2025-2026学年上海市宝山区顾村中学高一（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2025-2026学年上海市宝山区顾村中学高一（上）期中数学试卷（含解析）试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知，，，，则 ．
2．不等式的解集为 ．
3．若，为方程的两个根，则 ．
4．命题“”是命题“”的 条件．
5．已知，都是正数，且．则的最小值为 ．
6．已知关于的一元二次不等式的解集为，，，则 ．
7．在用反证法证明某命题时，对结论“，，至少有一个为整数”的否定为 ．
8．方程的解集为 ．
9．若一个直角三角形的斜边为，当其面积最大时，该三角形的周长为 ．
10．已知，，用，表示 ．
11．已知且，则 ．
12．已知关于的不等式的解集为，求不等式的解集 ．
二、选择题（每题3分）
13．已知、，则“”是“”的 条件．
A．充分不必要B．必要不充分
C．充要D．既不充分也不必要
14．已知，，则的值（ ）
A．B．C．D．
15．下列叙述正确的个数为（ ）
①对于任何一个集合，总有；
②，集合，3，，，，则“”是“”的充要条件；
③设，，关于的方程的解集是；
④在周长为常数的所有矩形中，正方形的面积最大；
A．1B．2C．3D．4
16．对任意实数，表示不超过的最大整数，例如，，．已知：，则为（ ）
A．0B．1C．D．
三、解答题
17．（1）设，用反证法证明：若，则或．
（2）设，比较与的值的大小．
18．设全集为，对一切恒成立，集合．
（1）求集合和；
（2）若，求实数的取值范围．
19．在有声世界，声强级是表示声强度相对大小的指标．其值单位：（分贝）定义为．其中，为声场中某点的声强度，其单位为（瓦平方米），为基准值．
（1）如果，求相应的声强级（结果精确到；
（2）声强级为时的声强度是声强级为时的声强度的多少倍？
20．解关于的方程或不等式：
（1）
（2）
（3）
21．已知正实数，满足，求的最小值．
基中一种解法是：，当且仅当且时，即时取等号．学习上述解法并解决下列问题：
（1）若正实数，满足，求的最小值；
（2）若实数，，，满足，求证：；
（3）求代数式的最大值，并求出使得最大的的值．
参考答案
一、填空题（每题3分）
1．已知，，，，则， ．
解：根据交集的定义可得，，．
故答案为：，．
2．不等式的解集为 ．
解：，
或，
解得：，
故不等式的解集是，
故答案为．
3．若，为方程的两个根，则 4 ．
解：已知，为方程的两个根，
由根与系数的关系可得，
则．
故答案为：4．
4．命题“”是命题“”的 必要不充分 条件．
解：必要不充分条件当时，；当时，说明，
有，得．
故答案为：必要不充分
5．已知，都是正数，且．则的最小值为 9 ．
解：，都是正数，则，
当且仅当，又，即，取等号．
故答案为：9．
6．已知关于的一元二次不等式的解集为，，，则 1 ．
解：因为的解集为，，，
所以的根为，2，
所以，，所以，，
则．
故答案为：1．
7．在用反证法证明某命题时，对结论“，，至少有一个为整数”的否定为，，都不是整数 ．
解：在用反证法证明某命题时，结论“，，至少有一个为整数”的否定为，，都不是整数．
即对结论“，，至少有一个为整数”的否定为，，都不是整数．
故答案为：，，都不是整数．
8．方程的解集为 ．
解：方程成立的条件是，
由，得，
解得或，
即方程的解集为．
故答案为：．
9．若一个直角三角形的斜边为，当其面积最大时，该三角形的周长为 ．
解：设直角三角形的直角边为，，
所以，所以，
所以，当且仅当时，面积最大，
当面积最大时，三角形的周长为．
故答案为：．
10．已知，，用，表示 ．
解：因为，，所以，
所以，
所以用，表示．
故答案为：．
11．已知且，则 ．
解：因为，且，
所以，
；
故答案为：．
12．已知关于的不等式的解集为，求不等式的解集 ．
解：由关于的不等式的解集为，
可知：的根为，2，且，
则，可得，
不等式即为，
且，可得，解得，
故答案为：．
二、选择题（每题3分）
13．已知、，则“”是“”的 条件．
A．充分不必要B．必要不充分
C．充要D．既不充分也不必要
解：，
，
则是的充要条件．
故选：．
14．已知，，则的值（ ）
A．B．C．D．
解：，，
则．
故选：．
15．下列叙述正确的个数为（ ）
①对于任何一个集合，总有；
②，集合，3，，，，则“”是“”的充要条件；
③设，，关于的方程的解集是；
④在周长为常数的所有矩形中，正方形的面积最大；
A．1B．2C．3D．4
解：对于①，，①正确；
对于②，，，3，，则，
反之，若，则，，
因此“”是“”的充要条件，②正确；
对于③，当，时，方程的解集是，③错误；
对于④，设矩形的周长为，其长宽分别为，，则，
矩形面积，
当且仅当时取等号，此时该矩形为正方形，④正确．
故选：．
16．对任意实数，表示不超过的最大整数，例如，，．已知：，则为（ ）
A．0B．1C．D．
解：设，若是整数，则．
若不是整数，则，从而，故，
所以，
，
因为，，，是整数，其中有2021个不是整数．
故．
故选：．
三、解答题
17．（1）设，用反证法证明：若，则或．
（2）设，比较与的值的大小．
解：（1）假设且，则，与已知条件矛盾，
所以假设不成立，即或．
（2），
当时，，
当时，，
当时，．
18．设全集为，对一切恒成立，集合．
（1）求集合和；
（2）若，求实数的取值范围．
解：（1）对于集合，，
所以△，
所以，
所以，
所以，
集合；
（2）由（1）可知，；
因为，
所以或，
所以或，
所以实数的取值范围为或．
19．在有声世界，声强级是表示声强度相对大小的指标．其值单位：（分贝）定义为．其中，为声场中某点的声强度，其单位为（瓦平方米），为基准值．
（1）如果，求相应的声强级（结果精确到；
（2）声强级为时的声强度是声强级为时的声强度的多少倍？
【解答】解（1）当时，，
当时，相应的声强级约为；
（2）由题意得，两式相减可得：
，，
声强级为时的声强度是声强级为时的声强度的100倍．
20．解关于的方程或不等式：
（1）
（2）
（3）
解：（1）因为，所以，
当时，解得，
所以方程的解集为，
当时，方程无解，
即方程的解集为；
（2），
当即时，方程的解为，
所以方程的解集为，
当即时，方程的解为，，
所以方程的解集为，；
（3），
当即时，，不等式的解集为；
当即时，不等式的解集为；
当即时，不等式的解集为．
21．已知正实数，满足，求的最小值．
基中一种解法是：，当且仅当且时，即时取等号．学习上述解法并解决下列问题：
（1）若正实数，满足，求的最小值；
（2）若实数，，，满足，求证：；
（3）求代数式的最大值，并求出使得最大的的值．
解：（1）若正实数，满足，即，
故，
当且仅当，即，时取等号，
故的最小值为；
（2）证明：若实数，，，满足，
则
；
当且仅当时取等号，
即；
（3）令，，则，
所以，
由（2）可得，
，即的最大值为2，此时．