初中数学北师大版（2024）八年级上册（2024）2 一定是直角三角形吗课后练习题

这是一份初中数学北师大版（2024）八年级上册（2024）2 一定是直角三角形吗课后练习题试卷主要包含了等直内接等直模型5，等直+高分线模型10等内容，欢迎下载使用。

TOC \ "1-4" \h \z \u \l "_Tc23281" PAGEREF _Tc23281 \h 1
\l "_Tc201321764" 模型来源 PAGEREF _Tc201321764 \h 1
\l "_Tc201321765" 真题现模型 PAGEREF _Tc201321765 \h 2
\l "_Tc201321766" 提炼模型4
\l "_Tc201321768" 模型运用5
\l "_Tc5153" 模型1.等直内接等直模型5
\l "_Tc31321" 模型2.等直+高分线模型10
\l "_Tc18836" 14
等直内接等直模型主要来源于初中几何教学体系，是等腰直角三角形衍生的重要模型，近年来，一些教育工作者根据几何结构将其命名为等直内接等直模型。该模型通过在等腰直角三角形斜边中点构造新顶点形成嵌套结构，利用中点对称性与直角特性，形成多组线段相等、面积比例关系及特殊角度关系。该模型与“等直角+角分模型”结合后，可扩展至动态旋转问题的快速解题路径，是培养学生几何思维的重要工具。 ‌
（2026八年级上·河南新乡·期末）如图所示，在中，，是边上的中线，点E是边上一动点（不与A、B重合），连结，过点P作的垂线交于点F，连结．有下列四个结论：①； ②是等腰直角三角形； ③； ④．其中一定正确的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】B
【详解】解：∵在中，，是边上的中线，
∴，，，
∴均为等腰直角三角形，，∴，故①正确；
∵，∴，∴，
∵，，∴，
∴，， ∴是等腰直角三角形，故②正确；
∴，故③正确；
∵，∴，当为的中位线时，满足，此时，
∵点E是边上一动点，∴无法确定是否为的中位线，
∴无法判断和的大小关系，故④错误；故选∶B
（2025·安徽六安·一模）如图，在等腰直角中，，平分，交于，且于点，边上的中线交于，连接．则下列结论错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：延长，交于点H，连接，
∵为等腰直角三角形，D为中点，∴；∵平分，∴，
又∵，D为中点，∴，∴，
∴，∴，∴，故A选项正确，不符合题意；
∵，∴，
又∵，∴，
在和中，，∴，∴，
∵平分，∴，∵，∴，
在和中，，∴，
∴，∴，∴，故B选项正确，不符合题意；
∵，，∴，
∴，故C选项错误，符合题意；
∵为等腰直角三角形，D为中点，∴垂直平分，∴，
∴，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴是等腰直角三角形，
∴，∴，∴，故D选项正确，不符合题意；故选：C．
1）等直内接等直模型
条件：已知如图，等腰直角三角形ABC，∠BAC=90°，P为底边BC的中点，且∠EPF=90°。
结论：①PE=PF；②PEF为等腰直角三角形（由①②推得）；③AE=FB或CE=AF；④；
⑤；⑥。
（注意题干中的条件：∠EPF=90°，可以和结论③调换，其他结果依然可以证明的哦！）
证明：∵等腰直角三角形ABC，∠BAC=90°，点是的中点
同理可得：，
，∵AB=AC，∴AE=FB；
又是直角，是等腰直角三角形，同理：易证是等腰直角三角形。
∴AE+AF=FB+AF=AB，∴。
，∴SAEPF=SAEP+SAPF=SAEP+SCPE=SAPC，∴。
∵AE=FB，CE=AF，∠BAC=90°；∴
2）等直+高分线模型
条件：如图，中，，于，平分，且于，与相交于点，是边的中点，连接与相交于点．
结论：①；②；③是等腰三角形；④；⑤．
证明：，，，
，，，
，，，，
在和中，，．
平分，，
∵，，，，，
，，，，
，，，
，是等腰三角形．，，，
平分，点到的距离等于点到的距离，，
∵，∴，∵三角形BDC是等腰直角三角形，∴。
模型1.等直内接等直模型
例1（广东广州·中考真题）如图，在中，，，为边的中点，点，分别在边，上，，则四边形的面积为（ ）
A．18B．C．9D．
【答案】C
【详解】解：连接，如图：∵，，点D是中点，
∴∴，
∴
又∵ ∴故选：C
例2（2026八年级上·山东菏泽·期末）如图，在等腰直角中，，，于点F，点 D，E分别在边上，连接，，下列结论：①；②；③，其中正确的结论的个数有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】D
【详解】解：∵在等腰直角中，，，，
∴，，，∴，故①正确；
∵，∴，∵，∴，
∴，故②正确；，
∵，∴，即，
∴是等腰直角三角形，∴；故③正确；故选D．
例3（2026八年级·河北·培优）如图，在中，，点是的中点，点在射线上运动，，交直线于，连接．在点运动的过程中，下列结论：①；②长度的最小值为2；③当点在之间运动时，四边形的周长和面积保持不变；④．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【详解】解：①连接，如图，∵是等腰直角三角形，，D为的中点，
∴∴
∵∴
∵∴∴又∴
又∴，∴，故①正确；
②设，则，在中，，
∴，
∵∴当时，有最小值为，故②错误；
③∵∴又∴,∴，
∴，
∵，∴，∴
∵点E变化时，也会发生变化，∴四边形的周长会发生变化，故③错误；
④∵，∴在中，，
∴，故④正确，∴正确的结论有2个，故选：B
例4（2026八年级下·山东滨州·期中）如图，在正方形中，点是对角线、的交点，过点作射线、分别交、于点、，且，、交于点，连接，DE．给出下列结论：①；②；③四边形的面积为正方形面积的；④⑤其中正确的为（ ）
A．①②④⑤B．①②③④⑤C．①②③④D．①②③⑤
【答案】D
【详解】解：①在正方形中，，，，
，，，
，，，，
，，故①正确；
②在正方形中，，，，
，，；故②正确；
③由①全等可得四边形的面积与面积相等，
四边形的面积为正方形面积的，故③正确；
④，，四边形为正方形，，，
在中，，，∵不成立 故④不正确；
，，，，，
，，，故⑤正确；
综上所述，正确的是①②③⑤，故选：D．
例5（2026八年级上·山西临汾·期末）综合与实践
问题情景：在数学活动课上，老师提出了这样一个问题：如图，在等腰中，，，点D是的中点，点E是直线上一个动点，过点D作，交直线于点F．
初步探究：（1）如图①，当点E在线段上时，请判断线段，的数量关系：________．
类比探究：（2）如图②，当点E在线段的延长线上时，（1）中的结论是否成立？请说明理由．
拓展延伸：（3）如图③，在四边形中，，平分，以D为顶点作，交于点F，交于点E，若，求四边形的面积．（备注：所对的直角边等于斜边的一半）
【答案】（1）；（2）成立，理由见详解；（3）
【详解】（1）．理由如下∶如图①，连接，

，，是的中点，，，
和是等腰三角形，即，
，，，即，
在和中，，，；
（2）当点E在线段的延长线上时，（1）中的结论仍然成立，
理由如下：如图②，连接，，，是的中点，
，，
和是等腰三角形，即，，
，，，
，，，即，
在和中，，，；
（3）如图③，作于，于，
平分， ，，，
，，，
，，，
，
平分，，，，
，，
，，，
．
模型2.等直+高分线模型
例1（2026八年级上·广东江门·阶段练习）如图，在中，，，平分，与相交于点，，交延长线于，且垂足为，是边的中点，连接与相交于点，则下列结论①；②；③；④；⑤正确的个数（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【详解】解：∵，∴，
∴，∴，
∵，∴，∴，故①正确；
∵平分，∴，∵，
∴，∴，∴，故②正确，连接，

∵，∴，∴，∵，∴，故③错误；
∵，∴，故④正确；作于M．
∵平分，，∴，
∵，且，∴，故⑤错误，
∴正确的有3个；故选：C．
例2（2026七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，等腰直角中，，于D，的平分线分别交、于E、F两点，M为的中点，延长交于点N，连接，，给出下列结论：①；②垂直平分；③是等腰三角形；④；⑤．其中正确的结论有（ ）个．
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B
【详解】解：，，，
∴，，，∴，
平分，∴，∴，
∴，，故①正确；③正确，
为的中点，∴，∴垂直平分；故②正确；
，，，故④错误；
，，，
在和中，，，，
，，故⑤错误，综上所述：其中正确的结论有①②③，共3个，故选：B．
例3（2026八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，于点D，平分，且于点E，与相交于点F，H是边的中点，连接与相交于点G．
(1)求证：；(2)判断的数量关系，并说明理由；(3)若，求的长．
【答案】(1)见解析(2)，见解析(3)3
【详解】（1）解：∵，，∴，∴，
∵，∴，在和中，，，
又，．，，
∴．．
（2）解：由（1）得，∵H是边的中点，∴，∴，
∵平分， ∴，由（1）得，，
∵，∴，
∵，，∴，∴；
（3）解：连接，
∵，H为中点，∴为的垂直平分线，
，，
，，
，，．
例4（2026八年级上·湖北孝感·期中）在中，，，点为上一点，点为上一点，线段，交于点．

(1)若为的角平分线．①如图，已知，求证：；②如图，已知，求证：；(2)如图，若为的中线，且，试探究，，三条线段的数量关系是______（直接写出答案）．
【答案】(1)①见解析②见解析(2)
【详解】（1）①证明：∵为的角平分线， ∴，
∵，∴，
∵，∴，∴，∴，
又∵，∴，∴；
②证明：∵，，∴，∵平分，∴，
∵，，∴（），
∴，，∴垂直平分线段，∴．
（2）解：，，三条线段的数量关系是．如图中，作交的延长线于，∵，，∴，

∵，∴，∴，，
∵，，∴，
∴，∴，故答案为∶．
1．（2026九年级上·四川广元·期末）如图，在等腰中，，于点，将一直角三角尺的直角顶点放在点处，当三角尺绕点顺时针旋转时，两条直角边分别与交于点（点、分别在线段、上，端点除外），连接，则线段与的大小关系式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：∵等腰中，，于点，
∴，，，∴，
∵，∴，∴，∴，故选：．
2．（2026八年级上·四川绵阳·期末）如图，等腰直角中，，于D，的平分线分别交、于E、F两点，M为的中点，延长交于点N，连接，．下列结论：①；②；③是等边三角形；④；⑤．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【详解】解：∵，是等腰直角三角形，，
∴，，，，
∵平分，∴，∴，
∴，∴，故①正确，③错误；
∵M为的中点，∴，故②正确；
∵，∴，∴，
在和中，，∴，∴，故④正确；
∵，，∴，∴，
又∵，∴，∴，
∴，∴，故⑤正确．综上所述，①②④⑤正确，共4个．故选：D．
3．（2026八年级下·江苏苏州·期中）如图，在中，，，点D为边的中点，，将绕点D旋转，它的两边分别交、所在直线于点E、F，有以下4个结论：①；②；③；④当点E、F落在、的延长线上时，，在旋转的过程中上述结论一定成立的有（ ）

A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【详解】解：如图1，连接，，，为中点，

，，，，
，，，，
在和中，，，
，，，，故①正确；
，
如图2，当点、落在、的延长线上时，连接，同理可证，
，故②错误，由，
，，故③正确；
如图2，连接，同理可证：，，

，．故④正确，故选：C．
4．（2026八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，，，D是的中点，点E在上，点F在上，且．给出以下三个结论：（1）；（2）是等腰直角三角形：（3）S四边形CEDF．其中正确的有（ ）
A．3个B．2个C．1个D．0个
【答案】A
【详解】解：∵在中，，，
∴为等腰直角三角形，，∵D是的中点，∴，
根据“三线合一”可知，，，
∴，，∴，
在和中，∴，
∴，，故（1）正确；
∵，∴，
∴是等腰直角三角形，故（2）正确；∵，∴，
∵，∴，故（3）正确；
即：（1），（2），（3）均正确，故选：A．
5．（2026八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，为斜边的中点，在内绕点转动，分别交边，于点，（点不与点，重合），下列说法正确的是（ ）
①；②；③
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【答案】A
【详解】解：①∵，∴△是等腰直角三角形∴∠
∵点D是AB的中点，∴，∠
∵∠∴∠∴∠
在△和△中∴△
∴∴△是等腰直角三角形∴∠，故①正确；
②∵∠∴∠∴∠
在△与△中∴△∴
∵∴，故②正确；③∵△是等腰直角三角形，∴
∵当时，最短，∴
∴即，故③错误；∴综上，正确的是①②，故选：A．
6．（2026八年级上·河南安阳·期中）如图，在中，，平分，于点E，于点D，且与交于点H，于点F，且与交于点G．则下面的结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号有（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④
【答案】B
【详解】解：①∵，∴，
∵，∴，∴，∵，∴，∴①正确；
②∵，，∴，
∴，∴，∴②正确；
③过H作于I，∵平分，，∴，
∵，∴，∴③不正确；
④如图，连接，∵，平分，∴，
∵垂直平分，∴，∴，∴，
∵，∴，∴，∴∴④正确．
∴正确的有：①②④．故选：B．
7．（2026八年级上·湖南衡阳·期末）如图，等腰中，，，于点，的平分线分别交、于、两点，为的中点，的延长线交于点，连接，下列结论：①；②为等腰三角形；③；④，其中正确结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【详解】解：，，，
，，，，
平分，，，
，，，，
在和中，，，，①正确；
，为的中点，为线段的垂直平分线，，②正确；
，，平分，，
在和中，，，，③正确；
在和中，，，，
8．（2026八年级上·黑龙江·期末）如图在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，BE与CD相交于点F，BF=2CE，H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G，下列结论中： ①∠A=67.5°；②DF=AD；③BE=2BG；④DH⊥BC 其中正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【详解】解：∵∠ABC＝45°，CD⊥AB于D，∴△BCD是等腰直角三角形，∴BD＝CD，
∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝22.5°，∴∠A＝67.5°；故①正确；
∵CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，∴∠DBF＋∠A＝90°，∠ACD＋∠A＝90°，∴∠DBF＝∠ACD，
在△BDF与△CDA中，∴△BDF≌△CDA（ASA），∴AD＝DF，故②正确；
∵BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，∴∠ABE＝∠CBE，∠AEB＝∠CEB＝90°，
∴在△ABE与△CBE中，∴△ABE≌△CBE（ASA），∴AE＝CE＝AC，
∵△BCD是等腰直角三角形，H是BC边的中点，∴DH⊥BC，故④正确；∴DH不平行于AC，
∵BH＝CH，∴BG≠EG；∴BE≠2BG，故③错误．故选：C．
9．（2026八年级上·河北保定·期末）如图，一位同学拿了两块同样的含45°的三角尺，即等腰直角MNK，等腰直角ACB做了一个探究活动：将MNK的直角顶点M放在ABC的斜边AB的中点处，设AC＝BC＝a，猜想此时重叠部分四边形CEMF的面积为（ ）
A．a2B．a2C．a2D．a2
【答案】C
【详解】解：连接MC，∵△ACB是等腰直角三角形，M是AB的中点，
∴MC⊥AB，∠ACM=∠BCM=∠B=45°，∴MC=MB，∠BMC=90°，
∵∠EMF=90°=∠BMC，∴∠EMF-∠CME=∠BMC-∠CME，即∠CMF=∠BME，
在△CMF和△BME中，,∴△CMF≌△BME，∴，
∴四边形CEMF的面积 =，故选：C．
10．（山东潍坊·模拟预测）如图，在等腰直角中，，，延长至点D，使得，连接，的中线与交于点F，连接，过点B作交于点G．连接，．则下列说法正确的有（ ）（多选题）
A． B． C．点G为的中点 D．
【答案】BC
【详解】解：∵，是的中线，∴，，
∴，垂直平分，∴，
∵是等腰直角三角形，∴，∴，
∴，∴，故选项B正确；
∵，，∴，，
∵，∴，∴，，
∵是的中线，∴，∵，，∴，故选项A错误；
∵，，∴，故选项D错误；
∵，，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴点G为的中点，故选项C正确；∴说法正确的有，故选：BC．
11．（2026八年级上·福建·期中）如图，在等腰直角中， ，点是的中点，且AC=3，将一块直角三角板的直角顶点放在点处，始终保持该直角三角板的两直角边分别与、相交，交点分别为、，则 ．

【答案】3
【详解】如图，连接CO，

∵在等腰直角△ABC中，∠C=90°，点O是AB的中点，∴CO=AO，∠A=∠OCB=45°，且∠AOC=90°，
∵∠DOE=90°，∴∠AOD+∠DOC=∠DOC+∠COE=90°，∴∠AOD=∠COE，
在△ADO和△COE中∵∠A=∠OCE，AO=CO，∠AOD=∠COE∴△ADO≌△COE(ASA)，
∴AD=CE，∴CD+CE=CD+AD=AC=3，故答案为：3.
10．（2025·遵义·校考一模）如图，在中，，，于点，过点作的平分线分别交，于点，，过点作交的延长线于点，若，则的长为
【答案】8
【详解】如图，连接，在中，，，，
∴，为的垂直平分线，∴.∴.
∵是的平分线，∴，∴.
∵，∴.∴.
∵平分，，∴.∴.
∵，∴.
在和中，，∴.∴.故答案：8．
12．（2026八年级下·山东菏泽·期中）如图，在正方形中，点为对角线的中点，过点的射线，分别交，于点，，且，，交于点，有下面结论：①图形中全等的三角形只有三对；②是等腰直角三角形；③正方形的面积等于四边形面积的倍；④．其中正确结论的个数是 个．

【答案】
【详解】∵四边形是正方形，点为对角线的中点，
∴，，，
在和中，，∴；
在和中，，∴；∴，
∵，，，∴，∴，∴，
∵，，∴，
在和中，，∴；
同理：，∴，∴全等三角形有对，∴①不正确；
∵，∴，∴是等腰直角三角形；∴②正确；
∵，∴四边形的面积为：，∴③正确；
∵，∴，∴，
∵，∴，∴，∴④正确．
∴正确的选项为：②③④，共个．故答案为：．
13．（2026八年级上·湖北·课后作业）如图，在等腰直角中，点是斜边的中点，以点为顶点的直角的两边分别与边，交于点，，连结．试说明是等腰三角形．
【答案】见解析
【详解】解：连结，
点是等腰直角边的中点，即是底边上的中线，
（三线合一）
是等腰直角三角形，即，．
是直角，，即．
在和中，．．是等腰三角形．
14．（2026八年级上·山东滨州·期末）如图所示，直线交轴于点，交轴于点满足．(1)求点、的坐标；(2)如图1，若的坐标为，且于点交于点．①求证：．②试求点的坐标．(3)如图2，若点为的中点，点为轴正半轴上一动点，连接，过作交轴于点，当点在轴正半轴上运动的过程中，式子的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值．
【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为
(2)①见解析；②(3)的值不发生改变，等于4
【详解】（1）解：；
；点的坐标为，点的坐标为；
（2）①证明：点的坐标为，点的坐标为，，
，，，，，
在和中，，；
②解：，，点的坐标为；
（3）解：的值不发生改变，等于4，理由如下：如图，连接，
为的中点，，，
，，，，
在与中，，，
．
15．（2026八年级上·广西南宁·期中）甲、乙两个含角的等腰直角三角尺如图①放置，则有，甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足O处，则有，，现将甲绕点O顺时针旋转一个锐角到图②位置．交于M，交于N．(1)求证：；(2)如图③所示，连结和，请你证明：；
(3)延长分别交，所在直线于点F，G，如图④，猜想并证明与的位置关系．
【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)，证明见解析．
【详解】（1）由题意可得，∴，
∴，
在和中，，∴，∴；
（2）∵，∴，
在和中，，∴，∴；
（3）猜想：；证明如下：∵，∴，
∵在等腰直角三角形中，，∴，∴，
∵，∴，∴，∴．
16．（八年级上·广东东莞·期末）如图，等腰直角中，，，点为上一点，于点，交于点，于点，交于点，连接，．
(1)若，求证：垂直平分；(2)若点在线段上运动．
①请判断与的数量关系，并说明理由；②求证：平分．
【答案】(1)证明见解析(2)①，理由见解析；②证明见解析
【详解】（1）证明：∵，∴，
在和中，，∴，
∴，∴为的垂直平分线；
方法二：∵且，∴BD垂直平分；
（2）解：，理由如下：∵，∴，
∵中，，∴，∴，
∵，∴，
又∵在等腰直角中，，，∴，∴，
在和中，，∴，∴；
②作交BD于点N，∴，∴，
∵，，且，∴，
∵等腰直角中，，，∴，
在和中，，∴，
∴，即是等腰直角三角形，∴，
∵ ∴平分．