2025-2026学年上海市长宁区延安中学高一（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2025-2026学年上海市长宁区延安中学高一（上）期中数学试卷（含解析），共5页。
1、考生须诚信考试,遵守考场规则和考试纪律，并自觉服从监考教师和其他考试工作人员
管理；
2、监考教师发卷后，在试卷指定的地方填写本人准考证号、姓名等信息；考试中途考生不准以任何理由离开考场；
3、考生答卷用笔必须使用同一规格同一颜色的笔作答(作图可使用铅笔) ，不准用规定以外的笔答卷，不准在答卷上作任何标记。考生书写在答题卡规定区域外的答案无效。
4、考试开始信号发出后,考生方可开始作答。
一、填空题（共有12题，满分42分，第1～6题每题3分，第7～12题每题4分）
1．用符号或填空：
2．已知集合，0，2，，若，，则 ．
3．若实数，且，，则 ．
4．某班有50名同学，参加数学竞赛的有36人，参加化学竞赛的有20人，两种竞赛都不参加的有8人，则两种竞赛都参加的有 人．
5．已知关于的不等式的解集为，则 ．
6．已知，，且，则的最大值为 ．
7．已知集合，，则 ．
8．若实数，满足，则不等式的解集为 ．
9．若不等式对一切都成立，则实数的取值范围是 ．
10．已知，若存在，，使得不等式成立，则的取值范围是 ．
11．已知集合有整数解，非空集合满足条件：
（1），
（2）若，则，则所有这样的集合的个数为 ．
12．已知实数，满足且，则的最大值是 ．
二、选择题（本大题共4题，满分12分，每题3分）
13．下列命题中正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
14．用反证法证明命题：“，，若可被5整除，那么，中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应该是（ ）
A．，不都能被5整除B．，都能被5整除
C．，都不能被5整除D．能被5整除
15．香农公式是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大数据传输速率取决于信道带宽、信道内信号的平均功率、信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比．根据香农公式，若当，时，最大数据传输速率记为；当，时，最大数据传输速率记为，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
16．对三个正实数、、，下列说法正确的是（ ）
A．存在，，的一组值，使得、、均小于2
B．存在，，的一组值，使得、、中恰有两个小于2
C．对，，的任意值，、、都不小于2
D．对，，的任意值，、、中至多有两个不小于2
三、解答题（本大题共5题，满分46分）
17．已知，．
（1）求的值；
（2）用，表示．
18．设集合，集合．
（1）若，求；
（2）设命题，命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
19．已知幂函数在上单调递增．
（1）求实数的值；
（2）若，求实数的取值范围．
20．小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产万件，需另投入流动成本为万元，在年产量不足8万件时，（万元）．在年产量不小于8万件时，（万元）．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完．
（1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；（注：年利润年销售收入固定成本流动成本）
（2）年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
21．问题：正实数，满足，求的最小值．其中一种解法是：
，当且仅当且时，即且时取等号，学习上述解法并解决下列问题：
（1）若正实数，满足，求的最小值；
（2）若实数，，正实数，满足，求证：；
（3）求代数式的最小值，并求出使得取最小值的的值．
参考答案
一、填空题（本大题共有12题，满分42分，第1～6题每题3分，第7～12题每题4分）
1．用符号或填空：
解：为无理数，为有理数集，
所以．
故答案为：．
2．已知集合，0，2，，若，，则， ．
解：集合，0，2，，，，
故．
故答案为：，．
3．若实数，且，，则 ．
解：由题意可得，，即，
则．
故答案为：．
4．某班有50名同学，参加数学竞赛的有36人，参加化学竞赛的有20人，两种竞赛都不参加的有8人，则两种竞赛都参加的有 14 人．
解：依题意得：
为两种都参加的，设为人，
则中有人，中有人，
故有：，解得．
故答案为：14．
5．已知关于的不等式的解集为，则 ．
解：关于的不等式的解集是，
所以方程的解为：和3，
由根与系数的关系知，，，
解得，
所以．
故答案为：．
6．已知，，且，则的最大值为 ．
解：因为，，且，
所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，
故的最大值为．
故答案为：．
7．已知集合，，则， ．
解：集合，，
当时，，则，．
故答案为：，．
8．若实数，满足，则不等式的解集为 ，， ．
解：不等式变形为，
，
，，，
不等式的解集为，，．
9．若不等式对一切都成立，则实数的取值范围是 ， ．
解：，
，
当时，，不等式成立；
设，当时函数为二次函数，要恒小于0，抛物线开口向下且与轴没有交点，即要且△，
得到：综上得到，
故答案为：，．
10．已知，若存在，，使得不等式成立，则的取值范围是 ， ．
解：已知，若存在，，使得不等式成立，
所以在，上有解，
，
令，，，
则，
所以，
即的取值范围是，．
故答案为：，．
11．已知集合有整数解，非空集合满足条件：
（1），
（2）若，则，则所有这样的集合的个数为 31 ．
解：（1）的整数解只能是36的约数
当方程的解为，36时，；
当方程的解为，18时，；
当方程的解为，12时，；
当方程的解为，9时，；
当方程的解为，6时，；
当方程的解为1，时，；
当方程的解为2，时，；
当方程的解为3，时，；
当方程的解为4，时，；
故集合，，，，0，5，9，16，
由非空集合满足条件：（1），（2）若，则，
可得这样的集合共有个
故答案为：31
12．已知实数，满足且，则的最大值是 ．
解：由，
可知，不等式两边时乘以，
得，解得．
令，即．
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最大值是．
故答案为：．
二、选择题（本大题共4题，满分12分，每题3分）
13．下列命题中正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
解：对于，若，，则，
由，
即，故正确；
对于，因为，又，，则，故，即错误；
对于，当时，，故错误；
对于，当时，，故错误．
故选：．
14．用反证法证明命题：“，，若可被5整除，那么，中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应该是（ ）
A．，不都能被5整除B．，都能被5整除
C．，都不能被5整除D．能被5整除
解：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．
命题“，，如果可被5整除，那么，至少有1个能被5整除．”的否定是“，都不能被5整除”．
故选：．
15．香农公式是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大数据传输速率取决于信道带宽、信道内信号的平均功率、信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比．根据香农公式，若当，时，最大数据传输速率记为；当，时，最大数据传输速率记为，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
解：由题意可知，，
，
．
故选：．
16．对三个正实数、、，下列说法正确的是（ ）
A．存在，，的一组值，使得、、均小于2
B．存在，，的一组值，使得、、中恰有两个小于2
C．对，，的任意值，、、都不小于2
D．对，，的任意值，、、中至多有两个不小于2
解：取，
则，
即存在，，，使得中恰有两个小于2．
故选：．
三、解答题（本大题共5题，满分46分）
17．已知，．
（1）求的值；
（2）用，表示．
解：（1）因为，，即，，
则；
（2）．
18．设集合，集合．
（1）若，求；
（2）设命题，命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
解：（1），
当时，集合，
因此；
（2），，
因为是成立的必要不充分条件，
所以集合是集合的真子集，因此有，解得，
故的范围为，．
19．已知幂函数在上单调递增．
（1）求实数的值；
（2）若，求实数的取值范围．
解：（1）因为是幂函数，所以，解得，或，
又因为在上单调递增．
所以，即，
所以．
（2）由于在区间，上都是减函数，且．
分三种情况讨论：
①当，即时，原不等式成立；
②当，且时，有，即，解集为空集．
③当，且时，有，解得．
综上所述：的取值范围是，，．
20．小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产万件，需另投入流动成本为万元，在年产量不足8万件时，（万元）．在年产量不小于8万件时，（万元）．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完．
（1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；（注：年利润年销售收入固定成本流动成本）
（2）年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
解：（1）由题意知每件商品售价为5元，故得到万件商品销售收入为万元，
所以当时，，
且当时，，
故；
（2）①当时，，易知当时，取得最大值（2）万元，
②当时，，当且仅当时，取得最大值15万元，
因为，故年产量为10万件时，所获利润最大，最大利润为15万元．
21．问题：正实数，满足，求的最小值．其中一种解法是：
，当且仅当且时，即且时取等号，学习上述解法并解决下列问题：
（1）若正实数，满足，求的最小值；
（2）若实数，，正实数，满足，求证：；
（3）求代数式的最小值，并求出使得取最小值的的值．
解：（1）因为，，，
所以，
当且仅当，即，时，取得最小值；
（2）证明：因为，
所以，
因为，
当且仅当且、同号时取等号，
所以．
（3）令，，所以，，
由，解得，
由，则，
所以，利用（2）中结论，有，
当且仅当且，时，即取等号，
解得时，取最小值．