2.3 一元二次方程的根与系数的关系 （课件）-2026-2027学年北师大版(2024)数学九年级上册

这是一份初中数学北师大版（2024）九年级上册（2024）第二章 一元二次方程3 一元二次方程的根与系数的关系集体备课ppt课件，共23页。PPT课件主要包含了配方法，直接开平方法，公式法，实践探究，计算填表，x2-2x+10，∴方程有两个实数根，x13等内容，欢迎下载使用。
1. 一元二次方程的一般形式？
(1)_______；(2)______________；(3)_________；(4)因式分解法。
2．利用因式分解法快速地求出下列方程的根。(1)x2－2x－3＝0； (2)x2＋4x＋3＝0；(3)x2－5x－6＝0; (4)x2＋7x＋12＝0。
解：(1)(x－3)(x＋1)＝0， x1＝3，x2＝－1；
(2)(x＋3)(x＋1)＝0，x1＝－3，x2＝－1；
2．利用因式分解法快速地求出下列方程的根。(3)x2－5x－6＝0; (4)x2＋7x＋12＝0。
解：(3)(x－6)(x＋1)＝0， x1＝6，x2＝－1；
(4)(x＋3)(x＋4)＝0， x1＝－3，x2＝－4。
3．根据方程的根的情况，完成下列问题。(1)x2－2x－3＝0；x1＝____，x2＝____，x1＋x2＝____，x1x2＝____；(2)x2＋4x＋3＝0；x1＝____，x2＝____，x1＋x2＝____，x1x2＝____；(3)x2－5x－6＝0；x1＝____，x2＝____，x1＋x2＝____，x1x2＝____；(4)x2＋7x＋12＝0；x1＝____，x2＝____，x1＋x2＝____，x1x2＝____。你发现了什么规律？告诉大家。
2x2-3x +1=0
一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）当b2-4ac ≥ 0 时有两个根：
如果方程 ax2+bx+c=0（a≠0）有两根实数根x1，x2，那么
【方法指导】利用一元二次方程根与系数的关系求两根之和、两根之积时，要先利用根的判别式b2－4ac判断方程根的情况。
解： （1）这里 a = 1，b = 7，c = 6.
△ =b2-4ac = 72+4×1×6 = 49-24 = 25 > 0
设方程的两个实数根是x1，x2，那么.
例 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积：（1）x2 +7x +6 = 0 ;
例 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积：（2）2x2 - 3x -2 = 0 .
【例2】关于x的一元二次方程x2＋3x＋m－1＝0的两个实数根分别为x1，x2。(1)求m的取值范围；(2)若2(x1＋x2)＋x1x2＋10＝0，求m的值。
【方法指导】(1)由一元二次方程有两个实数根结合根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围；(2)根据根与系数的关系，可得出x1＋x2，x1x2的值，结合已知条件可得出关于m的方程，解之即可得出m的值。
解：(1)∵关于x的一元二次方程x2＋3x＋m－1＝0的两个实数根分别为x1，x2，
【例2】关于x的一元二次方程x2＋3x＋m－1＝0的两个实数根分别为x1，x2。(1)求m的取值范围；
【例2】关于x的一元二次方程x2＋3x＋m－1＝0的两个实数根分别为x1，x2。(2)若2(x1＋x2)＋x1x2＋10＝0，求m的值。
解：(2)由根与系数的关系，得x1＋x2＝－3，x1x2＝m－1。∵2(x1＋x2)＋x1x2＋10＝0，∴2×(－3)＋m－1＋10＝0。解得m＝－3。
【例3】若关于x的一元二次方程x2＋(k－2)x＋k2＝0的两个根互为倒数，求k的值。
【方法指导】应用根与系数关系时，注意还要考虑根的判别式。
解：设方程x2＋(k－2)x＋k2＝0的两个根为x1，x2。由一元二次方程根与系数的关系，得x1x2＝k2＝1，解得k＝±1。当k＝1时，Δ＜0；当k＝－1时，Δ＞0。综上所述，k＝－1。
2. 应用一元二次方程的根与系数关系时，首先要把已知方程化成一般形式.
3. 应用一元二次方程的根与系数关系时，要特别注意，方程有实根的条件，即在初中代数里，当且仅当b2-4ac ≥ 0 时，才能应用根与系数的关系.
1. 一元二次方程根与系数的关系是什么？
利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积： （1）x2-3x-1=0； （2）3x2+2x-5=0.
解：（1）x1+x2=3， x1x2 = -1.
小明和小华求得的根与算式都不符合，
∴小明和小华的答案都不正确.
解：x1x2 =－7.
4．利用根与系数的关系，求出下列方程的两根之和、两根之积。(1)2x2－3x－4＝0； (2)x(2x－1)－2＝0。
(2)x(2x－1)－2＝0。
5．若关于x的一元二次方程x2＋2x＋m＝0的一个根是－2，则另一个根是____。
6．已知关于x的一元二次方程x2＋mx－6＝0的一个根是6，则m＝____，另一个根是____。