高中人教版 (2019)带电粒子在匀强磁场中的运动达标测试

这是一份高中人教版 (2019)带电粒子在匀强磁场中的运动达标测试，共5页。
知识点一：单平面边界的磁场问题
从单平面边界垂直磁场射入的正、负粒子重新回到边界时的速度大小、速度方向和边界的夹角与射入磁场时相同。
知识点二 双平行平面边界的磁场问题
带电粒子由边界上P点以如图所示方向进入磁场。
(1)当磁场宽度d与轨迹圆半径r满足r≤d 时(如图中的r1)，粒子在磁场中做半圆周运动后从进入磁场时的边界上的Q1点飞出磁场。
(2)当磁场宽度d 与轨迹圆半径r 满足r>d 时(如图中的r2)，粒子将从另一边界上的Q2点飞出磁场。
知识点三 带电粒子在圆形边界匀强磁场中的运动
1．在圆形匀强磁场区域内，沿径向对准磁场圆心射入的粒子一定沿径向射出。
如图所示，磁场圆半径为R，粒子轨迹圆半径为r，带电粒子从P点对准磁场圆心O射入，由几何知识容易证明粒子从Q点飞出的速度方向的反向延长线必过磁场圆心O点。
2．带电粒子入射方向偏离圆形匀强磁场圆心射入的问题
处理这类问题时一定要分清磁场圆和轨迹圆，并要注意区分轨迹圆的圆心和圆形边界匀强磁场的圆心。
甲 乙
(1)当粒子沿图甲所示轨迹运动时，粒子在磁场中运动时间最长、速度偏转角最大。
(2)由图甲看出，在轨迹圆半径和速度偏转角一定的情况下，可实现此偏转的最小磁场圆是以PQ为直径的圆。
(3)如图乙所示，由几何知识很容易证明：当r＝eq \f(mv,qB)＝R时，相同带电粒子从P点沿纸面内不同方向射入磁场，它们离开磁场时的方向却是平行的。（平入点出，点入平出）
知识点四 带电粒子在有界磁场中的临界问题
带电粒子在有界匀强磁场中做匀速圆周运动时，带电粒子速度大小的变化，引起带电粒子做圆周运动的半径发生变化，找到临界点对应的条件是解决此类问题的突破口。解决此类问题应注意以下结论：
(1)刚好穿出或刚好不能穿出磁场的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。
(2)当以一定的速率垂直射入磁场时，运动的弧长越长、圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动时间越长。
(3)当比荷相同，速率v变化时，带电粒子在匀强磁场中运动的圆心角越大的，运动时间越长。
[典型例题、易错易混点剖析]
易错易混点1：不会处理单平面边界的磁场问题
易错易混点辨析：(1)根据速度方向和粒子的电性画出运动轨迹，利用几何关系求出轨道半径。(2)粒子的运动具有对称性，即进、出磁场时的速度方向和边界的夹角相等。
例题1．（2021·黑龙江·密山市第一中学高二期中）如图所示，在足够长的水平线上方有方向垂直纸面向里的范围足够大的匀强磁场区域，一带负电的粒子 P 从 a 点沿 θ ＝45°方向以初速度 v 垂直磁场方向射入磁场中，经时间 t 从 b 点出磁场。不计粒子重力，下列说法正确的是（ ）
A．粒子射出磁场时与水平线的夹角（锐角）为 θ
B．若P的初速度增大为2v，则射出磁场所需时间为2t
C．若 P 的初速度增大为 2v，粒子射出磁场时与水平线的夹角（锐角）为 2θ
D．若磁场方向垂直纸面向外，粒子 P 还是从 a 点沿 θ＝45°方向以初速度 v 垂直磁场方向射入磁场中，则射出磁场所需时间为 2t
解析：选A，A．根据粒子做匀速圆周运动的对称性，当负粒子从b点射出时，速度方向与水平线的夹角为θ，故A正确；BC．若速度增大为2v，虽然负粒子做匀速圆周运动的半径加倍，但速度方向仍与水平线夹角为θ，粒子的偏转角度为不变，粒子射出磁场所需时间仍为t，故BC错误；D．磁场垂直于纸面向里时，粒子的偏转角为90°，若磁场反向，负粒子逆时针方向做匀速圆周运动，由运动的对称性，当粒子从磁场射出时与边界成45°，此时粒子偏转了360°-2×45°=270°，粒子在磁场中的运动时间，粒子偏向角变为原来的3倍，则粒子运动时间为原来的3倍，为3t，故D错误。故选A。
例题2．（2021·贵州·高二学业考试）边界上方区域存在磁感应强度大小为、方向垂直纸面向里的匀强磁场。一质量为、电荷量为的粒子（不计重力），沿与成角、垂直磁场的方向射入磁场区域，在磁场中运动的轨迹如图所示，该粒子在磁场中运动的时间为（ ）
A．B．C．D．
解析：选B，粒子在磁场中的运动轨迹为一段优弧，根据几何知识可知粒子在磁场中运动轨迹所对圆心角为，则粒子在磁场中运动的时间为，故选B。
易错易混点2：找不到解决双平行平面边界的磁场问题的分析方法
易错易混点辨析：1要按照“画轨迹，找圆心，求半径利用几何关系”的基本思路进行。2解题过程中注意对称性的应用。
关健：画出运动轨迹图（规范画图，才有可能找准几何关系）；
规律：q B v = m ， T = =
例题3.（2021·重庆一中高二期中）两个带等量异种电荷的粒子分别以速度和射入匀强磁场，两粒子的入射方向与磁场边界的夹角分别为和，磁场宽度为d，两粒子同时由A点出发，同时到达B点，A、B连线垂直于磁场边界。如图所示，则（ ）
A．a粒子带正电，b粒子带负电B．两粒子的轨道半径之比
C．两粒子的质量之比D．两粒子的速率之比
解析：选C，A．由左手定则可得：a粒子带负电，b粒子带正电，故A错误；
B．由粒子做匀速圆周运动，如图
粒子运动轨道圆心在AB的垂直平分线和过A点的速度垂直方向的交点，故
，，所以故B错误；
C．由几何关系可得：从A运动到B，a粒子转过的圆心角为，b粒子转过的圆心角为，根据运动时间相同可得运动周期为，再根据洛伦兹力做向心力可得所以，运动周期为，根据电荷量相等可得，故C正确；D．根据， ，，，可得，故D错误。故选C。
例题4．长为L的水平极板间，有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，板间距离也为L，极板不带电．现有质量为m，电荷量为q的带正电粒子(重力不计)，从左边极板间中点处垂直磁场以速度v水平入射，如下图所示．欲使粒子不打在极板上，可采用的方法是( )
A．使粒子速度v＜eq \f(BqL,4m)
B．使粒子速度v＞eq \f(5BqL,4m)
C．使粒子速度v＞eq \f(BqL,4m)
D．使粒子速度eq \f(BqL,4m)＜v＜eq \f(5BqL,4m)
解析：选AB，当粒子紧擦上极板右边缘飞出时(如右图)，半径为R，则L2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(R－\f(L,2)))2＝R2，R＝eq \f(5,4)L.，由R＝eq \f(mv,qB)得v＝eq \f(qBR,m)＝eq \f(5qBL,4m)，即当粒子的速度v＞eq \f(5qBL,4m)时，粒子就打不到极板上，故B正确．当粒子紧擦着上极板左边缘飞出时(如图所示)
R＝eq \f(L,4)，由R＝eq \f(mv,qB)得v＝eq \f(qBR,m)＝eq \f(qBL,4m)，即当粒子的速度v＜eq \f(qBL,4m)时，
粒子也不能打到极板上，故欲使粒子不打到极板上，
则v＜eq \f(qBL,4m)或v＞eq \f(5qBL,4m).答案： AB
易错易混点3.不能正确分析带电粒子在圆形边界匀强磁场中的运动的思路
易错易混点辨析：(1)粒子沿半径方向进入磁场后，仍会沿着半径方向射出磁场。
(2)画出运动轨迹并求出轨道半径是解答本题的关键。
例题5．一圆筒处于磁感应强度大小为B的匀强磁场中，磁场方向与筒的轴平行，筒的横截面如图所示。图中直径MN的两端分别开有小孔，筒绕其中心轴以角速度ω顺时针转动。在该截面内，一带电粒子从小孔M射入筒内，射入时的运动方向与MN成30°角。当筒转过90°时，该粒子恰好从小孔N飞出圆筒，不计重力。若粒子在筒内未与筒壁发生碰撞，则带电粒子的比荷为（ ）
A．B．C．D．
解析:选A，由题可知，粒子在磁场中做圆周运动的轨迹如图所示
由几何关系可知，粒子在磁场中做圆周运动的圆弧所对的圆心角为30°，因此粒子在磁场中运动的时间为
粒子在磁场中运动的时间与筒转过90°所用的时间相等，即，解得，故选A。
例题6.如图所示，在圆形区域内，存在垂直纸面向外的匀强磁场，ab是圆的一条直径。一带正电的粒子从a点射入磁场，速度大小为2v，方向与ab成30°角时恰好从b点飞出磁场，粒子在磁场中运动的时间为t。若仅将速度大小改为v，则粒子在磁场中运动的时间为(不计带电粒子所受重力)( )
A．3t B．eq \f(3,2)t C．eq \f(1,2)t D．2t
解析：选D，设圆形磁场半径为R，粒子以速度2v射入磁场，半径r1＝eq \f(2mv,qB)，由图可得，r1＝2R，运动时间t1＝eq \f(60°,360°)·eq \f(2πm,qB)＝eq \f(πm,3qB)＝t；粒子以速度v射入磁场，半径r2＝eq \f(mv,qB)＝R，圆心角θ＝120°，运动时间t2＝eq \f(120°,360°)·eq \f(2πm,qB)＝eq \f(2πm,3qB)＝2t，选项D正确。
易错点4.:不会找带电粒子在有界磁场中的临界问题中的临界点导致不能解出
易错点辨析：1带电粒子在有界匀强磁场中做匀速圆周运动的临界问题往往对应着一些特殊的词语，如“恰好”“刚好”“最大”“最小”“最高”“至少”等等，解题时应予以特别关注。2 刚好穿出或刚好不能穿出磁场的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切；当以一定的速率垂直射入磁场时，运动的弧长越长、圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动时间越长；当比荷相同，速率v变化时，带电粒子在匀强磁场中运动的圆心角越大的，运动时间越长。
例题7.如图所示，在边长为a的正三角形区域内存在着方向垂直于纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场。一个质量为m、电荷量为＋q的带电粒子(重力不计)从AB边的中点O以某一速度v进入磁场，粒子进入磁场时的速度方向垂直于磁场且与AB边的夹角为60°。若粒子能从AB边穿出磁场，且粒子在磁场中运动的过程中，到AB边有最大距离，则v的大小为( )
A．eq \f(\r(3)Bqa,4m) B．eq \f(3Bqa,4m) C．eq \f(\r(3)Bqa,8m) D．eq \f(3Bqa,8m)
解析：选C [从AB边以v射出的粒子符合题意的运动轨迹如图所示。由图知：2R＝OB·cs 30°，OB＝eq \f(a,2)，又有Bqv＝eq \f(mv2,R)得v＝eq \f(\r(3)Bqa,8m)。]
【针对训练】
单选题
1．两个质量相同、所带电荷量相等的带电粒子a、b，以不同的速率对准圆心O沿着AO方向射入圆形匀强磁场区域，其运动轨迹如图所示。不计粒子的重力，下列说法正确的是( )
A．a粒子带正电，b粒子带负电
B．a粒子在磁场中所受洛伦兹力较大
C．b粒子动能较大
D．b粒子在磁场中运动时间较长
解析：选C，粒子向右运动，根据左手定则，b向上偏转，应带正电；a向下偏转，应带负电，故A错误；洛伦兹力提供向心力，即：qvB＝meq \f(v2,r)，得：r＝eq \f(mv,qB)，故半径较大的b粒子速度大，动能也大。由公式f＝qvB，故速度大的b受洛伦兹力较大，故B错误，C正确；磁场中偏转角大的运动的时间也长；a粒子的偏转角大，因此运动的时间较长，故D错误。
2．如图所示，有界匀强磁场边界线SP∥MN，速率不同的同种带电粒子从S点沿SP方向同时射入磁场。其中穿过a点的粒子速度v1与MN垂直；穿过b点的粒子速度v2与MN成60°角，设粒子从S运动到a、b所需时间分别为t1和t2，则t1∶t2为(重力不计)( )
A．1∶3 B．4∶3 C．1∶1 D．3∶2
解析：选D，粒子在磁场中运动的周期的公式为T＝eq \f(2πm,qB)，由此可知，粒子的运动的时间与粒子的速度的大小无关，所以粒子在磁场中的周期相同，由粒子的运动的轨迹可知，通过a点的粒子的偏转角为90°，通过b点的粒子的偏转角为60°，所以通过a点的粒子的运动的时间为eq \f(T,4)，通过b点的粒子的运动的时间为eq \f(T,6)，所以从S到a、b所需时间t1∶t2为3∶2。
3.(2013·新课标全国卷Ⅰ)如图，半径为R的圆是一圆柱形匀强磁场区域的横截面(纸面)，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，一电荷量为q(q＞0)、质量为m的粒子沿平行于直径ab的方向射入磁场区域，射入点与ab的距离为eq \f(R,2).已知粒子射出磁场与射入磁场时运动方向间的夹角为60°，则粒子的速率为(不计重力)( )
A.eq \f(qBR,2m) B.eq \f(qBR,m) C.eq \f(3qBR,2m) D.eq \f(2qBR,m)
解析：选B，带电粒子运动轨迹如图所示，由题意知进出磁场速度的偏向角为60°，带电粒子运动圆弧所对圆心角α＝60°，由题意cs ∠OCD＝eq \f(1,2)，∠OCD＝60°，又∠OCD＝eq \f(α,2)＋∠COO1，故∠COO1＝30°，所以粒子做匀速圆周运动的半径r＝R，由qvB＝eq \f(mv2,r)得v＝eq \f(qBr,m)＝eq \f(qBR,m)，粒子速率为eq \f(qBR,m)，选项B正确．
4.一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里，其边界如图中虚线所示，ab为半径为R的半圆，ac、bd与直径ab共线，a、c间的距离等于半圆的半径R。一束质量为m、电荷量均为-q（q＞0）的粒子，在纸面内从c点垂直于ac以不同速度射入磁场，不计粒子所受重,力及粒子间的相互作用。则在磁场中运动时间最短的粒子运动时间为（ ）
A． B． C． D．
解析：选B，根据分析可知当运动轨迹所对应的弦与所给圆相切时对应的圆心角 最小，如图所示
根据几何关系可知，粒子在磁场中运动的时间为，其中
解得，ACD错误，B正确。故选B。
5．如图所示，直角边长为的等腰直角三角形与匀强磁场垂直，比荷为的带负电粒子以速度从点沿边射入，要使该粒子从边穿过，则磁感应强度大小的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【解析：选D，如图，要想使得粒子从BC边穿出，则临界条件为轨迹与BC边相切，则
由解得，则要使该粒子从边穿过，则磁感应强度大小的取值范围为，故选D。
6．（2020·河北·石家庄实验中学高二月考）如图所示，半径为R的圆形区域内有垂直于圆面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，AC、DE是圆的两条互相垂直的直径，在A点有一个粒子源，沿与AC成45°斜向上垂直磁场的方向射出各种不同速率的粒子，粒子的质量均为m，电荷量均为q，所有粒子均从CD段四分之一圆弧射出磁场，不计粒子的重力，则从A点射出的粒子速率满足的条件是（ ）
A．＞v＞B．＞v＞
C．＞v＞D．＞v＞
解析：选C，当粒子恰好从C点出射，由题知，圆心刚好在D点，如图所示，根据几何关系可得运动半径为
根据洛伦兹力提供向心力，则有解得
当粒子恰好从D点出射，圆心恰在AD的中点，如图所示
根据几何关系可得运动半径为
根据洛伦兹力提供向心力，则有
解得故要所有粒子均从CD段四分之一圆弧射出磁场，
则从A点射出的粒子速率满足的条件是＞v＞，故选C。
7.如图所示，某两相邻匀强磁场区域以MN为分界线，磁感应强度分别为B1、B2，磁场方向均垂直于纸面（图中未画出），有甲、乙两个电性相同的粒子同时分别以速率v1和v2从边界的a、c点垂直于边界射入磁场，经过一段时间后甲、乙两粒子恰好在b点相遇（不计重力及两粒子间的相互作用），O1和O2分别位于所在圆的圆心，其中R1=2R2，则（ ）
A．B1、B2的方向相反
B．v1=2v2
C．甲、乙两粒子做匀速圆周运动的周期不同
D．若B1=B2，则甲、乙两粒子的比荷不同
【解析】选B,A．若粒子带正电，则由左手定则可知两磁场均垂直纸面向外，若粒子带负电，由左手定则可知两磁场均垂直纸面向里，故B1、B2方向相同，故A错误；BC．两粒子运动半个圆周的时间相同，故周期相同，由线速度得v1∶v2=R1∶R2=2∶1则
v1=2v2故B正确，C错误；D．根据粒子做圆周运动的周期公式T=可得，比荷
由于甲、乙两粒子的周期相同，若B1=B2，则甲、乙两粒子的比荷相同，故D错误。故选B。
8．（2020·河北·张家口市第一中学高二期末）如图所示，半径为R的圆形区域内存在垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子以与水平方向成30°角的某速度斜向上从P点射入磁场，恰从Q点射出磁场，虚线PQ水平且通过圆心O，不计粒子的重力。下列说法正确的是（ ）
A．粒子做圆周运动的半径为
B．粒子射入磁场时的速度大小为
C．粒子在磁场中做圆周运动对应的圆心角为120°
D．粒子在磁场中运动的时间为
解析：选D，A．由几何关系可知，粒子做圆周运动的半径为选项A错误；B．根据粒子射入磁场时的速度大小为选项B错误；C．由几何关系可知，粒子在磁场中做圆周运动对应的圆心角为60°，选项C错误；D．粒子在磁场中运动的时间为选项D正确。
9．（2020·河北·石家庄实验中学高二月考）如图所示，O点有一粒子发射源，能沿纸面所在的平面发射质量均为m、电荷量均为+q、速度大小均为v的粒子。MN为过O点的水平放置的足够大的感光照相底片，照相底片上方有匀强磁场，磁感应强度大小为B，磁场方向垂直于纸面向里，不计粒子所受的重力及粒子间的相互作用，则感光照相底片上的感光长度为（ ）
A． B． C． D．
解析：选B，粒子在磁场中运动，半径 ，从O点垂直MN向上射出的粒子达到MN时距离O点最远，最远距离为，从O点水平向右射出的粒子在磁场总做完整的圆周运动后回到O点，则感光照相底片上的感光长度为。故选B。
10．（2021·全国·高二课时练习）如图所示，在轴上方存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度为，在平面内，从原点处与轴正方向成角（），以速率发射一个带正电的粒子（重力不计），则下列说法正确的是（ ）
A．若一定，越大，则粒子离开磁场的位置距点越远
B．若一定，越大，则粒子在磁场中运动的时间越短
C．若一定，越大，则粒子在磁场中运动的角速度越大
D．若一定，越大，则粒子在磁场中运动的时间越短
解析：选B，BD．画出粒子在磁场中运动的轨迹如图所示，
由几何关系得，轨迹对应的圆心角，粒子在磁场中运动的时间，可得，若一定，越大，粒子在磁场中运动的时间越短，若一定，则粒子在磁场中的运动时间一定，故B正确，D错误；A．设粒子的轨迹半径为，则，由图有可得，若是锐角，越大，越大，若是钝角，越大，越小，故A错误；C．粒子在磁场中运动的角速度又则与速度无关，故C错误。故选B。
多选题
11.有一方向竖直向下的匀强磁场垂直于光滑绝缘水平面，如图所示(俯视图)。在A处静止放置一个不带电的金属球a，另一来自坐标原点的运动金属球b恰好沿y轴正方向撞向a球。碰撞后，关于两球的运动情景，可能正确的是 ( )
解析：选AD 依题意可判断出金属球b带正电，受到水平方向的洛伦兹力作用沿逆时针方向做匀速圆周运动。与a球碰撞后，两球都带上了正电，它们的速度可能同向，运动轨迹可能如A项图所示；两球速度方向还可能相反，运动轨迹可能如D项图所示。
12.如图所示，圆柱形区域的横截面在没有磁场的情况下，带电粒子(不计重力)以某一初速度沿截面直径方向入射时，穿过此区域的时间为t；若该区域加沿轴线方向的匀强磁场，磁感应强度为B，带电粒子仍以同一初速度沿截面直径入射，粒子飞出此区域时，速度方向偏转了eq \f(π,3)，根据上述条件可求得的物理量为( )
A．带电粒子的初速度 B．带电粒子在磁场中运动的半径
C．带电粒子在磁场中运动的周期 D．带电粒子的比荷
解析：选CD，无磁场时，带电粒子做匀速直线运动，设圆柱形区域磁场的半径为R0，则v＝eq \f(2R0,t)；而有磁场时，带电粒子做匀速圆周运动，由半径公式可得：R＝eq \f(mv,Bq)；由几何关系得，圆形磁场半径与圆轨道半径的关系：R＝eq \r(3)R0；可得：eq \f(q,m)＝eq \f(2,\r(3)Bt)；设粒子在磁场中的运动时间为t0，粒子飞出此区域时，速度方向偏转60°角，则由周期公式可得：t0＝eq \f(T,6)＝eq \f(\r(3),6)πt；由于不知圆磁场的半径，因此带电粒子的运动半径以及初速度无法求出。故选C、D。
13.如图所示，两个横截面分别为圆形和正方形、磁感应强度相同的匀强磁场，圆的直径等于正方形的边长，两个电子以相同的速度分别飞入两个磁场区域，速度方向均与磁场方向垂直。进入圆形区域的电子速度方向正对圆心，进入正方形区域的电子是沿一边的中心且垂直于边界线进入的，则( )
A.两个电子在磁场中运动的轨迹半径一定相同
B．两个电子在磁场中运动的时间有可能相同
C．进入圆形区域的电子一定先飞离磁场
D．进入圆形区域的电子一定不会后飞离磁场
解析：选A、B、D。电子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，qvB＝ eq \f(mv2,R) ，整理得R＝ eq \f(mv,qB) ，两过程电子速度v相同，所以半径R相同，故A正确；由于它们进入圆形磁场和正方形磁场的轨迹半径、速度是相同的，我们把圆形磁场和正方形磁场放到同一位置如图所示，由图可以看出若进入磁场区域的电子的轨迹为1，先出圆形磁场，再出正方形磁场，若进入磁场区域的电子的轨迹为2，同时从圆形与正方形边界出磁场；若进入磁场区域的电子的轨迹为3，先出圆形磁场，再出正方形磁场；所以电子不会先出正方形的磁场，故B、D正确，C错误。
14.如图所示，在边界上方存在着垂直纸面向里的匀强磁场，有两个电荷量、质量均相同，分别带正电和负电的粒子(不计重力)，从边界上的O点以相同速度先后射入磁场中，入射方向与边界成θ角，则两个粒子在磁场中 ( )
A.运动轨迹的半径相同
B.重新回到边界所用时间相同
C.重新回到边界时速度大小和方向相同
D.重新回到边界时与O点的距离相等
解析：选ACD， 根据牛顿第二定律得qvB=mv2r，解得r=mvqB，由题知q、m、v、B大小均相同，则r相同，选项A正确。粒子的运动周期T=2πmqB，由题知q、m、B大小均相同，则T相同；正、负两粒子的运动轨迹如图所示，带正电的粒子逆时针偏转，带负电的粒子顺时针偏转，重新回到边界时，带正电的粒子的速度偏向角为2π-2θ，轨迹对应的圆心角也为2π-2θ，运动时间为t=2π-2θ2πT；同理，带负电的粒子运动时间为t'=2θ2πT，时间不等，选项B错误。两个粒子在磁场中均做匀速圆周运动，速度沿轨迹的切线方向，根据对称性可知，两粒子重新回到边界时速度大小与方向均相同，选项C正确。根据几何知识得知，两粒子重新回到边界时与O点的距离均为2r sin θ，选项D正确。
15．（2021·黑龙江·密山市第一中学高二期中）两个质量相同、所带电荷量相等的带电粒子a、b，以不同的速率对准圆心O沿着AO方向射入垂直纸面向里的圆形匀强磁场区域，其运动轨迹如图，不计粒子重力，下列说法正确的是（ ）
A．a粒子带负电荷，b粒子带正电荷 B．b粒子做圆周运动的速度较大
C．a粒子在磁场中受到的洛伦兹力较小 D．b粒子在磁场中运动时间较长
解析：选ABC，A．粒子向右运动，根据左手定则，b向上偏转，应当带正电；a向下偏转，应当带负电，故A正确。B．粒子在磁场中洛伦兹力提供向心力，做匀速圆周运动，则有解得由于带电粒子的B、q、m均相同，由图可知b的半径大，则运动速率越大，故B正确；C．b粒子速度较大，根据F=qvB，B、q均相同，可得b的洛伦兹力较大，故C正确；D．根据两粒子的周期相同，a的圆心角较大，则a的运动时间较长，故D错误。故选ABC。
16．如图，直角坐标xOy平面内，有一半径为R的圆形匀强磁场区域，磁感应强度的大小为B，方向垂直于纸面向里，边界与x、y轴分别相切于a、b两点。一质量为m，电荷量为q的带电粒子从b点沿平行于x轴正方向进入磁场区域，离开磁场后做直线运动，经过x轴时速度方向与x轴正方向的夹角为60°，下列判断正确的是( )
A．粒子带正电B．粒子在磁场中运动的轨道半径为R
C．粒子运动的速率为D．粒子在磁场中运动的时间为
【答案】C
解析：选C，粒子的轨迹如图所示，向下偏转，所以粒子带负电，根据几何知识可得解得故根据 可得粒子运动的速率为从图中可知粒子轨迹所对圆心角为60°，故粒子在磁场中运动的时间为故选C。
17.如图所示，在荧屏板的上方分布了水平方向的匀强磁场，磁感应强度大小为，方向垂直纸面向里。距荧屏板处有一粒子源，能够在纸面内不断均匀地向各个方向发射速度大小为、电荷量为、质量为的带正电粒子，不计粒子的重力，已知粒子源发射粒子的总个数为，则（ ）
A. 粒子能打到板上的区域长度为
B. 打到板上粒子数为
C. 从粒子源出发到板的最短时间为
D. 同一时刻发射的粒子打到荧光板上的最大时间差为
解析：选BC，A．粒子运动的半径。粒子运动到绝缘板的两种临界情况如图
设SC垂直于MN于C点，由几何关系可知，左侧最远处与S之间的距离恰好是圆的直径，则左侧最远处A离C距离为，右侧离C最远处为B，距离为d，所以粒子能打在板上的区域长度是，选项A错误；B．根据以上分析可知有一半的粒子能达到极板上，粒子源发射粒子的总个数为，则打到板上的粒子数为，选项B正确；CD．在磁场中运动时间最长和最短的粒子运动轨迹示意图如下：
粒子做整个圆周运动的周期，由几何关系可知最短时间，如图所示粒子在磁场中最长时间，所以选项C正确，D错误。
计算题
18．如图所示，在xOy平面内x轴上方有垂直xOy平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一质量为m，电荷量为＋q的粒子(不计重力)，从O点以某一初速度垂直磁场射入，其轨迹与y轴交于M点，与x轴交于N点(图中M、N未画出)。已知OM＝a，ON＝eq \r(3)a，求：
(1)粒子初速度v的大小；
(2)粒子在磁场中运动的时间t。
解析： (1)根据题意作出粒子运动轨迹如图所示。根据几何关系可得：
R2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3)a,2)))eq \s\up12(2)解得R＝a
根据洛伦兹力提供向心力可得：qvB＝meq \f(v2,R)，解得：v＝eq \f(qBa,m)。
(2)根据几何关系可得：tan θ＝eq \f(\f(\r(3),2)a,\f(a,2))＝eq \r(3)，解得θ＝60°
粒子在磁场中运动的轨迹对应的圆心角为α＝360°－120°＝240°
则粒子在磁场中运动的时间为t＝eq \f(240°,360°)×eq \f(2πm,qB)＝eq \f(4πm,3qB)。
19.如图所示，质量为m，电荷量为q的负离子，以速度v垂直于荧光屏S经过小孔O射入匀强磁场中，磁场方向与离子的运动方向垂直，磁感应强度的大小为B，处于真空中。求：
(1)离子打在荧光屏上的位置离O点的距离是多少？
(2)若离子进入磁场后经过一段时间到达P点，已知OP连线与入射方向的夹角为θ，求离子从O到P所经历的时间？
解析： (1)离子的初速度与匀强磁场的方向垂直，在洛伦兹力作用下，做匀速圆周运动。设圆半径为r，作出其运动轨迹，如图
由牛顿第二定律可得：Bqv＝meq \f(v2,r) 解得：r＝eq \f(mv,qB)
如图所示，离子回到屏S上的位置与O点的距离为：d＝2r＝eq \f(2mv,qB)。
(2)当离子到位置P时，圆心角：α＝2θ，离子运动的时间为t＝eq \f(α,2π)T，而周期T＝eq \f(2πm,qB)
所以联立以上三式得：离子运动时间t＝eq \f(2θm,qB)。
核心素养
学习目标
物理观念
掌握带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径公式和周期公式及应用
科学思维
掌握几种常见有界磁场的分布特点和分析方法
科学探究
会分析直线边界、圆形边界磁场中带电粒子的运动轨迹
科学态度与责任
借助数学方法解决物理问题的过程，感悟科学推理的重要意义。