高中物理人教版 (2019)选择性必修 第二册3 带电粒子在匀强磁场中的运动导学案及答案

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1.知道带电粒子初速度方向和磁场方向垂直时，带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动.
科学思维
1.会根据洛伦兹力提供向心力推导半径公式和周期公式.
2.会分析带电粒子在匀强磁场中运动的基本问题．
一、带电粒子在匀强磁场中的运动
1．若v∥B，带电粒子以速度v做匀速直线运动，其所受洛伦兹力F＝0.
2．若v⊥B，此时初速度方向、洛伦兹力的方向均与磁场方向垂直，粒子在垂直于磁场方向的平面内运动．
(1)带电粒子垂直于磁场方向进入磁场后,受到洛伦兹力的作用,带电粒子初速度的方向和洛伦兹力的方向都在与磁场方向垂直的平面内,粒子在这个平面内运动。
(2)带电粒子垂直于磁场方向进入磁场后,洛伦兹力总是与粒子的运动方向垂直,只改变粒子速度的方向,不改变粒子速度的大小。由于粒子的速度大小不变,粒子在匀强磁场中所受洛伦兹力的大小也不改变,洛伦兹力对粒子起到了向心力的作用。所以,沿着与磁场垂直的方向射入磁场的带电粒子,在匀强磁场中做匀速圆周运动。
二、带电粒子在磁场中做圆周运动的半径和周期
1．半径
一个电荷量为q的粒子,在磁感应强度为B的匀强磁场中以速度v运动,那么
带电粒子所受的洛伦兹力为F= qvB,由洛伦兹力提供向心力得qvB＝meq \f(v2,r),由此可解得圆周运动的半径r=eq \f(mv,qB)。从这个结果可以看出,粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径与它的质量、速度成正比,与电荷量、磁感应强度成反比。
2．由r＝eq \f(mv,qB)和T＝eq \f(2πr,v)，可得T＝eq \f(2πm,qB).带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期与轨道半径和运动速度无关．
1．判断下列说法的正误．
(1)运动电荷进入磁场后(无其他场)可能做匀速圆周运动，不可能做类平抛运动．( √ )
(2)带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，轨道半径跟粒子的速率成正比．( √ )
(3)带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期与轨道半径成正比．( × )
(4)运动电荷在匀强磁场中做圆周运动的周期随速度的增大而减小．( × )
2. 质子和α粒子由静止出发经过同一加速电场加速后，沿垂直磁感线方向进入同一匀强磁场，则它们在磁场中的速度大小之比为________；轨道半径之比为________；周期之比为________．
答案 eq \r(2)∶1 1∶eq \r(2) 1∶2
一、带电粒子在匀强磁场中运动的基本问题
如图1所示，可用洛伦兹力演示仪观察运动电子在匀强磁场中的偏转．
图1
(1)不加磁场时，电子束的运动轨迹如何？加上磁场后，电子束的运动轨迹如何？
(2)如果保持出射电子的速度不变，增大磁感应强度，轨迹圆半径如何变化？如果保持磁感应强度不变，增大出射电子的速度，轨迹圆半径如何变化？
答案 (1)一条直线 圆 (2)变小 变大
1．分带电粒子在匀强磁场中的运动
理论分析
即qvB＝meq \f(v2,r).
2.定量计算
由qvB=mv2r可知r=mvqB,所以T=2πrv=2πmqB。
特别提示 带电粒子(不计重力)以一定的速度v进入磁感应强度为B的匀强磁场时的运动轨迹:
(1)当v∥B时,带电粒子将做匀速直线运动;
(2)当v⊥B时,带电粒子将做匀速圆周运动;
(3)当带电粒子斜射入磁场时,带电粒子将沿螺旋线运动。
例1 如图所示,MN为铝质薄平板,铝板上方和下方分别有垂直于纸面的匀强磁场(未画出)。一带电粒子从紧贴铝板上表面的P点垂直于铝板向上射出,从Q点穿越铝板后到达PQ的中点O。已知粒子穿越铝板时,其动能损失一半,速度方向和电荷量不变。不计重力。铝板上方和下方的磁感应强度大小之比为( )
A.2 B.2
C.1 D.22
答案 D
解析 设带电粒子在P点时初速度为v1,从Q点穿过铝板后速度为v2,则Ek1=12mv12,Ek2=12mv22;由题意可知Ek1=2Ek2,即12mv12=mv22,则v1v2=21。由洛伦兹力提供向心力,即qvB=mv2r,得r=mvqB,由题意可知r1r2=21,所以B1B2=v1r2v2r1=22,故选项D正确。
针对训练1 (多选)两个粒子A和B带有等量的同种电荷,粒子A和B以垂直于磁场的方向射入同一匀强磁场,不计重力,则下列说法正确的是( )
A.如果两粒子的速度vA=vB,则两粒子在该匀强磁场中做匀速圆周运动的半径RA=RB
B.如果两粒子的动能EkA=EkB,则两粒子在该匀强磁场中做匀速圆周运动的周期TA=TB
C.如果两粒子的质量mA=mB,则两粒子在该匀强磁场中做匀速圆周运动的周期TA=TB
D.如果两粒子的质量与速度的乘积mAvA=mBvB,则两粒子在该匀强磁场中做匀速圆周运动的半径RA=RB
答案 CD
解析 因为粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径r=mvqB,周期T=2πmqB, 又粒子电荷量相等且在同一磁场中,所以q、B相等,r与m、v有关,T只与m有关,所以A、B错误,C、D正确。
针对训练2 氕、氘、氚的电荷数相同,质量之比为1∶2∶3,它们由静止经过相同的加速电压加速,之后垂直进入同一匀强磁场,不计重力和它们间的相互作用,则( )
A.运动半径之比为3∶2∶1
B.运动半径之比为3∶2∶1
C.运动周期之比为1∶2∶3
D.运动周期之比为3∶2∶1
答案 C
解析 经过电压U加速后,速度v=2qUm,根据半径公式得r=mvqB=2mUqB2,半径与质量的二次方根成正比,即运动半径之比为1∶2∶3,A、B错误;根据周期公式T=2πmqB,可知周期之比等于质量之比,为1∶2∶3,C正确,D错误。
1．(带电粒子在匀强磁场中的运动)(多选)如图所示,两个匀强磁场的方向相同,磁感应强度分别为B1、B2,虚线MN为理想边界。现有一个质量为m、电荷量为e的电子以垂直于边界MN的速度v由P点沿垂直于磁场的方向射入磁感应强度为B1的匀强磁场中,其运动轨迹为图中虚线所示的心形图线,以下说法正确的是( )
A.电子的运动轨迹为P→D→M→C→N→E→P
B.电子运动一周回到P点所用的时间T=2πmB1e
C.B1=4B2
D.B1=2B2
答案 AD
解析 由左手定则可知,电子在P点所受的洛伦兹力的方向向上,轨迹为P→D→M→C→N→E→P,选项A正确;由题图得两磁场中轨迹圆的半径比为1∶2,由半径r=mvqB可得B1B2=2,选项C错误,选项D正确;运动一周的时间t=T1+T22=2πmeB1+πmeB2=4πmeB1,选项B错误。
2.(带电粒子在匀强磁场中的运动)一个带电粒子沿垂直于磁场的方向射入一匀强磁场。粒子的一段径迹如图所示。径迹上的每一小段都可近似看成圆弧。由于带电粒子使沿途的空气电离,粒子的能量逐渐减少(电荷量不变)。从图中情况可以确定( )
A.粒子从a到b,带正电
B.粒子从a到b,带负电
C.粒子从b到a,带正电
D.粒子从b到a,带负电
答案 C
解析 垂直于磁场方向射入匀强磁场的带电粒子受洛伦兹力作用,使粒子做匀速圆周运动,半径R=mvqB;由于带电粒子使沿途的空气电离,粒子的能量减少,磁感应强度B、电荷量不变,又据Ek= 12mv2知,v在减小,故R减小,可判定粒子从b向a运动;另据左手定则,可判定粒子带正电,C选项正确。
3．(半径公式、周期公式)质量和电荷量都相等的带电粒子M和N,以不同的速率经小孔S垂直进入匀强磁场并最终打在金属板上,运动的半圆轨迹如图中虚线所示,不计重力,下列表述正确的是( )
A.M带负电,N带正电
B.M的速率小于N的速率
C.洛伦兹力对M、N做正功
D.M的运动时间大于N的运动时间
答案 A
解析 根据左手定则可知N带正电,M带负电,A正确;因r=mvBq,而M的轨迹半径大于N的轨迹半径,所以M的速率大于N的速率,B错误;洛伦兹力不做功,C错误;M和N的运动时间都为t=πmBq,D错误。
4. (半径公式、周期公式) (带电粒子在匀强磁场中的运动)在匀强磁场中,一个带电粒子做匀速圆周运动,如果又顺利垂直进入另一个磁感应强度是原来磁感应强度2倍的匀强磁场,则( )
A.粒子的速率变为原来的2倍,周期变为原来的12
B.粒子速率不变,轨道半径变为原来的12
C.粒子的速率变为原来的12,轨道半径变为原来的14
D.粒子速率不变,周期不变
答案 B
解析 由于洛伦兹力不做功,故粒子速率不变,A、C错误;由R=mvqB和T=2πmqB判断,B正确,D错误。
一、选择题(第1~4题为单选题,第5~7题为多选题)
1.一个重力不计的带电粒子垂直进入匀强磁场,在与磁场垂直的平面内做匀速圆周运动。下列能表示运动周期T与半径R关系的图像是( )

答案 D
解析 根据T=2πmqB,可知带电粒子在磁场中运动周期T与半径R无关,选项D正确。
2.如图所示,一半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场,一质量为m、电荷量为q的负电荷(重力忽略不计)以速度v沿正对着圆心O的方向从A点射入磁场,从磁场C点射出时速度方向改变了θ角。磁场的磁感应强度大小为( )
A.mvqRtan θ2B.mvqRtan θ2
C.mvqRsin θ2D.mvqRcs θ2
答案 B
解析 负电荷在磁场中运动的轨迹图,如图所示
由几何关系可知r=Rtan θ2,根据qvB=mv2r,可知B=mvqr=mvqRtan θ2,选项B正确。
3.如图所示,有界匀强磁场边界线SP∥MN,速率不同的同种带电粒子从S点沿SP方向同时射入磁场。其中穿过a点的粒子速度v1与MN垂直,穿过b点的粒子速度v2与MN成60°角,设粒子从S到a、b所需时间分别为t1和t2,粒子重力不计,则t1∶t2为( )
A.1∶3B.4∶3
C.1∶1D.3∶2
答案 D
解析 如图所示,可求出从a点射出的粒子对应的轨迹圆心角为90°,从b点射出的粒子对应的轨迹圆心角为60°。由t=α2πT,T=2πmqB可得t1∶t2=3∶2,故选项D正确。
4.如图所示,粒子源P会发出电荷量相等的带电粒子。这些粒子经装置M加速并筛选后,能以相同的速度从A点(垂直磁场方向)沿AB射入正方形匀强磁场ABCD,磁场方向如图所示。粒子1、粒子2分别从AD中点和C点射出磁场。不计粒子重力,则粒子1和粒子2( )
A.均带正电,质量之比为4∶1
B.均带负电,质量之比为1∶4
C.均带正电,质量之比为2∶1
D.均带负电,质量之比为1∶2
答案 B
解析 由题图可知,粒子刚进入磁场时受到的洛伦兹力水平向左,由左手定则可知,粒子带负电。设正方形的边长为l,由题图可知,粒子轨道半径分别为r1=14l,r2=l,粒子在磁场中做匀速圆周运动,洛伦兹力提供向心力,由牛顿第二定律得qvB=mv2r,m=qBrv∝r,则m1m2=r1r2=14,故选项B正确。
5.两个质量相同、电荷量相等的带电粒子a、b以不同的速率对准圆心O沿着AO方向射入圆形匀强磁场区域,其运动轨迹如图所示,若不计粒子的重力,则下列说法正确的是( )
A.a粒子带负电,b粒子带正电
B.a粒子在磁场中所受洛伦兹力较大
C.b粒子动能较大
D.b粒子在磁场中运动时间较长
答案 AC
解析 粒子向右运动,根据左手定则,b向上偏转,应当带正电,a向下偏转,应当带负电,故选项A正确。洛伦兹力提供向心力,即qvB=mv2r,得r=mvqB,故半径较大的b粒子速度大,动能也大,所受洛伦兹力也较大,故选项C正确,B错误。由题意可知,带电粒子a、b在磁场中运动的周期均为T=2πmqB,故在磁场中偏转角大的粒子运动的时间较长,a粒子的偏转角大,因此运动的时间较长,故选项D错误。
6.如图所示,圆柱形区域的横截面在没有磁场的情况下,带电粒子(不计重力)以某一初速度沿截面直径方向入射时,穿过此区域的时间为t;若该区域加沿轴线方向的匀强磁场,磁感应强度为B,带电粒子仍以同一初速度沿截面直径入射,粒子飞出此区域时,速度方向偏转了π3,根据上述条件可求得的物理量为( )
A.带电粒子的初速度
B.带电粒子在磁场中运动的半径
C.带电粒子在磁场中运动的周期
D.带电粒子的比荷
答案 CD
解析 无磁场时,带电粒子做匀速直线运动,设圆柱形区域磁场的半径为R,则v=2Rt;而有磁场时,带电粒子做匀速圆周运动,由半径公式可得r=mvBq;如图所示,由几何关系得,圆磁场半径与圆轨道半径的关系r=3R,联立可得qm=23Bt;带电粒子在磁场中运动的周期为T=2πmqB=3πt,故选项C、D正确。由于不知圆磁场的半径,因此带电粒子的运动半径无法求出,初速度无法求出,故选项A、B错误。
7.如图所示,夹角为120°的两块薄铝板OM、ON将纸面所在平面分为Ⅰ、Ⅱ两个区域,两区域内有垂直纸面向里的匀强磁场,磁感应强度分别为B1、B2。在OM板上表面处有一带电粒子垂直OM方向射入磁场B1中,粒子恰好以O为圆心做圆周运动回到出发点。设粒子在两区域中运动的速率分别为v1、v2,运动时间分别为t1、t2;假设带电粒子穿过薄铝板过程中电荷量不变,动能损失一半,不计粒子重力,则下列说法正确的是( )
A.粒子带负电
B.v1∶v2=2∶1
C.B1∶B2=2∶1
D.t1∶t2=1∶2
答案 AC
解析 根据左手定则可判定粒子带负电,故选项A正确。由题意知Ek1Ek2=12mv1212mv22=21,故v1∶v2=2∶1,选项B错误。根据洛伦兹力提供向心力qvB=mv2r得B=mvqr,由题意知r1=r2,故B1∶B2=v1∶v2=2∶1,选项C正确。由粒子在磁场中的周期公式T=2πmqB知,粒子在磁场中运动的周期之比T1∶T2=1∶2,运动时间之比t1∶t2=T13∶2T23=1∶22,故选项D错误。
二、非选择题
8.如图所示,半径为r的圆形区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场,一个质量为m、电荷量为q的带电粒子从圆形边界沿半径方向以速度v0进入磁场,粒子射出磁场时的偏向角为90°,不计粒子的重力。求:
(1)粒子的带电性质;
(2)匀强磁场的磁感应强度的大小;
(3)粒子在磁场中运动的时间。
答案 (1)正电 (2)mv0qr (3)πr2v0
解析 (1)由左手定则可知,粒子带正电。
(2)由几何关系可知,粒子在磁场中运动的轨道半径为R=r
又因为qv0B=mv02R
所以B=mv0qr。
(3)粒子在磁场中运动的时间t=14T=14×2πrv0=πr2v0。
一、选择题(第1~4题为单选题,第5~6题为多选题)
1.(2023·北京卷)如图所示,在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场中,固定一内部真空且内壁光滑的圆柱形薄壁绝缘管道,其轴线与磁场垂直。管道横截面半径为a,长度为l(l≫a)。带电粒子束持续以某一速度v沿轴线进入管道,粒子在磁场力作用下经过一段圆弧垂直打到管壁上,与管壁发生弹性碰撞,多次碰撞后从另一端射出。单位时间进入管道的粒子数为n,粒子电荷量为+q,不计粒子的重力、粒子间的相互作用。下列说法不正确的是( )
A.粒子在磁场中运动的圆弧半径为a
B.粒子质量为Bqav
C.管道内的等效电流为nqπa2v
D.粒子束对管道的平均作用力大小为Bnql
答案 C
解析 带正电的粒子沿轴线射入,然后垂直打到管壁上,可知粒子运动的圆弧半径为r=a,选项A正确。根据qvB=mv2r,可得粒子的质量m=Bqav,选项B正确。管道内的等效电流为I=Qt=nq,选项C错误。粒子束对管道的平均作用力大小等于等效电流受的安培力大小,F=BIl=Bnql,选项D正确。
2.两相邻匀强磁场区域的磁感应强度大小不同、方向平行。一速度方向与磁感应强度方向垂直的带电粒子(不计重力),从较强磁场区域进入较弱磁场区域后,粒子的( )
A.轨道半径减小,角速度增大
B.轨道半径减小,角速度减小
C.轨道半径增大,角速度增大
D.轨道半径增大,角速度减小
答案 D
解析 带电粒子从较强磁场区域进入较弱磁场区域后,粒子的速度v大小不变,磁感应强度B减小,由公式r=mvqB可知,轨迹半径增大。由公式T=2πmqB可知,粒子在磁场中运动的周期增大,根据ω=2πT知角速度减小。选项D正确。
3.如图所示,圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场,一个带电粒子以速度v从A点沿直径AOB方向射入磁场,经过Δt时间从C点射出磁场,OC与OB成60°角。现将带电粒子的速度变为v3,仍从A点沿原方向射入磁场,不计重力,则粒子在磁场中的运动时间变为( )
A.12ΔtB.2Δt
C.13ΔtD.3Δt
答案 B
解析 带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动,由洛伦兹力提供向心力,据牛顿第二定律有qvB=mv2r,解得粒子第一次通过磁场区时的半径为r=mvqB,圆弧AC所对应的圆心角∠AO' C=60°,经历的时间为Δt=60°360°T,其中T为粒子在匀强磁场中运动的周期,大小为T=2πmqB,与粒子速度大小无关;当粒子速度减小为v3后,根据r=mvqB知其在磁场中的轨道半径变为r3,粒子将从D点射出,根据图中几何关系得圆弧AD所对应的圆心角∠AO″ D=120°,经历的时间为Δt'=120°360°T=2Δt。由此可知选项B正确。
4.如图所示,在第一象限内有垂直纸面向里的匀强磁场(磁场足够大),一对质量和电荷量均相等的正、负电子分别以相同速度沿与x轴成30°角的方向从原点垂直磁场射入,则负电子与正电子在磁场中运动时间之比为(不计正、负电子间的相互作用力)( )
A.1∶3B.2∶1
C.3∶1D.1∶2
答案 D
解析 由T=2πmqB知两个电子的周期相等。正电子从y轴上射出磁场时,根据几何知识得知,速度与y轴的夹角为60°,则正电子速度的偏向角为θ1=120°,其轨迹对应的圆心角也为120°,则正电子在磁场中运动的时间为t1=θ1360°T=120°360°T=13T;同理,知负电子以30°入射,从x轴离开磁场时,速度方向与x轴的夹角为30°,则轨迹对应的圆心角为60°,负电子在磁场中运动的时间为t2=θ2360°T=60°360°T=16T。所以负电子与正电子在磁场中运动的时间之比为t2∶t1=1∶2,选项D正确。
5.如图所示,边长为l的正方形abcd内存在匀强磁场,磁感应强度大小为B,方向垂直于纸面(abcd所在平面)向外。ab边中点有一粒子源O,可向磁场内沿垂直于ab边的方向发射相同的带电粒子(发射速度不相同),带电粒子电荷量为+q、质量为m,重力不计。则从b、c两点射出的粒子的速度大小分别为( )
A.从b点射出的粒子的速度大小为qBl2m
B.从b点射出的粒子的速度大小为qBl4m
C.从c点射出的粒子的速度大小为3qBl2m
D.从c点射出的粒子的速度大小为5qBl4m
答案 BD
解析 从b点和c点射出的带电粒子运动轨迹如图所示,根据几何关系可得Rb=l4
根据洛伦兹力提供向心力可得qvbB=mvb2Rb
解得vb=qBl4m,选项A错误,B正确。
对于从c点射出的带电粒子,根据几何关系可得Rc2=l2+Rc-l22
解得Rc=5l4
根据洛伦兹力提供向心力可得qvcB=mvc2Rc
解得vc=5qBl4m,选项C错误,D正确。
6.如图所示,直角三角形ABC中存在一匀强磁场,比荷相同的两粒子沿AB方向从A点射入磁场,分别从AC边上的P、Q两点射出。下列说法正确的是( )
A.从Q点射出的粒子速度较大
B.从Q点射出的粒子在磁场中运动的周期大
C.从Q点射出的粒子在磁场中运动的时间长
D.两粒子在磁场中运动的时间一样长
答案 AD
解析 粒子运动轨迹如图所示,由几何知识可知,rQ>rP,θP=θQ;粒子在磁场中做圆周运动,洛伦兹力提供向心力,由牛顿第二定律得qvB=mv2r,解得v=qBrm,由于rQ>rP,则vQ>vP,选项A正确。粒子做圆周运动的周期T=2πmqB相同,粒子在磁场中做圆周运动的时间t=θ2πT,由于TQ=TP,θP=θQ,则粒子在磁场中的运动时间相等,选项B、C错误,D正确。
二、非选择题
7.如图所示,一带电微粒质量为m=2.0×10-11 kg、电荷量为q=+1.0×10-5 C,从静止开始经电压为U1=100 V的电场加速后,水平进入两平行金属板间的偏转电场中,微粒射出电场时的偏转角θ=30°,并接着进入一个方向垂直纸面向里、宽度为D=34.6 cm的匀强磁场区域。已知偏转电场中金属板长为l=20 cm,两板间距为d=17.3 cm,重力忽略不计。
(1)求带电微粒进入偏转电场时的速率v1。
(2)求偏转电场中两金属板间的电压U2。
(3)为使带电微粒不会由磁场右边射出,该匀强磁场的磁感应强度B至少是多少?
答案 (1)1.0×104 m/s (2)100 V (3)0.1 T
解析 (1)根据动能定理qU1=12mv12
解得v1=2qU1m=1.0×104 m/s。
(2)带电微粒在偏转电场中只受电场力作用,做类平抛运动。在水平方向微粒做匀速直线运动,水平方向t=lv1
带电微粒在竖直方向做匀加速直线运动,加速度为a,出电场时竖直方向速度为v2
竖直方向a=qEm=qU2dm
v2=at=qU2dm·lv1
由几何关系tan θ=v2v1=qU2ldmv12=U2l2dU1
U2=2dU1ltan θ
代入数据得U2=100 V。
(3)带电微粒进入磁场做匀速圆周运动,洛伦兹力提供向心力,设微粒轨道半径为R。
由几何关系知R+R2=D,得R=2D3
微粒进入磁场时的速度为v'=v1cs30°
由牛顿运动定律及运动学规律qv'B=mv'2R
得B=mv'qR=m23qD·v1cs30°,代入数据解得
B=0.1 T
所以为使带电粒子不射出磁场,磁感应强度B至少为0.1 T