2025-2026学年上海师大附属外国语中学高一（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2025-2026学年上海师大附属外国语中学高一（上）期末数学试卷（含解析）试卷主要包含了填空题.，选择题等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合，全集，则 ．
2．若扇形的弧所对的圆心角为，且半径为10，则该扇形的面积为 ．
3．函数的定义域是 ．
4．已知，是第三象限角，则的值为 ．
5．函数，，的最大值是 ．
6．若实数、满足，则的最小值是 ．
7．关于的方程有解，则实数的取值范围是 ．
8．若幂函数的图象不经过原点，则的值为 ．
9．若函数，的定义域是，，值域是，，则 ．
10．函数是定义在上偶函数，当时，，则函数在上的单调减区间为 ．
11．已知函数在区间上恒有，则实数的取值范围是 ．
12．已知函数的值域为，，则实数的取值范围是 ．
二、选择题：每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．下列各式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
14．函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
15．函数在区间，上的图像是连续不断的，则“（1）（2）”是“函数在区间上没有零点”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
16．已知函数，有下列两个结论：
①的值域为；
②对任意的正有理数，存在奇数个零点
则下列判断正确的是（ ）
A．①②均正确B．①②均错误C．①对②错D．①错②对
三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。
17．已知函数的定义域为集合，集合．
（1）当时，求；
（2）若是的必要条件，求实数的取值范围．
18．已知，求下列各式的值：
（1）；
（2）．
19．某校为了鼓励学生利用业余时间阅读名著，预备制定一个每日阅读考核评分制度，建个每日得分（单位：分）与当日阅读时间（单位：分钟）的函数关系．要求如下：
阅读的部分图像接近图示；
每日阅读时间为0分钟时，当日得分为0分；
每日阅读时间为30分钟时，当日得分为3分；
每日阅读时间设置上限，最多得分不超过6分．
现有以下三个函数模型供选择：
①；②；③．
（1）请你根据以上要求选择合适的函数模型并求出其解析式；
（2）若该校要求每日得分不少于5分，每日至少阅读名著多少分钟？（结果精确到整数）
20．（18分）已知函数的表达式为．
（1）求函数的零点；
（2）解不等式：；
（3）若关于的方程只有一个实根，求实数的取值范围．
21．（18分）已知函数（其中为常数）．
（1）当时，求在上的值域；
（2）若当，时，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）设，是否存在正数，使得对于区间上的任意三个实数，，，都存在以，，为边长的三角形？若存在，试求出这样的的取值范围；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、填空题（共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）
1．已知集合，全集，则或 ．
解：集合，
则或．
故答案为：或．
2．若扇形的弧所对的圆心角为，且半径为10，则该扇形的面积为 ．
解：根据，可得扇形的圆心角，
结合扇形的半径，可得该扇形的面积．
故答案为：．
3．函数的定义域是，， ．
解：由题意可得，解得且，
所以函数的定义域为，，．
故答案为：，，．
4．已知，是第三象限角，则的值为 ．
解：因为，是第三象限角，
则，
所以．
故答案为：．
5．函数，，的最大值是 0 ．
解：．
因为，，
所以时，函数的最大值为0．
故答案为：0．
6．若实数、满足，则的最小值是 ．
解：因为实数、满足，
所以，
当且仅当时取等号．
故答案为：．
7．关于的方程有解，则实数的取值范围是，， ．
解：方程有解，
即有解，
即直线与曲线有交点，
又，，
故，解得或．
故答案为：，，．
8．若幂函数的图象不经过原点，则的值为 2 ．
解：由幂函数的定义知，，即，
解得或；
当时，，幂函数，不经过原点，符合题意；
当时，，幂函数，经过原点，不合题意，舍去；
所以．
故答案为：2．
9．若函数，的定义域是，，值域是，，则 1或 ．
解：由题意得，
当，在，上单调递增，
由题意得（1），（2），
解得，，
则
当时，在，上单调递减，
由题意得（1），（2），
解得，，
则．
故答案为：1或．
10．函数是定义在上偶函数，当时，，则函数在上的单调减区间为，、， ．
解：根据题意，当时，，
在区间，上，为减函数，在，上，为增函数，
又由是定义在上偶函数，
在区间，上，为减函数，在，上，为增函数，
故的单调减区间为，、，．
故答案为：，、，．
11．已知函数在区间上恒有，则实数的取值范围是 ．
解：由对数函数的图象性质，或
由在区间上恒成立，得即
由在区间上恒成立，得即
故答案为
12．已知函数的值域为，，则实数的取值范围是 ， ．
解：令，解得，
令，解得，
因为函数的值域为，，又当时，，，
则函数的最大值只能在时取，所以，
且函数的最大值必须大于等于0，则，
综上，实数的范围为，，
故答案为：，．
二、选择题：每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．下列各式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
解：根据，可知项不正确；
由，可知项不正确；
根据，可知项不正确；
由，，且，
可得，所以项正确．
故选：．
14．函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
解：因为，易知，故选项和错误；
令，，因为是定义域上的增函数，
又在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以选项正确，选项错误．
故选：．
15．函数在区间，上的图像是连续不断的，则“（1）（2）”是“函数在区间上没有零点”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解：因为函数在区间，上的图像是连续不断的，当（1）（2）时，不能推出函数在区间上没有零点，故充分性不成立；
当函数在区间上没有零点时，能推出（1）（2），故必要性成立，
则“（1）（2）”是“函数在区间上没有零点”的必要不充分条件，
故选：．
16．已知函数，有下列两个结论：
①的值域为；
②对任意的正有理数，存在奇数个零点
则下列判断正确的是（ ）
A．①②均正确B．①②均错误C．①对②错D．①错②对
解：对于①，显然为无理数时，，则的值域中不包含负无理数，故①错；
对于②，的零点为，
当为有理数时，必有为解；
当为无理数时，，必有或无解，
所以的零点个数为3个或1个，故②对．
故选：．
三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。
17．已知函数的定义域为集合，集合．
（1）当时，求；
（2）若是的必要条件，求实数的取值范围．
解：（1）已知函数的定义域为集合，
则，则，则，
当时，，
则；
（2）若是的必要条件，
则，
则，则，
则实数的取值范围为，．
18．已知，求下列各式的值：
（1）；
（2）．
解：（1）由题意得；
（2）因为，，
所以
．
19．某校为了鼓励学生利用业余时间阅读名著，预备制定一个每日阅读考核评分制度，建个每日得分（单位：分）与当日阅读时间（单位：分钟）的函数关系．要求如下：
阅读的部分图像接近图示；
每日阅读时间为0分钟时，当日得分为0分；
每日阅读时间为30分钟时，当日得分为3分；
每日阅读时间设置上限，最多得分不超过6分．
现有以下三个函数模型供选择：
①；②；③．
（1）请你根据以上要求选择合适的函数模型并求出其解析式；
（2）若该校要求每日得分不少于5分，每日至少阅读名著多少分钟？（结果精确到整数）
解：（1）根据题意可得应选择增加速度为先快后慢的增长模型，所以选对数型模型，
故选函数模型③；
由题意可知，在上，
所以，解得，，
所以，
令，可得，解得，
所以函数的解析式为：
；
（2）令，
可得，
即，解得，
所以每天得分不少于5分，至少需要阅读66分钟．
20．（18分）已知函数的表达式为．
（1）求函数的零点；
（2）解不等式：；
（3）若关于的方程只有一个实根，求实数的取值范围．
解：（1）由，可得，
即，解得，
故函数零点为；
（2）由，可得，
即，解得，
解得，
故不等式的解集为，；
（3）由，可得，
即，由题意此方程有且只有一个实数解，
令，则，问题转化为：
方程有且只有一个正数根，
（1）当时，，不合题意；
（2）当时，
若△，则或，
若，则，符合题意；
若，则，不合题意；
若△，则或，
由题意，方程有一个正根和一个负根，
即，解得；
综上，实数的取值范围是．
21．（18分）已知函数（其中为常数）．
（1）当时，求在上的值域；
（2）若当，时，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）设，是否存在正数，使得对于区间上的任意三个实数，，，都存在以，，为边长的三角形？若存在，试求出这样的的取值范围；若不存在，请说明理由．
解：（1）函数，
当时，，导数为，
在，上为减函数，在，上为增函数，
当，或时，函数最大值，当时，函数取最小值2，
故在，上的值域为，；
（2）若不等式在，上恒成立，
即在，上恒成立，
即在，上恒成立，
在，递增，可得最小值为，
即，解得；
（3）设在，递减，
可得，，
则，
原问题转化为求实数的取值范围，使得在区间，上，恒有．
讨论：①当时，在，上递增，
，，
由得，
；或；
②当时，在，上单调递减，在，上单调递增，
，，，
由得，
；
③当时，在，上单调递减，在，上单调递增，
，，，
由得，
；
④当时，在，上单调递减，
，，
由得，
；
综上，的取值范围是，，．