2025-2026学年上海师大附属外国语中学高一（上）期末数学试卷（含答案）

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这是一份2025-2026学年上海师大附属外国语中学高一（上）期末数学试卷（含答案），共26页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合，全集，则．
2．若扇形的弧所对的圆心角为，且半径为10，则该扇形的面积为．
3．函数的定义域是．
4．已知，是第三象限角，则的值为．
5．函数，，的最大值是．
6．若实数、满足，则的最小值是．
7．关于的方程有解，则实数的取值范围是．
8．若幂函数的图象不经过原点，则的值为．
9．若函数，的定义域是，，值域是，，则．
10．函数是定义在上偶函数，当时，，则函数在上的单调减区间为．
11．已知函数在区间上恒有，则实数的取值范围是．
12．已知函数的值域为，，则实数的取值范围是．
二、选择题
13．下列各式正确的是（）
A．B．
C．D．
14．函数的图象大致为（）
A．B．
C．D．
15．函数在区间，上的图像是连续不断的，则“（1）（2）”是“函数在区间上没有零点”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
16．已知函数，有下列两个结论：
①的值域为；
②对任意的正有理数，存在奇数个零点
则下列判断正确的是（）
A．①②均正确B．①②均错误C．①对②错D．①错②对
三、解答题
17．已知函数的定义域为集合，集合．
（1）当时，求；
（2）若是的必要条件，求实数的取值范围．
18．已知，求下列各式的值：
（1）；
（2）．
19．某校为了鼓励学生利用业余时间阅读名著，预备制定一个每日阅读考核评分制度，建个每日得分（单位：分）与当日阅读时间（单位：分钟）的函数关系．要求如下：
阅读的部分图像接近图示；
每日阅读时间为0分钟时，当日得分为0分；
每日阅读时间为30分钟时，当日得分为3分；
每日阅读时间设置上限，最多得分不超过6分．
现有以下三个函数模型供选择：
①；②；③．
（1）请你根据以上要求选择合适的函数模型并求出其解析式；
（2）若该校要求每日得分不少于5分，每日至少阅读名著多少分钟？（结果精确到整数）
20．（18分）已知函数的表达式为．
（1）求函数的零点；
（2）解不等式：；
（3）若关于的方程只有一个实根，求实数的取值范围．
21．（18分）已知函数（其中为常数）．
（1）当时，求在上的值域；
（2）若当，时，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）设，是否存在正数，使得对于区间上的任意三个实数，，，都存在以，，为边长的三角形？若存在，试求出这样的的取值范围；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、填空题
1．或．
2．．
3．，，．
4．．
5．0．
6．．
7．，，．
8．2．
9．1或．
10．，、，．
11．
12．，．
二、选择题
13．．
14．．
15．．
16．．
三、解答题
17．解：（1）已知函数的定义域为集合，
则，则，则，
当时，，
则；
（2）若是的必要条件，
则，
则，则，
则实数的取值范围为，．
18．解：（1）由题意得；
（2）因为，，
所以
．
19．解：（1）根据题意可得应选择增加速度为先快后慢的增长模型，所以选对数型模型，
故选函数模型③；
由题意可知，在上，
所以，解得，，
所以，
令，可得，解得，
所以函数的解析式为：
；
（2）令，
可得，
即，解得，
所以每天得分不少于5分，至少需要阅读66分钟．
20．解：（1）由，可得，
即，解得，
故函数零点为；
（2）由，可得，
即，解得，
解得，
故不等式的解集为，；
（3）由，可得，
即，由题意此方程有且只有一个实数解，
令，则，问题转化为：
方程有且只有一个正数根，
（1）当时，，不合题意；
（2）当时，
若△，则或，
若，则，符合题意；
若，则，不合题意；
若△，则或，
由题意，方程有一个正根和一个负根，
即，解得；
综上，实数的取值范围是．
21．解：（1）函数，
当时，，导数为，
在，上为减函数，在，上为增函数，
当，或时，函数最大值，当时，函数取最小值2，
故在，上的值域为，；
（2）若不等式在，上恒成立，
即在，上恒成立，
即在，上恒成立，
在，递增，可得最小值为，
即，解得；
（3）设在，递减，
可得，，
则，
原问题转化为求实数的取值范围，使得在区间，上，恒有．
讨论：①当时，在，上递增，
，，
由得，
；或；
②当时，在，上单调递减，在，上单调递增，
，，，
由得，
；
③当时，在，上单调递减，在，上单调递增，
，，，
由得，
；
④当时，在，上单调递减，
，，
由得，
；
综上，的取值范围是，，．