初中数学北师大版（2024）七年级上册（2024）线段、射线、直线精品第2课时课后复习题

这是一份初中数学北师大版（2024）七年级上册（2024）线段、射线、直线精品第2课时课后复习题，共3页。

知识点01 线段的性质
两点之间的所有连线中，线段最短.简单地：两点之间线段最短.我们把两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离.
【即学即练1】
1．高速公路是指专供汽车高速行驶的公路．高速公路在建设过程中，通常要从大山中开挖隧道穿过，把道路取直以缩短路程．其中的数学原理是（ ）

A．两点之间，线段最短B．两点确定一条直线
C．平行线之间的距离最短D．垂线段最短
知识点02 线段大小比较
1.比较线段大小的方法：（1）目测法；（2）度量法；（3）叠合法
2.叠合比较法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短．如下图：

【说明】线段的比较方法除了叠合比较法外，度量比较法也是常用的方法．
【即学即练2】
1．如图，点、在线段上，点、分别是、的中点，，且，那么线段的长是 ．
知识点03 尺规作图
仅用圆规和没有刻度的直尺作图的方法叫做尺规作图.
【说明】（1）只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题．
（2）直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧.只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上面画刻度．
（3）圆规可以开至无限宽，但上面也不能有刻度.它只可以拉开成之前构造过的长度．
【即学即练3】
1．作图题：如图，平面上有四个点A，B，C，D，根据下列语句画图：
(1)做射线；
(2)取一点P，使点P既在直线上又在直线上；
(3)若A、C两点之间的距离为4，B、D两点之间的距离为3，点M到A，B，C，D四点距离之和最短．画出点M的位置，并写出该最短距离和是___________．
知识点04 线段的和与差
如下图：线段AB上有一点C，则AC+BC=AB；AC=AB - BC； BC=AB - AC，
在这里线段AC、BC、AB表示线段的长度，如AC+BC=AB表示AC长度与BC长度之和等于AB长度.
【即学即练4】
1．如图，点是线段上两点，点为线段的中点，，．
(1)图中共有_______条线段；
(2)求的长；
(3)若，求的长．
知识点05 线段的中点
线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图所示，点C是线段AB的中点，则AC=CB=AB，或AB=2AC=2BC．
【说明】若点C是线段AB的中点，则点C一定在线段AB上．
【即学即练5】
1．线段上，M为的中点，N为的中点，，，（ ）．
A．B．C．D．
2．如图，，，，是直线上的四个点，，分别是，的中点．
(1)如果，，，则的长为________cm；
(2)如果，，则的长为_________cm；
(3)如果，，求的长，并说明理由．
题型01 两点之间线段最短
【典例1】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是 ．
【变式1】（24-25七年级上·全国·阶段练习）小海同学计划到距家直线距离为12.9公里的天竺山森林公园游玩．他通过导航软件发现有三条可选路线，如图所示，长度分别为15.8公里，15.4公里，18.4公里．能解释这一现象的数学知识是 ．
【变式2】（24-25七年级上·吉林长春·期末）安溪地处戴云山脉东南坡，山峦起伏，地形较为复杂．如图，在村与村之间有一座大山，原来从村到村，需沿道路绕过村庄间的大山，打通，间的隧道后，就可直接从村到村，缩短村到村的路程.其中蕴含的数学道理是 ．
【变式3】（24-25七年级上·辽宁锦州·阶段练习）锦州市开展冬季研学活动，从市府广场出发，开车去东方华地城，打开导航，显示两地直线距离为，但导航提供的三条可选路线长却分别为．能解释这一现象的数学知识是 ．
题型02 线段的数量问题的应用
【典例2】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图是广深港高铁线路图，往返于广州南站和深圳北站的高铁列车中途停靠庆盛站、虎门站和光明城站，则有 种不同的票价，要准备 种车票．
【变式1】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，点，，在直线上，则图中有 条线段， 条射线，有 条直线．
【变式2】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，图中有线段 条，分别是线段 ；图中有射线 条，分别是射线 、 、 、 、 ．
【变式3】（24-25七年级上·湖南长沙·期末）湖南湘江新区大王山欢乐云巴对外运营．一张云巴票就能领略沿途余个景点，感受大王山人文风情，如图，乘云巴从山塘站出发，沿途经过个车站方可到达观音港站，那么运营公司在山塘站，观音港站两站之间往返需要安排不同的车票 种．
题型03 线段的和与差
【典例3】（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）如图，线段，点是线段上一点，且，点为线段的中点，则线段 ．
【变式1】（24-25七年级上·山东聊城·期末）已知线段，在的延长线上取一点C，使，在的反向延长线上取一点D，使，则线段的长度是线段的长度的 倍．
【变式2】（24-25七年级上·河北衡水·阶段练习）如图，、、为线段上的三个点，，线段的长为 ．
【变式3】（24-25七年级下·内蒙古乌海·期末）若点，，在同一条直线上，如果线段，线段，那么，两点之间距离是 ．
题型04 作线段（尺规作图）
【典例4】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，已知线段，用直尺和圆规画出线段c，使它等于．（只写出作法）
解：（1）画射线；
（2）在射线上顺次截取______；
（3）在线段上截取______，线段______即为所求．
【变式1】（24-25七年级上·福建厦门·期末）如图，平面上有四个点A，B，C，D，根据下列语句画图：
(1)画线段，交于E点；
(2)作射线；
(3)反向延长至F，使得．（不写作法，保留作图痕迹）
【变式2】（24-25六年级下·山东东营·阶段练习）如图，已知线段，请用尺规按下列要求作图：
(1)延长线段到C，使；
(2)延长线段到D，使
(3)如果，那么______， ______， ______
【变式3】（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）（1）如图，已知线段、．请用尺规按要求作图：
①作线段；
②在线段的延长线上截取；(不要求写画法，保留作图痕迹)
（2）若点是线段的中点，用含、的式子表示线段的长．
题型05 线段中点的有关计算
【典例5】（24-25七年级上·山东临沂·阶段练习）如图，已知点为线段上一点，，，分别是的中点．求：
(1)求的长度；
(2)若在直线上，且，求的长度．
【变式1】（24-25七年级上·江苏徐州·期末）如图，点C是线段上一点，点M是线段的中点，点N是线段的中点
(1)如果，求的长
(2)如果，求的长
【变式2】（24-25七年级上·江苏·期末）如图，点C为线段上一点，点B为的中点，且．
(1)图中共有 条线段；
(2)求的长；
(3)若点E在直线上，且，求的长．
【变式3】（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）（1）如图1，点C为线段上一点，与长度之比为3:5，D为线段中点．
①若，求的长．
②点E为线段的中点，若，求的长（用含m的代数式表示）．
（2）如图2，点M为线段中点，点N为线段中点，若，，请用含a，b的代数式直接表示出的长．
题型06 线段n等分点的有关计算
【典例6】二等分点：又叫线段的 ，把线段分成 的两部分．
即：如图，若点P是线段的中点，则或
三等分点：把线段分成 的三部分．以此类推．
【变式1】已知线段，延长至点C，使，点D、E均为线段延长线上两点，且，M、N分别是线段的中点，当点C是线段的三等分点时，的长为 ．
【变式2】如图，为线段上一点，点为的中点，已知．
(1)求的长；
(2)若点是线段上靠近点A的三等分点，求的长．
【变式3】已知线段，C是线段上任意一点（不与点A，B重合）．
(1)若M，N分别是的中点，求的长度；
(2)若，，求的长；
(3)在（2）的条件下，若且G点在直线上，，求的长度．
题型07 与线段有关的动点问题
【典例7】（24-25七年级上·山东青岛·阶段练习）已知线段，点C为线段上的一个动点（点C不与A、B重合），点D、E分别是和的中点
(1)若，求的长；
(2)若点C恰好是的中点，且，求的长．
【变式1】（24-25七年级下·北京·期末）已知点C为线段上一动点，点D，E分别是线段和的中点．
(1)如图，若线段 ，求线段的长；
(2)若线段的长为，则线段的长为 （用含的代数式表示）．
【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知线段，点M从点A出发以的速度沿的方向运动，同时点N从点B出发以的速度沿的方向运动，其中一个点到达端点时，另一个点也同时停止，设运动时间为．
根据题意回答下列问题：
(1)当时，______；当时，______．
(2)若C为线段上一点，当点M与N相遇时，设相遇的位置为点．
①若，求线段的长；
②若，求线段的长．
【变式3】（24-25七年级上·陕西咸阳·期末）如图，已知数轴上点表示的数为，点表示的数为，满足．动点从点出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．
(1)数轴上点表示的数是_______，点表示的数是_______；
(2)若点从点出发向左运动，点为的中点，在点到达点之前，求证：为定值．
【变式4】（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）如图①，已知点C在线段上，线段厘米，厘米，点M，N分别是，的中点．
(1)求线段的长度；
(2)根据第（1）题的计算过程和结果，设，其他条件不变，求的长度；
(3)动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2厘米/秒的速度沿向右运动，终点为B，点Q以1厘米/秒的速度沿向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时：
①点P恰好为线段的中点？
②直接写出C、P、Q三点中有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？（除①外）

一、单选题
1．（24-25七年级上·广东东莞·期末）亮亮准备从学校出发，开车去南山滑雪场滑雪，他打开导航，显示两地直线距离为，但导航提供的三条可选路线长却分别为，，．能解释这一现象的数学知识是（ ）
A．两点确定一条直线B．两点之间，线段最短
C．两点之间，直线最短D．经过一点有无数条直线
2．（21-22七年级上·甘肃武威·期末）如图，小莹利用圆规在线段上截取线段，使．若点D恰好为的中点，则下列结论中正确的是（ ）
A．B． C． D．
3．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列说法不正确的是（ ）
A．若点C在线段上，则
B．若，则点C一定在线段外
C．若三点不在一直线上，则
D．若点C在线段的延长线上，则
4．（24-25七年级上·广东东莞·期末）已知A、B、C三点在同一条直线上，如果线段，，那么A、C两点间的距离为（ ）
A． B． C．或D．不能确定
5．（23-24七年级上·山东临沂·期末）如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为12，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为，的中点，设运动时间为t（）秒，则下列结论中正确结论的个数是（ ）
①B对应的数是；
②点P到达点B时，；
③时，；
④在点P的运动过程中，线段的长度会发生变化．
A．①②B．①②③C．①③④D．①②③④
二、填空题
6．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，已知线段上有两点C、D，且，M、N分别是线段的中点，若，则线段的长为 ．
7．（24-25七年级上·河南郑州·期中）小明从衡阳乘高铁到成都，发现这条火车路线上共有10个站(衡阳东，长沙南，武汉，汉口，宜昌东，荆州，恩施，丰都，重庆北站，成都东)，且任意两站之间的票价都不相同，则有 不同的票价，要准备 不同的车票．
8．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）如图，点、分别是线段上两点(，)，用圆规在线段上截取，，若点与点恰好重合，，则 ．
9．（24-25七年级上·山东枣庄·期末）线段，点C为线段上的三等分点，当点D为线段的中点，则线段的长为 ．
10．（23-24七年级上·江西上饶·期中）数轴上的三个点，若其中一个点与其它两个点的距离相等，则称该点是其它两个点的“中点”，这三点满足“中点关系”．已知，如图点，表示的数分别为，，点为数轴上一动点．若，，三点满足“中点关系”时，则点表示的数为 ．
三、解答题
11．（24-25七年级上·福建福州·期末）如图，，点C是线段的中点，点D是线段上一点，，求的长．
12．（24-25七年级上·全国·期末）如图，B、C、D依次为线段AE上的三个点．已知，，．
(1)求的长；
(2)求图中所有线段长度的和．
13．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）如图，已知平面上四个点A，B，C，D，请按要求完成下列问题：
(1)画直线，射线，连接；
(2)在线段上求作点P，使得；（保留作图痕迹）
(3)在线段上求作点E，使得点E到A、D、B、P的距离之和最小，这样做的理由是_______________________________________________．
14．（24-25七年级上·全国·期末）如图，点C是线段的中点．
(1)请按下列要求画出图形（尺规作图，保留作图痕迹，不用写作法）．延长线段至点D，使，延长至点E，使．并求 的值；
(2)若，求的长．
15．（24-25七年级上·全国·期末）如图所示，点C在线段上，，，点分别是的中点．
(1)求的长度；
(2)求的长度；
(3)若点P在直线上，且，点为的中点，求的长度．
16．（2024七年级下·广东梅州·竞赛）如图，数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，C是的中点，且a、b满足．
(1)求点C表示的数；
(2)若点P从A点出发向右运动，点M为的中点，在点P到达点B之前，求证为定值；
17．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在数轴上点A表示，点B表示b，点C表示c，并且是多项式的二次项系数，b是数轴上最小的正整数，单项式的次数为c．
(1)由题意可得：______，______，______．
(2)点A、B、C在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，点B和点C分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度沿数轴向右运动，设点A、B、C同时运动，运动时间为t秒．
①当时，分别求的长度．
②在点A、B、C同时运动的过程中，的值是否随着时间t的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，求出的值．
18．（24-25七年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，点P是线段上一点，且满足，点C，D分别在线段，上．
(1)若，探究线段，的数量关系；
(2)若点Q是直线上一动点，且，求的值；
(3)若E是线段上的一个动点，点M，N分别是，的中点，以下两个结论：
①的值不变，②的值不变，其中只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值．
教学目标
1. 了解“两点之间线段最短”的性质及两点间距离的定义，能结合实例解释应用。
2. 掌握比较线段长短的度量法与叠合法，能用尺规作一条线段等于已知线段。
3. 理解线段中点概念及几何意义，能运用线段和差、中点性质解决简单计算问题。
教学重难点
1.重点
（1）心是掌握线段长短的比较方法（度量法、叠合法），能规范使用直尺、圆规进行操作。
（2）关键是理解“两点之间线段最短”的性质和线段中点的概念，并能用于解决简单问题。
2.难点
（1）难点在于叠合法的规范操作，尤其是通过图形语言理解“端点重合、同侧放置”的比较逻辑。
（2）难点在于运用线段中点性质及和差关系，进行多步骤的线段长度推理与计算。
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