2025-2026学年上海理工大学附属杨浦少云中学高一（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2025-2026学年上海理工大学附属杨浦少云中学高一（上）期中数学试卷（含解析）试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．若集合，，1，，则 ．
2．不等式的解集是 ．
3．用反证法证明“若，则或”时，应假设 ．
4．满足，，，，的集合的个数是 ．
5．若集合，，则 ．
6．已知方程的两实根为，，则的值为 ．
7．已知命题，命题，且是的必要非充分条件，则实数的取值范围是 ．
8．已知，，则的取值范围是 ．
9．已知集合，，若，则实数组成的集合为 ．
10．若不等式的解集为，则实数取值范围是 ．
11．已知，，且，则的最大值 ．
12．已知，若不等式在实数集上的解集不是空集，则的取值范围是 ．
二、选择题（每题4分）
13．下列命题中，正确的是（ ）
A．若，则B．若，，则
C．若，则D．若，则
14．“”是“”成立的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
15．已知集合，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
16．设实数，为任意的正数，且，求使恒成立的的取值范围是（ ）
A．，B．C．D．，
三、解答题
17．已知集合，，且．若，求实数的值．
18．已知不等式的解集为，，求不等式的解集．
19．设，都是正数，且，证明：和中至少有一个成立．
20．命题甲：集合，为空集；命题乙：关于的不等式的解集为．若命题甲、乙中有且只有一个是真命题，求实数的取值范围．
21．某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本（元与月处理量（吨之间的函数关系可近似地表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．
（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？
参考答案
一、填空题
1．若集合，，1，，则，0，1， ．
解：集合，，
，1，，
则，0，1，．
故答案为：，0，1，．
2．不等式的解集是 ．
解：因为，
所以．
故答案为：．
3．用反证法证明“若，则或”时，应假设 且 ．
解：用反证法证明数学命题时，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的否定．
而命题“若，则或”的否定为：“若，则且”，
故答案为：且．
4．满足，，，，的集合的个数是 4 ．
解：，，，，，
集合中必有元素和，并且还有元素和中的0个，1个或2个，
满足条件的集合的个数是：
．
故答案为：4．
5．若集合，，则， ．
解：集合，，
由，解得或，
，．
故答案为：，．
6．已知方程的两实根为，，则的值为 ．
解：方程的两实根为，，
，，
．
故答案为：．
7．已知命题，命题，且是的必要非充分条件，则实数的取值范围是 ．
解：因为命题，命题，且是的必要非充分条件，
所以，
所以，解得．
故的范围为．
故答案为：．
8．已知，，则的取值范围是 ．
解：因为，
所以，，又，
得，则．
故答案为：．
9．已知集合，，若，则实数组成的集合为 ，1， ．
解：根据题意，集合，，
若是的子集，分3种情况讨论：
①、是空集，即方程无解，则有，
②、，方程的根为，则有，解可得，
③、，方程的根为，则有，解可得，
即的取值集合为，1，．
故答案为：，1，．
10．若不等式的解集为，则实数取值范围是， ．
解：因为不等式的解集为，
所以不等式在上恒成立，
当时，恒成立，符合题意；
当时，则，解得．
综上所述，实数的取值范围为，．
故答案为：，．
11．已知，，且，则的最大值 ．
解：，，且，可得，当且仅当，即，，
可得，即的最大值为：．
故答案为：．
12．已知，若不等式在实数集上的解集不是空集，则的取值范围是 ．
解：法一：，
的最小值为1，
又不等式的解集不是空集，
．
法二：由绝对值的几何意义知表示实数轴上的点到和到4两点的距离之和，
故，
由题意，不等式在实数集上的解不为空集，
只要即可，
即，
故答案为：
二、选择题（每题4分）
13．下列命题中，正确的是（ ）
A．若，则B．若，，则
C．若，则D．若，则
解：当时，显然错误；
若，，则根据不等式性质可得，，正确；
当，时，显然错误；
若，则，错误．
故选：．
14．“”是“”成立的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解：若，则，则成立，即充分性成立，
若当时，成立，但不成立，即必要性不成立，
即“”是“”成立的充分不必要条件，
故选：．
15．已知集合，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
解：由，解得，所以，
因为，
所以等价于，整理得，
解得，所以，
又因为，
所以，解得，
所以的取值范围是．
故选：．
16．设实数，为任意的正数，且，求使恒成立的的取值范围是（ ）
A．，B．C．D．，
解：，且，
，当且仅当时取等号．
不等式恒成立．
，，
故选：．
三、解答题
17．已知集合，，且．若，求实数的值．
解：，，，
因为且，
所以或或，，
当时，，方程无解；
当时，；
当，时，，方程无解；
综上所述：．
18．已知不等式的解集为，，求不等式的解集．
解：由题意的两根为，，
，解得，为，其解集为．
19．设，都是正数，且，证明：和中至少有一个成立．
【解答】证明：因为，都是正数，且，
假设和都不成立，
即，，
所以，，
所以，
所以这与已知条件：相矛盾，
所以假设不成立，
故原命题结论成立．
20．命题甲：集合，为空集；命题乙：关于的不等式的解集为．若命题甲、乙中有且只有一个是真命题，求实数的取值范围．
解：命题甲为真命题，则集合，为空集，
则△，解得，
命题乙为真命题，则关于的不等式的解集为，
由△，解得，
由命题甲、乙中有且只有一个是真命题，若甲为真命题，乙为假命题，
则，无解，
若乙为真命题，甲为假命题，则，
得或，
综上所述，实数的取值范围为，，．
21．某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本（元与月处理量（吨之间的函数关系可近似地表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．
（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？
解：（1）由题意可知：，
所以，每吨二氧化碳的平均处理成本为，
由基本不等式可得：（元，
当且仅当时，即当时，等号成立，
因此，该单位每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．
（2）令
，
，函数在区间，上单调递减，
当时，函数取得最大值，即．
所以，该单位每月不能获利，国家至少需要补贴35000元才能使该单位不亏损．