2022-2023学年上海师范大学附属中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年上海师范大学附属中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中“攻破楼兰”是“返回家乡”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据必要条件的判断即可求解.

【详解】“攻破楼兰”不一定“返回家乡”，故充分性不一定成立，但“返回家乡”一定是“攻破楼兰”，故必要性成立，所以“攻破楼兰”是“返回家乡”必要条件．

故选:B．

2．若，且，则下列各式中，恒成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】运用不等式的性质，化简，再移项通分，判断可选出答案．

【详解】因为，所以

又因为，所以.

故选：B.

【点睛】本题考查分式不等式的大小比较，一般利用作差法，化简后，将分式不等式化为整式不等式，进行求解．属于基础题．

3．用反证法证明命题“如果可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为（    ）

A．a，b都不能被5整除 B．a，b都能被5整除

C．a，b不都能被5整除 D．a不能被5整除

【答案】A

【分析】“至少有一个”的否定是“一个也没有”，进而可得答案.

【详解】“至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“a，b都不能被5整除”.

故选：A.

【点睛】本题主要考查用反证法证明数学命题，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口，属于基础题.

4．函数的图像如图所示，其中为常数，则下列结论正确的是（    ）

A．， B．， C．， D．，

【答案】D

【分析】由函数的单调性得到的范围，再根据函数图像平移关系分析得到的范围.

【详解】由函数的图像可知，函数在定义域上单调递减，，排除AB选项；

分析可知：

函数图像是由向左平移所得，，.故D选项正确.

故选：D

二、填空题

5．已知集合，则集合_____.

【答案】

【分析】根据已知条件，求得集合；再求交集即可.

【详解】因为，

故.

则.

故答案为：.

【点睛】本题考查集合的交运算，属简单题.

6．不等式的解集为__________．

【答案】或

【分析】十字相乘法因式分解可解得结果.

【详解】由得，得或，

所以不等式的解集为或.

故答案为：或

7．不等式的解集为__________.

【答案】

【分析】将分式不等式转化为整式不等式，并结合一元二次不等式的解法运算求解，注意分母不能为0.

【详解】∵，则，解得，

故不等式的解集为.

故答案为：.

8．已知幂函数的图象过点，则_____________．

【答案】

【分析】设出幂函数解析式，代入已知点坐标求解．

【详解】设，由已知得，所以，．

故答案为：．

9．已知方程的两个根为､，则___________.

【答案】

【解析】利用韦达定理代入求解即可.

【详解】由方程的两个根为､，

利用韦达定理得：，

.

故答案为：.

10．若，则的最小值为________.

【答案】

【分析】将所求代数式变形为，然后利用基本不等式可求出该代数式的最小值.

【详解】，则，由基本不等式得，

当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.

故答案为：.

【点睛】本题考查利用基本不等式求和的最小值，解题的关键就是对代数式进行合理配凑，考查计算能力，属于基础题.

11．设全集为，用集合的交、并、补集符号表示图中的阴影部分__________

【答案】.

【分析】由韦恩图可以看出阴影部分在集合中或在集合中，但不在集合中，利用交集、补集、并集的定义表示出阴影部分表示的集合.

【详解】由阴影部分可得，其表示的元素为满足性质：

在集合中或在集合中，但不在集合中，

所以元素在集合中，不在集合中，

所以可以表示为：，

故答案为：.

【点睛】该题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有应用韦恩图表示集合，根据图形中阴影的特征，判断元素与集合的关系，正确表示集合，属于基础题目.

12．已知函数，若，则_________．

【答案】

【分析】根据函数解析式，分别求解，即可得出结果.

【详解】因为，

当时，由解得，则；

当时，由解得，所以.

故答案为：.

13．已知函数的定义域为，则的值域为_____________．

【答案】

【详解】试题分析：函数的对称轴为，所以在区间上，函数的最大值为

，函数的最小值为，所以函数的值域为．

【解析】二次函数的性质．

14．设，且，则m＝________.

【答案】

【分析】首先指数式化为对数式，再根据对数运算公式计算.

【详解】因为，所以，，

所以.所以，所以.

故答案为：

【点睛】本题考查指对数运算，重点考查计算能力，属于基础题型.

15．若关于的不等式在区间内恒成立，则实数的取值范围为____．

【答案】

【分析】令，解这个绝对值不等式，结合函数的单调性，最后求出实数的取值范围.

【详解】令，因为，所以，因此有.

一方面在上恒成立，即，因为函数在上为增函数，要想在上恒成立，只需大于函数在上的最大值即可，即；

另一方面在上恒成立，即，因为(当且仅当取等号),因此有，所以实数的取值范围为.

故答案为；

【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，考查了函数单调性的性质，考查了基本不等式的应用.

16．对任意两个正整数，定义某种运算（运算符号用表示）：当都为正偶数或正奇数时，；当中一个正奇数，另一个为正偶数时，，则在上述定义下，集合中元素个数为__________.

【答案】41

【分析】根据题意分类讨论当都为正偶数或正奇数，当中一个正奇数，另一个为正偶数，理解运算.

【详解】∵，

当都为正偶数或正奇数时，则，

∴满足条件的有，共35个；

当中一个正奇数，另一个为正偶数时，则，

∴满足条件的有，共6个；

故集合中元素个数为.

故答案为：41.

三、解答题

17．已知集合.

（1）求､；（2）若全集，求.

【答案】（1），；（2）

【分析】（1）计算，，，再计算交集并集得到答案.

（2）计算得到，再计算得到答案.

【详解】（1），，

，故，.

（2），则，.

【点睛】本题考查了集合的交并补计算，意在考查学生的计算能力.

18．已知关于的方程，根据下列条件，分别求出的值．

（1）方程两实根的积为5；

（2）方程的两实根，满足．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）根据二次函数的性质和根的判别式即可求出的值，

（2）分两种情况讨论，①当时，②当时，求出的值．

【详解】解：（1）方程两实根的积为5，

，．

当时，方程两实根的积为5．

（2）由得知：

①当时，，故方程有两相等的实数根，故，

②当时，，即，则，解得，由于时，，

故不合题意，舍去，

故方程有两相等的实数根，故△，

综上可得，时，方程的两实根，满足．

【点睛】本题考查了二次函数的性质和方程根的情况，属于基础题．

19．中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此，甲工程队给出的报价如下屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为x米.

(1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？

(2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（a>0）；若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（报价低的工程队中标），求a的取值范围.

【答案】(1)当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低

(2)

【分析】（1）设总造价为元，列出．利用基本不等式求解函数的最值即可．

（2）由题意可得，对任意的，恒成立，参变分离可得恒成立，即，利用基本不等式求解函数的最值即可．

【详解】（1）解：设甲工程队的总造价为y元，依题意左右两面墙的长度均为米，则屋子前面新建墙体长为米，

则

因为.

当且仅当，即时等号成立.

所以当时，，

即当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为14400元.

（2）解：由题意可得，对任意的恒成立，

即，从而，即恒成立，

又.

当且仅当，即时等号成立.

所以.

20．（1）已知，求.

（2）已知，求的值.

（3）已知，试以表示.

【答案】（1）3；（2）；（3）

【分析】（1）根据平方关系运算求解；（2）根据对数运算结合换底公式及其结论运算；（3）根据对数运算结合换底公式及其结论运算.

【详解】（1）∵，则，

故.

（2）∵，则，

∴.

（3）∵，则，

又∵，则，可得，

∴.

21．已知函数的图象与轴的交点至少有一个在原点右侧．

（1）求实数的取值范围；

（2）令，求的值（其中表示不超过的最大整数，例如：，)；

（3）对（2）中的求函数的值域．

【答案】（1）；（2）；（3）.

【分析】（1）分和两种情况讨论，在时进行验证即可，在时，由可分二次函数有且只有一个零点且为正零点、一个正零点和一个负零点、两个正零点三种情况进行分类讨论，由此可得出实数的取值范围；

（2）求出，可得出，然后分和两种情况讨论，根据定义得出的值；

（3）分、、三种情况讨论，在时代入函数的解析式计算即可，在时，利用函数的单调性得出该函数的值域，在时，考查，结合函数的单调性来得出值域，由此可得出函数的值域.

【详解】（1）①若，则，令，得，此时，函数只有一个正零点，合乎题意；

②若，由于.

（i）若函数有且只有一个零点且为正数，则，解得；

（ii）若函数有一个正零点和一个负零点，则，解得；

（iii）若函数有两个正零点时，则，解得.

综上所述，实数的取值范围是；

（2），.

当时，，此时；当时，，此时.

因此，；

（3）.

①当时，;

②当时，，，则单调递增，此时；

③当时，设，则，，

此时，在上单调递增，则.

设，

则.

当时，；当且时，，数列单调递增，；

设，当且，数列单调递增，

当时，.

所以，当时，函数的值域为.

综上所述，函数的值域为.

【点睛】本题考查利用一元二次方程根的分布问题求参数，同时也考查与与新定义相关的函数的值域问题，解题的关键就是将函数的值域问题转化为数列的单调性问题，考查化归与转化思想的应用，属于难题.