2025-2026学年上海市徐汇区中国中学高一（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2025-2026学年上海市徐汇区中国中学高一（上）期中数学试卷（含解析），共5页。
1、考生须诚信考试,遵守考场规则和考试纪律，并自觉服从监考教师和其他考试工作人员
管理；
2、监考教师发卷后，在试卷指定的地方填写本人准考证号、姓名等信息；考试中途考生不准以任何理由离开考场；
3、考生答卷用笔必须使用同一规格同一颜色的笔作答(作图可使用铅笔) ，不准用规定以外的笔答卷，不准在答卷上作任何标记。考生书写在答题卡规定区域外的答案无效。
4、考试开始信号发出后,考生方可开始作答。
一、填空题（1-6题每题3分，7-12每题4分，共计42分）.
1．27的3次方根为 ．
2．已知集合，1，，，则 ．
3．陈述句“或”的否定形式是 ．
4．关于的方程无实数解，则实数的取值范围是 ．
5．已知集合，，则 ．
6．若，，则是的 条件．
7．正实数、满足，则的最大值为 ．
8．已知，则的最小值为 ．
9．若关于的不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是 ．
10．已知一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为 ．
11．已知不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是 ．
12．已知集合，，对它的非空子集，将中每个元素都乘以再求和，如，4，，可以求得和为，则对的所有非空子集，这些和的总和为 ．
二、选择题（每题4分，共计16分）
13．如果实数、同号，则下列命题中正确的是（ ）
A．B．C．D．
14．下列不等式中，解集相同的是（ ）
A．与
B．与
C．与
D．与
15．若全集，集合，或，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A．B．C．或D．
16．由无理数引发的数学危机已知延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金提出了“戴德金分割”，才结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴金德分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴金德分割．试判断，对于任一戴金德分割，下列选项中不可能恒成立的是（ ）
A．没有最大元素，有一个最小元素
B．没有最大元素，也没有最小元素
C．有一个最大元素，有一个最小元素
D．有一个最大元素，没有最小元素
三、解答题（第17题6分，第18题8分，第19题8分，第20题10分，第21题10分，共计42分）
17．写出不等式组：的解集．
18．已知集合，．
（1）当时，求集合；
（2）若“”是“”成立的充分非必要条件，求实数的取值范围．
19．已知函数．
（1）若的解集为，求的值．
（2）若，解关于的不等式．
20．上海地铁四通八达，给市民出行带来便利，已知某条线路运行时，地铁的发车时间间隔（单位：分钟）满足：，，经测算，地铁载客量与发车时间间隔满足，其中．
（1）请你说明（5）的实际意义；
（2）若该线路每分钟的净收益为（元，问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？并求最大净收益．
21．已知是的非空真子集，如果对任意，，都有，，则称是封闭集．
（1）判断集合，，0，是否为封闭集，并说明理由；
（2）命题：若非空集合，是封闭集，则“”是“是封闭集”的充要条件．请判断命题的真假，并说明理由．
参考答案
一、填空题（1-6题每题3分，7-12每题4分，共计42分）
1．27的3次方根为 3 ．
解：设27的3次方根为，则，解得，
所以27的3次方根为3．
故答案为：3．
2．已知集合，1，，，则，1，2， ．
解：集合，，1，，则，1，2，．
故答案为：，1，2，．
3．陈述句“或”的否定形式是 且 ．
解：命题为全称命题，则“或”的否定形式为且，
故答案为：且．
4．关于的方程无实数解，则实数的取值范围是 ．
解：由关于的方程无实数解，得，解得．
故答案为：．
5．已知集合，，则 ．
解：集合，
又，故可以取全体实数，，
故．
故答案为：．
6．若，，则是的 必要不充分 条件．
解：由或，，
故是的必要不充分条件．
故答案为：必要不充分．
7．正实数、满足，则的最大值为 ．
解：，，
，
，当且仅当时，等号成立，
的最大值为．
故答案为：．
8．已知，则的最小值为 3 ．
解：，，
，
当且仅当时，等号成立．
故的最小值为3．
故答案为：3．
9．若关于的不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是 ， ．
解：当时，不等式即，满足条件．
当时，要使不等式对一切恒成立，
需，解得．
综上可得，实数的取值范围是，4 ，
故答案为，4 ．
10．已知一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为 ．
解：由的解集为，得1，2是方程的根，
则，，即，，不等式为，
即，解得或．
故答案为：．
11．已知不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是， ．
解：因为，当时，取等号，
所以，
解得．
故答案为：，．
12．已知集合，，对它的非空子集，将中每个元素都乘以再求和，如，4，，可以求得和为，则对的所有非空子集，这些和的总和为 2560 ．
解：集合，，2，3，4，5，6，7，8，9，，
集合中所有非空子集中含有1的有10类，
（1）单元素集合中只有含有1，1出现了次，
（2）双元素集合含有1的有，，，，，，1出现了次，
（3）三元素集合含有1的有，2，，，2，，，9，，1出现了次，
含有10元素集合，2，3，4，5，6，7，8，9，，即1出现了次，
故1出现了次，
故集合的所有非空子集中，这些和的总和是．
故答案为：2560．
二、选择题（每题4分，共计16分）
13．如果实数、同号，则下列命题中正确的是（ ）
A．B．C．D．
解：选项，当时，，故错误；
选项，当，时，，而，故错误；
选项，当，时，，而，故错误；
选项，因为实数、同号，所以，，所以，当且仅当，即时，等号成立，
故正确．
故选：．
14．下列不等式中，解集相同的是（ ）
A．与
B．与
C．与
D．与
解：对于：由，解得：，
故不等式的解集是，
而中，故不等式的解集是，，，中解集不同；
对于：由，解得：且，
故中解集不同；
对于的解集是，
的解集是，中的解集相同；
对于的解集是且，
的解集是，故中解集不同；
故选：．
15．若全集，集合，或，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A．B．C．或D．
解：由题可得或，
故图中阴影部分所表示的集合为．
故选：．
16．由无理数引发的数学危机已知延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金提出了“戴德金分割”，才结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴金德分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴金德分割．试判断，对于任一戴金德分割，下列选项中不可能恒成立的是（ ）
A．没有最大元素，有一个最小元素
B．没有最大元素，也没有最小元素
C．有一个最大元素，有一个最小元素
D．有一个最大元素，没有最小元素
解：若，；则没有最大元素，有一个最小元素0；故正确；
若，；则没有最大元素，也没有最小元素；故正确；
若，；有一个最大元素，没有最小元素，故正确；
有一个最大元素，有一个最小元素不可能，故不正确；
故选：．
三、解答题（第17题6分，第18题8分，第19题8分，第20题10分，第21题10分，共计42分）
17．写出不等式组：的解集．
解：由，得，解得，
由，得，解得，
所以原不等式组的解集为．
18．已知集合，．
（1）当时，求集合；
（2）若“”是“”成立的充分非必要条件，求实数的取值范围．
解：（1）当时，，集合，
．
则；
所以．
（2）因为“”是“”成立的充分非必要条件，则，且，
易知
所以，解得，符合题意；
综上所述，的取值范围为．
19．已知函数．
（1）若的解集为，求的值．
（2）若，解关于的不等式．
解：（1）由题意知，是方程的解，将代入得，解得；
原不等式为，化简为，，所以不等式的解集为，；
所以．
（2）由不等式，可得，
即，则方程的两根分别是或；
当时，，不等式的解集为；
当时，，不等式的解集为；
当时，，不等式的解集为；
综上，时，解集为；
时，解集为；
时，解集为．
20．上海地铁四通八达，给市民出行带来便利，已知某条线路运行时，地铁的发车时间间隔（单位：分钟）满足：，，经测算，地铁载客量与发车时间间隔满足，其中．
（1）请你说明（5）的实际意义；
（2）若该线路每分钟的净收益为（元，问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？并求最大净收益．
解：（1）由分段函数的表达式得（5）的实际意义，发车间隔为5，载客量为950；
（2）当时，，
，当且仅当，即时取等号．
当，．
则当，．
即发车时间间隔为6分钟时，该线路每分钟的净收益最大？并求最大净收益为120元．
21．已知是的非空真子集，如果对任意，，都有，，则称是封闭集．
（1）判断集合，，0，是否为封闭集，并说明理由；
（2）命题：若非空集合，是封闭集，则“”是“是封闭集”的充要条件．请判断命题的真假，并说明理由．
解：（1）对于，取其元素0，计算得，，均属于，故是封闭集；
对于，0，，取其元素，计算得，，故不是封闭集．
（2）真命题，理由如下：
若，不妨任取，，则有，，
又集合是封闭集，则，，同理，，
因此，，即是封闭集；
反之，若是封闭集，则是非空集合，即，
故是是封闭集的充要条件，命题是真命题．