2025-2026学年上海中学高一（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2025-2026学年上海中学高一（上）期末数学试卷（含解析）试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．在与角终边相同的角中，最大的负角为 ．
2．函数的定义域为 ．
3．已知钝角满足，则 ．
4．已知幂函数是定义域为的偶函数，则实数 ．
5．已知和它的反函数的图像都经过，则 ．
6．已知是奇函数，则实数的值为 ．
7．已知锐角满足，钝角满足，则 ．
8．“”是“”的 条件．
9．函数的值域为 ．
10．已知函数满足，对任意实数均成立．若（1），（2），则 ．
11．已知存在最小值，则实数的取值范围是 ．
12．已知为正实数，若函数恰有2个零点，则正实数的取值范围是 ．
二、选择题（每题4分，共16分）
13．化为弧度是（ ）
A．180B．C．D．
14．已知定义域为的函数在，上严格增，且其图像关于直线对称．令，，（3）．这三个数的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
15．已知函数是定义域为的奇函数，3是它的一个周期．若（2），则函数在区间，上零点个数的最小值为（ ）
A．5B．6C．7D．9
16．已知函数，的最小正周期为，函数，的最小正周期为，考虑如下两个命题：
命题甲：若且函数，的最小正周期为，则；
命题乙：若且函数，的最小正周期为，则．
下列说法中正确的是（ ）
A．甲和乙均为真命题B．甲和乙均为假命题
C．甲为真命题，乙为假命题D．甲为假命题，乙为真命题
三、解答题（共48分）
17．已知角满足．
（1）请判断角属于第几象限；
（2）求的所有可能取值构成的集合．
18．（1）求函数的所有零点构成的集合；
（2）解不等式．
19．某产品初始售价为单件100元，初始销量为件．现决定采取降价措施，经市场调研得知：单件降价元后，销量将会是初始销量的倍．假设该产品成本为单件50元，售价必须是正整数且高于成本．
（1）请将总利润（单位：元）写成单件售价（单位：元）的函数；
（2）当总利润最大时，单件售价为多少元？
20．已知函数，的图像关于点成中心对称．
（1）求的值；
（2）求函数的单调区间并指出在每一个单调区间上函数的单调性；
（3）若对任意都有成立，求实数的取值范围．
21．若函数和的定义域均为，且对任意两个不同的实数，均有（a）（b）或（b）（a）成立，则称和为一对相关函数．
（1）判断函数，，中有多少对相关函数并列出（无需说明理由）；
（2）已知函数和是一对相关函数，求实数的取值范围；
（3）小菲说：“对任何一对相关函数和，只要存在正实数使得对任意实数恒成立，我都一定能找到一个正整数使得对任意，均有”，请判断小菲说法的正误并进行证明．
参考答案
一、填空题（每题3分，共36分）.
1．在与角终边相同的角中，最大的负角为 ．
解：与角终边相同的角为，，
当时，取最大的负角．
故答案为：．
2．函数的定义域为且 ．
解：由题可得：，解得且．
故答案为：且．
3．已知钝角满足，则 ．
解：因为钝角满足，
所以，
则．
故答案为：．
4．已知幂函数是定义域为的偶函数，则实数 2 ．
解：根据题意，函数是幂函数，则有，解可得或，
若，，是偶函数，符合题意，
若，，是奇函数，不符合题意，
故．
故答案为：2．
5．已知和它的反函数的图像都经过，则 ．
解：由和它的反函数的图像都经过，
可得过和，
故，解得，故．
故答案为：．
6．已知是奇函数，则实数的值为 ．
解：由是奇函数，可得定义域关于原点对称，
又，解得且，故，解得．
故答案为：．
7．已知锐角满足，钝角满足，则 ．
解：因为锐角满足，钝角满足，
所以，，
则．
故答案为：．
8．“”是“”的 必要不充分 条件．
解：当时，，但，没有意义，充分性不成立，
当时，，必要性成立．
故答案为：必要不充分．
9．函数的值域为， ．
解：，
令，则，所以．
时，；
时，．
时，，所以，所以；
时，，所以，所以．
综上所述，，即函数的值域为，．
故答案为：，．
10．已知函数满足，对任意实数均成立．若（1），（2），则 1 ．
解：令，则（1）（2）（3）（1）（2）（3），
因为（1），（2），
所以（3）（3），即（3），
令，则（2）（3）（4）（2）（3）（4），
因为（2），（3），
所以（4）（4），即（4），
令，则（3）（4）（5）（3）（4）（5），
因为（3），（4），
所以（5）（5），即（5），
令，则（4）（5）（6）（4）（5）（6），
因为（4），（5），
所以（6）（6），即（6），
综上，（1）（4），（2）（5），（3）（6），
猜想的周期为3，下面进行证明：
将替换为，得，
又，
两式相减得，，
移项得，，
因为不恒为0，
所以，即，
所以函数的周期为3．
所以（1）．
故答案为：1．
11．已知存在最小值，则实数的取值范围是， ．
解：当时，第一段函数在为增函数，函数值的范围为，无最小值，不满足题意；
当时，第一段函数为常函数；第二段函数在，为减函数，函数值的范围为，，
第三段函数在，上为增函数，函数值的范围为，，
所以，当时，函数的值域范围为，，有最小值；
当，时，第一段函数在为减函数，函数值的范围为，；
第二段函数在，为减函数，函数值的范围为，，
第三段函数在，上为增函数，函数值的范围为，，
此时，，，
所以，当，时，函数的值域范围为，，有最小值．
当时，第一段函数在为减函数，函数值的范围为，；
第二段函数在，为减函数，函数值的范围为，，
第三段函数在，上为增函数，函数值的范围为，，
此时，，即，
，即，
所以时，函数的值域范围为，，不存在最小值，
当时，第一段函数在为减函数，函数值的范围为；
第二段函数在，为减函数，函数值的范围为，，
第三段函数在，上为增函数，函数值的范围为，，
所以函数的值域为，无最小值；
当时，第一段函数在为减函数，
函数值的范围为，，且，
第二段函数与第三段函数在对应的区间上的函数值为非负数，
所以函数的值域为，，无最小值，
综上，函数有最小值，实数的取值范围是，．
故答案为：，．
12．已知为正实数，若函数恰有2个零点，则正实数的取值范围是 ．
解：令，即，
①如图，当左侧相切时，
此时，即只有一个解，
，整理得，
△，解得或（舍去），
时，有2个零点，时，有3个零点；
②如图，当左侧直线过时，
，解得或（舍去），
当时，有4个零点，时，有3个零点；
③如图，当右侧过时，
，解得或（舍去），
当时，有2个零点，时，有3个零点；
④如图，当右侧相切时，
又，则只有一个解，
，整理得，
△，
解得或（舍去），
当时，有4个零点；时，有3个零点；
时，有2个零点；
综上，函数恰有2个零点，正实数的取值范围为．
故答案为：．
二、选择题（每题4分，共16分）
13．化为弧度是（ ）
A．180B．C．D．
解：．
故选：．
14．已知定义域为的函数在，上严格增，且其图像关于直线对称．令，，（3）．这三个数的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
解：定义域为的函数在，上严格增，且其图像关于直线对称，
所以在上单调递减，距对称轴越远，函数值越大，
又，，（3），
因为，，，
又，
所以（3），即．
故选：．
15．已知函数是定义域为的奇函数，3是它的一个周期．若（2），则函数在区间，上零点个数的最小值为（ ）
A．5B．6C．7D．9
解：已知函数是定义域为的奇函数，故．
又3是它的一个周期，即对所有成立．
由已知（2），根据周期性，（5），故是零点；
由奇函数性质，（2），再由周期性，（1），故是零点；
进一步，（4），故是零点；
（3），故是零点；
（6）（3），故是零点．
综上，函数在区间，上的零点为0，1，2，3，4，5，6，共7个．
故函数在区间，上零点个数的最小值为7．
故选：．
16．已知函数，的最小正周期为，函数，的最小正周期为，考虑如下两个命题：
命题甲：若且函数，的最小正周期为，则；
命题乙：若且函数，的最小正周期为，则．
下列说法中正确的是（ ）
A．甲和乙均为真命题B．甲和乙均为假命题
C．甲为真命题，乙为假命题D．甲为假命题，乙为真命题
解：命题甲：取函数，，，，满足，
函数，，，命题甲是假命题；
命题乙：取函数，，，，满足，
函数，，，命题乙是假命题，
所以甲和乙均为假命题．
故选：．
三、解答题（共48分）
17．已知角满足．
（1）请判断角属于第几象限；
（2）求的所有可能取值构成的集合．
解：（1）由，得在第一或第二象限，即，，
故，，
当为偶数时，在第一象限；
当为奇数时，在第三象限，
因此，属于第一或第三象限．
（2）设，，整理得，
解得，
即或，
因此，的所有可能取值构成的集合为．
18．（1）求函数的所有零点构成的集合；
（2）解不等式．
解：（1）令得，，
当时，，即，等式成立，
所以是函数的一个零点，
当且时，由指数函数的单调性可知，，
解得或2，
综上所述，函数的所有零点构成的集合为，2，；
（2）由不等式，可得，
解得或，
所以不等式的解集为，，．
19．某产品初始售价为单件100元，初始销量为件．现决定采取降价措施，经市场调研得知：单件降价元后，销量将会是初始销量的倍．假设该产品成本为单件50元，售价必须是正整数且高于成本．
（1）请将总利润（单位：元）写成单件售价（单位：元）的函数；
（2）当总利润最大时，单件售价为多少元？
解：（1）由题意，，销量，
所以总利润，是正整数）；
（2），是正整数），
则，
由，解得，
，是正整数时，，函数单调递增，
，是正整数时，，函数单调递减，
，
所以单件售价为75元或76元时，总利润最大．
20．已知函数，的图像关于点成中心对称．
（1）求的值；
（2）求函数的单调区间并指出在每一个单调区间上函数的单调性；
（3）若对任意都有成立，求实数的取值范围．
解：（1）函数的图像关于点成中心对称，
所以，
所以；
（2）由（1）得，
令，则，
易得为奇函数且时有定义，
先考虑时的单调性，在上单调递增，上单调递减，
根据奇函数的对称性可得，在上单调递增，在上单调递减，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为，；
（3）若对任意都有成立，
因为，
所以，令，
又，，，
因为．
则，解得不存在．
实数的取值范围为．
21．若函数和的定义域均为，且对任意两个不同的实数，均有（a）（b）或（b）（a）成立，则称和为一对相关函数．
（1）判断函数，，中有多少对相关函数并列出（无需说明理由）；
（2）已知函数和是一对相关函数，求实数的取值范围；
（3）小菲说：“对任何一对相关函数和，只要存在正实数使得对任意实数恒成立，我都一定能找到一个正整数使得对任意，均有”，请判断小菲说法的正误并进行证明．
解：（1）函数，，中有3对相关函数，
即函数与是相关函数对；
函数与是相关函数对；
函数与是相关函数对；
若与不为相关函数对，
则（a）（b）且（b）（a），
则（a）（b）（b）（a），
所以只要（a）（b）（b）（a）即可，
当，时，
（a）（b）（b）（a），
所以函数与是相关函数对；
当，时，
（a）（b）（b）（a）
，
所以函数为与是相关函数对；
当，时，
（a）（b）（b）（a）
，
所以函数与是相关函数对；
（2）因为与为相关函数对，
所以，
所以恒成立，
所以，
又因为，
因为，
所以，
所以，
即实数的取值范围为，；
（3）小菲说法正确，证明如下：
假设对任意正整数，都存在，，均有，
对任意，有，
，
又函数与为相关函数对，
则：①若，
则，
所以；
②若，
则，
即，
由①②知：，
由．，将其分为很多个子区间，
如，，，，
则以上每个区间至多包含一个，矛盾，假设不成立，
故存在正整数，对任意，，均有．