2025-2026学年上海外国语大学附属外国语学校松江云间中学高一（上）期中数学试卷（含解析）

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1、考生须诚信考试,遵守考场规则和考试纪律，并自觉服从监考教师和其他考试工作人员
管理；
2、监考教师发卷后，在试卷指定的地方填写本人准考证号、姓名等信息；考试中途考生不准以任何理由离开考场；
3、考生答卷用笔必须使用同一规格同一颜色的笔作答(作图可使用铅笔) ，不准用规定以外的笔答卷，不准在答卷上作任何标记。考生书写在答题卡规定区域外的答案无效。
4、考试开始信号发出后,考生方可开始作答。
一、填空题（共有12题，第1题至第6题每题4分，第7题至第12题每题5分，共54分）
1．已知全集，1，2，，集合，，则 ．
2．用反证法证明命题“若，则或”时，第一步应该假设的内容为 ．
3．不等式的解集是 ．
4．已知幂函数在区间上是严格减函数，则实数的值为 ．
5．已知常数且，假设无论取什么值，函数的图象恒经过一个定点，则的值为 ．
6．已知实数，将表示为有理数指数幂的形式，其结果为 ．
7．关于实数的方程的解集为 ．
8．已知，且，则实数 ．
9．若函数的定义域为，则实数的取值范围为 ，
10．若，则，就称为“影子关系”集合，在集合的所有非空子集中，“影子关系”集合的个数为 ．
11．甲、乙两人解关于的方程：，甲写错了常数，得两根，，乙写错了常数，得两根，64，则这个方程两个真实根的和为 ．
12．高斯，著名的数学家、物理学家、天文学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称．函数为高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，如，，已知关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为 ．
二、选择题（本大题共有4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑）
13．已知上海市评选市级三好学生时，申报条件之一为：申报者须获得区级三好学生资格．若甲同学是松江区的一名高中生，则“甲是上海市级三好学生”是“甲是松江区级三好学生”的（ ）
A．必要非充分条件B．充分非必要条件
C．充要条件D．既非充分也非必要条件
14．已知，，，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
15．已知为非零实数，则在同一坐标系内，幂函数和一次函数的图像关系可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
16．已知为自然对数的底数，定义“真指数” 的计算公式如下：当时，；当时，，若对任意实数和，给出四个结论：①；②；③；④其中正确结论的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
三、解答题（本大题共有5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤）
17．（1）已知，，，求的值；
（2）已知，，，求的值，
18．已知全集，集合，．
（1）求集合和；
（2）求图中阴影部分所表示的集合．
19．声音强度（分贝）由公式给出，其中为声音能量，能量小于时，人听不见声音，强度大于60分贝时属于噪音，而一般的人待在100分贝至120分贝的空间内，一分钟就会暂时性失聪，
（1）求时的声音强度；
（2）求噪音的能量范围；
（3）当噪声从100分贝提升至120分贝的过程中，其能量增加了多少倍？
20．（18分）已知实数且，且函数的图象过点．
（1）求的值；
（2）求关于实数的不等式的解集；
（3）已知常数，记集合，，，，若“”是“”的必要条件，求的取值范围．
21．（18分）关于实数大小关系的基本事实是解决等式或不等式问题的逻辑基础，两个正数的大小关系是完全确定的，但通过运算就会产生非常奇妙的变化基本不等式就是其中之一，通过运算（代数变形）可以解决很多关于基本不等式的问题．例如此题：已知，为正实数，且，则的最小值为_____．其解法如下：，当且仅当，即时，等号成立，因此的最小值为3．
根据上述材料解决以下问题，
（1）已知，，均为正实数，且，求的最小值；
（2）已知，，且，求的最小值以及此时实数，的值；
（3）某同学在解决题目“已知为正实数，为非负实数，且，则的最小值是多少？”时，给出如下解法：令，则化为．
原式，当且仅当，即，即，时，等号成立．
利用上述解题思路和数学逻辑思维，解决如下问题：已知，，，则的最大值是多少？
参考答案
一、填空题（本大题共有12题，第1题至第6题每题4分，第7题至第12题每题5分，共54分。考生应在答题纸的相应位置直接填写结果）
1．已知全集，1，2，，集合，，则， ．
解：因为集合，，全集，1，2，，
所以．
故答案为：，．
2．用反证法证明命题“若，则或”时，第一步应该假设的内容为且 ．
解：用反证法证明命题“若，则或”时，应假设且．
故答案为：且．
3．不等式的解集是 ．
解：，
，
解得：，
故不等式的解集是，
故答案为：．
4．已知幂函数在区间上是严格减函数，则实数的值为 ．
解：因为幂函数在区间上是严格减函数，
则且，
解得．
故答案为：．
5．已知常数且，假设无论取什么值，函数的图象恒经过一个定点，则的值为 5 ．
解：函数，
令，得，此时，
则函数的图象恒过定点，即，，
所以．
故答案为：5．
6．已知实数，将表示为有理数指数幂的形式，其结果为 ．
解：因为，所以．
故答案为：．
7．关于实数的方程的解集为 ．
解：已知关于实数的方程为，
当时，方程可化为：，解得，符合；
当时，方程可化为：，恒成立，符合；
当时，方程可化为：，解得，符合，
综上：方程的解集为．
故答案为：．
8．已知，且，则实数 6 ．
解：由题意，且，
可得，，
即，
所以．
故答案为：6．
9．若函数的定义域为，则实数的取值范围为 ，
解：由函数的定义域为，可得恒成立，
即△，
解得，
所以实数的取值范围为．
故答案为：．
10．若，则，就称为“影子关系”集合，在集合的所有非空子集中，“影子关系”集合的个数为 7 ．
解：由“影子关系”集合定义可知，集合的所有非空子集中，为影子关系的集合有：
，，，，，，，，，，，，，，，，2，，，，共7个．
故答案为：7．
11．甲、乙两人解关于的方程：，甲写错了常数，得两根，，乙写错了常数，得两根，64，则这个方程两个真实根的和为 12 ．
解：关于的方程，即，
整理得，将其看作关于的一元二次方程，
根据甲写错了，得到根为及，可知甲看到的是正确的，
所以，
同理，乙写错了常数，得到根为及64，可得，
所以原方程为，即，
解得或，即或8，该方程的两个真实根的和为．
故答案为：12．
12．高斯，著名的数学家、物理学家、天文学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称．函数为高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，如，，已知关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为，， ．
解：不等式，即，
方程，可得或，
当时，，由，解得，
由不等式的解集为，所以有，解得，
当时，不等式为，解得，所以，不合题意；
当时，，由，解得，
由不等式的解集为，所以有，解得．
综上，的取值范围为，，．
故答案为：，，．
二、选择题（本大题共有4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑）
13．已知上海市评选市级三好学生时，申报条件之一为：申报者须获得区级三好学生资格．若甲同学是松江区的一名高中生，则“甲是上海市级三好学生”是“甲是松江区级三好学生”的（ ）
A．必要非充分条件B．充分非必要条件
C．充要条件D．既非充分也非必要条件
解：由题意，若甲是市级三好学生，则甲必须是区级三好学生，充分性成立；
但是甲是区级三好学生不一定能评上市级三好学生，必要性不成立．
所以“甲是上海市级三好学生”是“甲是松江区级三好学生”的充分非必要条件．
故选：．
14．已知，，，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
解：当时，显然错误；
当，时，显然错误；
若，则一定成立，所以，正确．
故选：．
15．已知为非零实数，则在同一坐标系内，幂函数和一次函数的图像关系可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
解：对于：由幂函数的性质可以判断出，一次函数经过一、三象限可得．故错误；
对于：由幂函数的性质可以判断出，由一次函数经过二、四象限可得，故错误；
对于：由幂函数的性质可以判断出，而由一次函数经过二、三、四象限可得，且，故错误；
对于：由幂函数的性质可以判断出，由一次函数经过一、三、四象限得，可以同时成立，故正确．
故选：．
16．已知为自然对数的底数，定义“真指数” 的计算公式如下：当时，；当时，，若对任意实数和，给出四个结论：①；②；③；④其中正确结论的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
解：对于①，若，，则，则，显然错误；
对于②，若，，则，则，显然错误；
对于③，若，，则，
故不成立，错误；
对于④，显然，若，均为非正数，显然，
满足，
若，一正一负，且，不妨设，，
则，，满足，
若，一正一负，且，不妨设，，
则，，
则
，故，
若，，则，，
由基本不等式得，
当且仅当时，等号成立，综上，，④正确．
故选：．
三、解答题（本大题共有5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤）
17．（1）已知，，，求的值；
（2）已知，，，求的值，
解：（1），
，
，
所以；
（2），
，
，
所以．
18．已知全集，集合，．
（1）求集合和；
（2）求图中阴影部分所表示的集合．
解：（1）全集，集合，，
由得，
解得，即，
由得或，
即或，
所以或，
；
（2）由图可知：阴影部分为，
又或，
所以或，
即阴影部分表示的集合为或，
19．声音强度（分贝）由公式给出，其中为声音能量，能量小于时，人听不见声音，强度大于60分贝时属于噪音，而一般的人待在100分贝至120分贝的空间内，一分钟就会暂时性失聪，
（1）求时的声音强度；
（2）求噪音的能量范围；
（3）当噪声从100分贝提升至120分贝的过程中，其能量增加了多少倍？
解：（1）声音强度（分贝）由公式给出，其中为声音能量，
当时，
（分贝）；
（2）噪音的强度大于60分贝，代入公式可得，
所以，则，
解得，
故噪音的能量范围为，；
（3）当噪声从100分贝提升至120分贝的过程中，
令，解得，
令，解得，
所以，
所以当噪声从100分贝提升至120分贝的过程中，其能量增加了99倍．
20．（18分）已知实数且，且函数的图象过点．
（1）求的值；
（2）求关于实数的不等式的解集；
（3）已知常数，记集合，，，，若“”是“”的必要条件，求的取值范围．
解：（1）由题意，函数的图象过点，且，
则，解得．
（2）由，得，
令，则，即，
解得，
又，则，即，即，
所以原不等式的解集为．
（3）由题意，“”是“”的必要条件，则，
而，
由，
当，即时，，此时，满足；
当，即时，函数在，上单调递减，
且时，，时，，
此时，
要使，则，解得；
当，即时，函数在，上单调递增，
且时，，时，，
此时，
要使，则，解得．
综上，的取值范围为．
21．（18分）关于实数大小关系的基本事实是解决等式或不等式问题的逻辑基础，两个正数的大小关系是完全确定的，但通过运算就会产生非常奇妙的变化基本不等式就是其中之一，通过运算（代数变形）可以解决很多关于基本不等式的问题．例如此题：已知，为正实数，且，则的最小值为_____．其解法如下：，当且仅当，即时，等号成立，因此的最小值为3．
根据上述材料解决以下问题，
（1）已知，，均为正实数，且，求的最小值；
（2）已知，，且，求的最小值以及此时实数，的值；
（3）某同学在解决题目“已知为正实数，为非负实数，且，则的最小值是多少？”时，给出如下解法：令，则化为．
原式，当且仅当，即，即，时，等号成立．
利用上述解题思路和数学逻辑思维，解决如下问题：已知，，，则的最大值是多少？
解：（1），，均为正实数，且，
，
当且仅当，时取等号，所以最小值为7；
（2），，且，
，
当且仅当，即，时，等号成立，
则的最小值是．
（3），，，
，
令，原式，令，
原式，
当且仅当，即，时，等号成立．
所以的最大值为．