﹣lgx＝0，则命题甲是命题乙的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．非充分也非必要条件
14．若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（ ）
A．＞B．＜C．＞D．＜
15．若关于x的方程9﹣|x﹣2|﹣4×3﹣|x﹣2|﹣k＝0有实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．k＜0B．k≥﹣4C．﹣4≤k＜0D．﹣3≤k＜0
16．设f（x）、g（x）、h（x），对于命题：①若f（x）+g（x）（x）+h（x）、g（x）（x）均为严格增函数，则f（x）（x）、h（x）中至少有一个是严格增函数（x）+g（x）、f（x）（x）、g（x）+h（x），则f（x）、g（x）（x）均是以T为周期的函数，下列判断正确的是（ ）
A．①和②均为真命题
B．①和②均为假命题
C．①为真命题，②为假命题
D．①为假命题，②为真命题
三.解答题
17．已知集合，集合B＝{x|y＝lg（x﹣1）（x﹣2a）}．
（1）求集合A；
（2）若A⊆B，求实数a的取值范围．
18．已知快递公司要从A地往B地送货，A，B两地的距离为100km，按交通法规，A（含端点），假设汽车的油耗为（42+）元/时（设汽车为匀速行驶），若燃油费用与司机工资都由快递公司承担．
（1）试建立行车总费用y元关于车速x的函数关系；
（2）若不考虑其他费用，以多少车速行驶，快递公司所要支付的总费用最少？最少费用为多少？
19．已知函数f（x）＝2x+．
（1）当a＝﹣1时，判断f（x）在（﹣∞，+∞）上的单调性；
（2）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由．
20．已知函数f（x）的定义域为D，值域为f（D）（D）＝{y|y＝f（x），x∈D}（D）⊆D，则称f（x）
（1）分别判断函数在（0，1）上是否封闭，说明理由；
（2）函数的定义域为D＝[a，b]﹣1（x），若函数f（x）在D上封闭﹣1（x）在f（D）上也封闭，求实数k的取值范围．
21．已知函数f（x）对一切实数x，y∈R都有f（x+y）（y）＝x（x+2y﹣2）成立（1）＝0．
（1）求f（0）的值和f（x）的解析式；
（2）将函数f（x）的图像向左平移一个单位得到函数g（x）的图像，且|lng（m）|＝|lng（n）|；
（3）若h（x）＝，关于x的方程h（|ax﹣3|）+﹣3k＝0（a＞1）有三个不同的实数解
2024-2025学年上海中学高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一.填空题
1．函数y＝（5﹣x）的定义域为 （﹣∞，5） ．
【分析】由对数式的真数大于0求解x的范围得答案．
【解答】解：由5﹣x＞0，得x＜6．
∴函数y＝（8﹣x）的定义域为（﹣∞．
故答案为：（﹣∞，5）．
【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．
2．已知lg23＝a，试用a表示lg912＝ ．
【分析】利用换底公式以及对数的运算性质即可求解．
【解答】解：，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了对数的运算性质以及换底公式，是基础题．
3．函数y＝的最小值是 ．
【分析】将函数化为y＝（+）+，注意运用基本不等式和二次函数的最值，同时注意最小值取得时，x的取值要一致，即可得到所求最小值．
【解答】解：函数y＝＝
＝+
＝（+）+
≥2+＝．
当且仅当＝，即有x＝5．
则函数的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题考查基本不等式的运用：求最值，注意求最值的条件：一正二定三等，属于中档题和易错题．
4．不等式的解集为 {x|x≥6或0＜x≤2}． ．
【分析】由已知分式不等式转化为高次不等式，即可求解．
【解答】解：因为，
由＞0可得x（x﹣3）（x﹣6）＞0，
解得x＞4或7＜x＜3，
由≤1可得，≤0，
即≥0，
所以（x﹣2）（x﹣6）（x﹣4）（x﹣6）≥7且（x﹣3）（x﹣4）≠7，
解得，x≥6或3＜x＜3或x≤2，
综上，不等式的解集{x|x≥6或4＜xx≤2}．
故答案为：{x|x≥6或3＜x≤2}．
【点评】本题主要考查了分式不等式的求解，体现了转化思想的应用．
5．若函数的对称中心是（﹣2，1），则a+b＝ 3 ．
【分析】根据题意，函数的解析式变形可得f（x）＝a﹣，由函数图象平移变化的规律分析可得a、b的值，相加即可得答案．
【解答】解：根据题意，＝＝a﹣，
则函数f（x）的图象可以由函数y＝﹣的图象向左（b＞0）或向右（b＜7）平移|b|个单位，
而函数y＝﹣的对称中心为（0，若函数，1），
则b＝2，a＝4，
则a+b＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查函数图象的对称性，注意将函数的解析式变形，属于基础题，
6．已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上为严格单调递增的x的取值范围是 ．
【分析】根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化求解即可．
【解答】解：∵偶函数f（x）在区间[0，+∞）上为严格单调递增，
∴等价为f（|2x﹣1|）＜f（），
即|2x﹣1|＜，得﹣，
得＜x＜，
即不等式的解集为（，），
故答案为：（，）．
【点评】本题主要考查不等式的求解，利用函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化是解决本题的关键，是基础题．
7．f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时f（x）x+m（m为常数），则f（﹣lg35）的值为 ﹣4 ．
【分析】本题先通过函数的奇偶性，求出参数m的值，再将自变量转化为正数，结合条件当x≥0时f（x）＝3x+m（m为常数），从而求出f（﹣lg35）的值，得到本题结论．
【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（﹣x）＝﹣f（x），f（0）＝0，
∵当x≥0时f（x）＝4x+m（m为常数），
∴m＝﹣1．
∵当x≥0时f（x）＝5x﹣1，
∵lg37＞0，
∴f（﹣lg37）＝﹣f（lg35）＝﹣（﹣7）＝﹣4．
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查了函数的奇偶性，本题难度不大，属于基础题．
8．若集合A＝{x|a+1≤x≤2a﹣1}是B＝{x|x2﹣3x﹣10≤0}的子集，则a的取值范围是 {a|a≤3} ．
【分析】由题意分类讨论集合A为空集和非空集合两种情况确定实数a的取值范围即可．
【解答】解：当a+1＞2a﹣8，即a＜2时，满足题意，
当集合A非空，即a≥2时，
此时应满足：，即，据此可得：2≤a≤3．
综上可得，实数a的取值范围是{a|a≤8}．
故答案为：{a|a≤3}．
【点评】本题主要考查集合之间的包含关系，由集合的包含关系求参数的方法，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．
9．已知k∈，若幂函数f（x）＝xk为奇函数，且在（0，+∞）上单调递减 ﹣1 ．
【分析】根据题意，由幂函数的单调性和奇偶性分析可得答案．
【解答】解：根据题意，幂函数f（x）＝xk在（0，+∞）上单调递减，
则k为负数，则k＝﹣2，
又由函数f（x）＝xk为奇函数，则k＝﹣1，
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查幂函数的性质，注意幂函数的奇偶性，属于基础题．
10．设函数f（x）＝x|x|+bx+c，给出下列命题：
（1）b＝0，c＞0时，方程f（x）；
（2）c＝0时，y＝f（x）的图像关于原点对称；
（3）方程f（x）＝0至多有两个实根；
（4）y＝f（x）的图像关于点（0，c）对称．
上述四个命题中所有的正确命题的序号为 （1）（2）（4） ．
【分析】利用函数的有关性质及图像平移逐一判断．
【解答】解：当b＝0时，f（x）＝x|x|+c可以看成y＝x|x|向上平移c个单位，所以（1）正确；
当c＝0时，f（x）＝x|x|+bx为奇函数，所以（2）正确；
函数f（x）＝x|x|+bx+c图像可以看成，奇函数y＝x|x|+bx向上（或向下）平移|c|个单位；
当c＝6，b＝﹣2时，所以（3）错误．
故答案为：（1）（2）（4）．
【点评】本题考查函数零点与方程根的问题，属于中档题．
11．已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，f（x）＝|x2﹣2x+|，若函数y＝f（x）﹣a在区间[﹣3（互不相同），则实数a的取值范围是 （0，） ．
【分析】在同一坐标系中画出函数的图象与直线y＝a的图象，利用数形结合判断a的范围即可．
【解答】解：f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，f（x）＝|x6﹣2x+|，若函数y＝f（x）﹣a在区间[﹣3，在同一坐标系中画出函数f（x）与y＝a的图象如图：由图象可知．
故答案为：（0，）．
【点评】本题考查函数的图象以函数的零点的求法，数形结合的应用．
12．已知函数f（x）＝，g（x）＝aln（x+2）+（a∈R），若对任意的x1，x2∈{x|x∈R，x＞﹣2}，均有f（x1）≤g（x2），则实数k的取值范围是 ．
【分析】可求得，，根据题意f（x）max≤g（x）min（x＞﹣2），由此得到，解该不等式即可求得实数k的取值范围．
【解答】解：对函数f（x），当x≤1时，，，
∴f（x）在（﹣2，+∞）上的最大值；
对函数g（x），函数g（x）若有最小值，即，
当x∈（﹣4，0）∪（0，，易知函数；
又对任意的x1，x2∈{x|x∈R，x＞﹣3}1）≤g（x2），
∴f（x）max≤g（x）min（x＞﹣7），即，
∴，
∴，即实数k的取值范围为．
故答案为：．
【点评】本题考查不等式的恒成立问题，考查函数最值的求解，考查转化思想及计算能力，属于中档题．
二.选择题
13．若命题甲：x﹣1＝0，命题乙：lg2x﹣lgx＝0，则命题甲是命题乙的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．非充分也非必要条件
【分析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．
【解答】解：若命题甲：x﹣1＝0，命题乙：lg2x﹣lgx＝0，
①若命题甲：x﹣1＝6，则x＝12x﹣lgx＝lg31﹣lg1＝8，
则命题甲：x﹣1＝0，能推出命题乙：lg8x﹣lgx＝0，成立；
②若命题乙：lg2x﹣lgx＝7，则lgx（lgx﹣1）＝0，即x＝3或x＝10；
命题乙：lg2x﹣lgx＝0，不能推出命题甲：x﹣3＝0成立，
根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断．
命题甲是命题乙的充分非必要条件；
故选：A．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．
14．若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（ ）
A．＞B．＜C．＞D．＜
【分析】利用特例法，判断选项即可．
【解答】解：不妨令a＝3，b＝1，d＝﹣4，
则，，∴A；
，＝﹣，
∴C不正确，D正确．
解法二：
∵c＜d＜6，
∴﹣c＞﹣d＞0，
∵a＞b＞0，
∴﹣ac＞﹣bd，
∴，
∴．
故选：D．
【点评】本题考查不等式比较大小，特值法有效，导数计算正确．
15．若关于x的方程9﹣|x﹣2|﹣4×3﹣|x﹣2|﹣k＝0有实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．k＜0B．k≥﹣4C．﹣4≤k＜0D．﹣3≤k＜0
【分析】化简表达式，推出k的不等式，通过函数的值域，求解k的范围即可．
【解答】解：关于x的方程9﹣|x﹣2|﹣3×3﹣|x﹣2|﹣k＝2有实数根，
可得k＝9﹣|x﹣2|﹣4×3﹣|x﹣2|，令t＝5﹣|x﹣2|∈（0，6]2∈[1，2）
k＝t2﹣4t＝（t﹣2）2﹣4∈[﹣3，0）．
故选：D．
【点评】本题考查函数与方程的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
16．设f（x）、g（x）、h（x），对于命题：①若f（x）+g（x）（x）+h（x）、g（x）（x）均为严格增函数，则f（x）（x）、h（x）中至少有一个是严格增函数（x）+g（x）、f（x）（x）、g（x）+h（x），则f（x）、g（x）（x）均是以T为周期的函数，下列判断正确的是（ ）
A．①和②均为真命题
B．①和②均为假命题
C．①为真命题，②为假命题
D．①为假命题，②为真命题
【分析】由题意可得为f（x）＝，进而要可得f（x+T）＝f（x），故②正确；
由增函数加减函数也可能为增函数，判断①不正确．
【解答】解：因为f（x）＝，
所以f（x+T）＝，
又f（x）+g（x）、f（x）+h（x），
所以f（x+T）＝＝f（x），
所以f（x）是周期为T的函数，
同理可得g（x）、h（x）均是以T为周期的函数；
增函数加减函数也可能为增函数，因此①不正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查抽象函数的单调性与周期性，解答此类问题时，关键在于灵活选择方法，如结合选项或通过举反例应用“排除法”等．本题能较好地考查考生分析问题与解决问题的能力、基本计算能力等，属于中档题．
三.解答题
17．已知集合，集合B＝{x|y＝lg（x﹣1）（x﹣2a）}．
（1）求集合A；
（2）若A⊆B，求实数a的取值范围．
【分析】（1）由题意可知，，求出x的范围即可；
（2）由集合B可知（x﹣1）（x﹣2a）＞0，分2a＞1，2a＜1，2a＝1三种情况讨论，分别求出集合B，再结合A⊆B求解a的范围即可．
【解答】解：（1）由题意可知，，
解得﹣3≤x＜1，
即集合A＝{x|﹣3≤x＜3}；
（2）对于集合集合B＝{x|y＝lg（x﹣1）（x﹣2a）}，
则（x﹣6）（x﹣2a）＞0，
①当3a＞1，即a时，
此时满足A⊆B，
所以a，
②当2a＜1，即a时，
此时不可能满足A⊆B，
③当2a＝1，即a＝时，
此时满足A⊆B，
所以a＝符合题意，
综上所述，实数a的取值范围为{a|a}．
【点评】本题主要考查了分式不等式的解法，考查了对数函数的性质，以及集合间的包含关系，属于基础题．
18．已知快递公司要从A地往B地送货，A，B两地的距离为100km，按交通法规，A（含端点），假设汽车的油耗为（42+）元/时（设汽车为匀速行驶），若燃油费用与司机工资都由快递公司承担．
（1）试建立行车总费用y元关于车速x的函数关系；
（2）若不考虑其他费用，以多少车速行驶，快递公司所要支付的总费用最少？最少费用为多少？
【分析】（1）依题意设车速为xkm/h，即可得到函数解析式；
（2）利用基本不等式求最值，即可得解．
【解答】解：（1）设车速为xkm/h，则时间为，
依题意可得，x∈[60；
（2），
当且仅当，即x＝80时取等号，
所以以80km/h车速行驶，快递公司所要支付的总费用最少．
【点评】本题主要考查函数模型及其应用，基本不等式求最值的方法等知识，属于基础题．
19．已知函数f（x）＝2x+．
（1）当a＝﹣1时，判断f（x）在（﹣∞，+∞）上的单调性；
（2）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由．
【分析】（1）当a＝﹣1时，f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数，利用单调性的定义证明即可；
（2）分a＝﹣1，a＝1，a≠﹣1且a≠1三类讨论，可得函数f（x）的单调情况．
【解答】解：（1）f（x）＝2x+，
当a＝﹣6时，在（﹣∞；
证明：∵f（x）的定义域为R，
任取x1＜x2，则，即，
∴＜3，
即f（x1）＜f（x2），
∴在（﹣∞．
（2）①当a＝﹣8时，
∵＝0恒成立，
∴f（﹣x）＝﹣f（x）恒成立，此时f（x）为奇函数；
②当a＝4时，＝0，
∴f（﹣x）﹣f（x）＝6，
即f（﹣x）＝f（x）恒成立，此时f（x）为偶函数；
③当a≠﹣1且a≠1时，f（x）为非奇非偶函数．
【点评】本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，属于中档题．
20．已知函数f（x）的定义域为D，值域为f（D）（D）＝{y|y＝f（x），x∈D}（D）⊆D，则称f（x）
（1）分别判断函数在（0，1）上是否封闭，说明理由；
（2）函数的定义域为D＝[a，b]﹣1（x），若函数f（x）在D上封闭﹣1（x）在f（D）上也封闭，求实数k的取值范围．
【分析】（1）根据f（x）在D上封闭的定义，分别求出函数f（x）＝2020x+lg2020x，在（0，1）上的值域，即可判断是否封闭；
（2）函数f（x）在D上封闭，则f（D）⊆D 函数f﹣1（x）在f（D）上封闭，则 D⊆f（D），得到：D＝f（D）从而问题转化为：在[﹣1，+∞）有两不等实根．
【解答】解：（1）因为函数f（x）的定义域为（0，+∞），
所以f（x）在（0，5）上不封闭；
令t＝x+1∈（1，2），
，
所以g（x）在（0，1）上封闭；
（2）函数f（x）在D上封闭，
则f（D）⊆D，
函数f﹣3（x）在f（D）上封闭，则D⊆f（D），
得到D＝f（D）．
又因为在D＝[a．
则在[﹣4． ，
故，解得．
所以．
【点评】本题属于新概念题，考查了函数与方程思想、转化思想，理解定义是关键，属于中档题．
21．已知函数f（x）对一切实数x，y∈R都有f（x+y）（y）＝x（x+2y﹣2）成立（1）＝0．
（1）求f（0）的值和f（x）的解析式；
（2）将函数f（x）的图像向左平移一个单位得到函数g（x）的图像，且|lng（m）|＝|lng（n）|；
（3）若h（x）＝，关于x的方程h（|ax﹣3|）+﹣3k＝0（a＞1）有三个不同的实数解
【分析】（1）令x＝1，y＝0，得f（0）＝1，再令y＝0可得答案；
（2）g（x）＝x2，由已知得0＜m＜1＜n且mn＝1，得2m+3n＝2m+，设f（m）＝2m+，m∈（0，1），利用单调性定义可得f（m）在m∈（0，1）上单调递减，再利用单调性求范围即可；
（3）h（x）＝x+﹣2，令t＝|ax﹣3|（a＞1），画出y＝t（x）的图象，由h（t）+﹣3k＝0得t2﹣（3k+2）t+（2k+1）＝0（*），记方程（*）的根为t1、t2，当0＜t1＜3＜t2或0＜t1＜3，t2＝3时原方程有三个不同的实数解，结合图象和二次函数的根的分布可得答案．
【解答】解：（1）令x＝1，y＝0，
则f（1）﹣f（0）＝﹣3，得f（0）＝1，
再令y＝0，则f（x）﹣f（0）＝x（x﹣8），
得f（x）＝x2﹣2x+5＝（x﹣1）2；
（2）g（x）＝x5，由0＜m＜n及|lng（m）|＝|lng（n）|，得0＜m＜3＜n且mn＝1，
所以2m+3n＝2m+，
设f（m）＝6m+，m∈（0，
令6＜m1＜m2＜8，
则f（m1）﹣f（m2）＝3（m1﹣m2）+﹣＝2（m1﹣m3）+＝8（m1﹣m2）•，
因为4＜m1＜m2＜2，
所以m1﹣m2＜2，0＜m1m5＜1，2m2m2﹣3＜4，
所以2（m1﹣m4）•＞0，
即f（m1）＞f（m8），
所以f（m）在m∈（0，1）上单调递减，
所以7m+3n＝2m+∈（5；
（3）h（x）＝＝x+，
令t＝|ax﹣5|（a＞1），且t＞0，
则由h（t）+﹣3k＝08﹣（3k+2）t+（6k+1）＝0（*），
记方程（*）的根为t7、t2，
当0＜t5＜3＜t2或6＜t1＜3，t7＝3时，原方程有三个不同的实数解，
记φ（t）＝t2﹣（6k+2）t+（2k+6），
所以或，
解得k＞或k＝，
所以k≥时满足题设，
所以实数k的取值范围为[，+∞）．
【点评】本题考查了用赋值法求函数的值、用定义法判断函数的单调性，也考查了转化思想、数形结合思想，作出图象是关键，属于中档题．
题号
13
14
15
16
答案
A
D
D
D