初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）18.4 整数指数幂第1课时教学设计及反思

这是一份初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）18.4 整数指数幂第1课时教学设计及反思，共15页。教案主要包含了教学与建议等内容，欢迎下载使用。
教师备课 素材示例
●复习导入 纳米(nm)是一种非常小的长度单位，1 nm＝10-9 m，它表示的含义是什么呢？今天我们就来学习这方面的知识．
1．回忆正整数指数幂的运算性质：
(1)同底数幂的乘法：am·an＝am＋n（m，n都是正整数）；
(2)幂的乘方：(am)n＝amn（m，n都是正整数）；
(3)积的乘方：(ab)n＝anbn（n是正整数）；
(4)同底数幂的除法：am÷an＝am－n（a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）；
(5)分式的乘方： eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,b)))n＝ eq \f(an,bn)（n是正整数）．
2．回忆0指数幂的规定，即当a≠0时，a0＝1.
3．在am÷an中，当m＝n时，产生0次幂，即当a≠0时，a0＝1.
那么当mn）中的m>n这个条件去掉，你有信心解决下面的问题吗？
计算：①22÷25； ②103÷105.
一方面：22÷25＝22-5＝2-3; 103÷105＝103-5＝10-2.
另一方面：22÷25＝ eq \f(22,25)＝ eq \f(1,23)； 103÷105＝ eq \f(103,105)＝ eq \f(1,102) .
则2-3＝ eq \f(1,23) ； 10-2＝ eq \f(1,102) .
由分式的除法约分可知，当a≠0时，a2÷a5＝ eq \f(a2,a5)＝ eq \f(a2,a2·a3)＝ eq \f(1,a3)；a2÷a5＝a2-5＝a-3.
于是得到a-3＝ eq \f(1,a3)(a≠0).
【归纳】一般地，当n是正整数时，a－n＝ eq \f(1,an)(a≠0)，即任何不等于零的数的－n（n为正整数）次幂，等于这个数的n次幂的倒数．
【教学与建议】教学：设置问题让学生独立发现结论并叙述，理解负整数幂的运算性质，明确底数与指数的取值范围．建议：教师提出问题，学生思考后独立解决．经历负整数指数幂的产生过程，加深理解．
· 命题角度1 利用负整数指数幂的运算法则计算
负整数指数幂等于对应的正整数指数幂的倒数，即：a－n＝ eq \f(1,an)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a))) eq \s\up12(n)（a≠0，n是正整数）．
【例1】(1)计算 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(－1)的结果是(D)
A．－2 B．－ eq \f(1,2) C． eq \f(1,2) D．2
(2)计算：① eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3))) eq \s\up12(0)＋(－2)-2＝ eq \f(5,4) ；②(－3ab-1)-2＝ eq \f(b2,9a2) .
· 命题角度2 整数指数幂的运算
综合运用幂的运算法则进行计算，先算乘方，再算乘除，最后算加减，若有括号，应先做括号内的运算．
【例2】(1) eq \r(3,8)－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2))) eq \s\up12(－2)＋（ eq \r(3)＋1）0；
解：原式＝2－4＋1＝－1；
(2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,10))) eq \s\up12(－3)＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,30))) eq \s\up12(－2)×3.14－(－3)3×0.3-1＋(－0.1)-2；
解：原式＝－1 000＋900×3.14＋90＋100＝2 016；
(3)(2ab2c-3)-2÷(a-2b)3.
解：原式＝ eq \f(a4c6,4b7).
· 命题角度3 比较数的大小
熟悉运算法则，利用计算结果比较大小．当底数是分数时，颠倒分子、分母，负指数就可转化为正整数．
【例3】若a＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3))) eq \s\up12(－2)，b＝(－1)-1，c＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2))) eq \s\up12(0)，则a，b，c的大小关系是(B)
A．a>b＝c B．a>c>b C．c>a>b D．b>c>a
高效课堂 教学设计
1．掌握整数指数幂的运算性质．
2．进行简单的整数范围内的幂运算．
▲重点
掌握整数指数幂的运算性质，尤其是负整数指数幂的运算．
▲难点
认识负整数指数幂的产生过程及幂运算法则扩展过程．
◆活动1 新课导入
正整数指数幂的运算性质：
(1)同底数幂的乘法：am·an＝ am＋n （m，n是正整数）；
(2)幂的乘方：(am)n＝ amn （m，n是正整数）；
(3)积的乘方：(ab)n＝ anbn （n是正整数）；
(4)同底数幂的除法：am÷an＝ am－n （a≠0，m，n是正整数，m>n）；
(5)分式的乘方： eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,b))) eq \s\up12(n)＝ eq \f(an,bn) （n是正整数）；
(6)0指数幂：a0＝ 1 (a≠0).
◆活动2 探究新知
1．教材P158 思考．
学生完成并交流展示．
2．计算：a3÷a5.
提出问题：
(1)能否用约分的方法计算a3÷a5？计算得出的结果是什么？
(2)除此之外你还有其他计算方法吗？如果我们把幂的运算性质am÷an＝am－n（a≠0，m，n为正整数，m＞n）中的条件m＞n去掉，运用这个性质计算a3÷a5，你又能得到什么结果呢？
(3)通过上面的探索你能得出什么结论？
学生完成并交流展示．
3．教材P159 思考，教材P160 探究．
提出问题：
(1)正整数指数幂的性质有哪几条？
(2)当幂的指数由正整数扩大到全体整数时，哪几条性质可以合并为一条性质？
(3)整数指数幂的性质可以归纳为哪几条？
学生完成并交流展示．
◆活动3 知识归纳
1．一般地，当n是正整数时，a－n＝ eq \f(1,an) (a≠0)，这就是说，a－n(a≠0)是 an 的倒数．
2．整数指数幂的运算性质：当m，n均为整数时，
(1)am·an＝ am＋n （m，n是正整数）；(2)(am)n＝ amn （m，n是正整数）；
(3)(ab)n＝ anbn （n是正整数）．
◆活动4 例题与练习
例1 教材P160 例1.
例2 计算：
(1)(3x2y-2)-3；
解：原式＝3-3x-6y6＝ eq \f(y6,27x6)；
(2)(2m2n-2)2·3m-3n3；
解：原式＝12mn-1＝ eq \f(12m,n)；
(3)(a2b-3)-2·(a-2b3)2；
解：原式＝a-4b6·a-4b6＝a-8b12＝ eq \f(b12,a8)；
(4)a-2b2·(－2a2b-2)-2÷(a-4b2).
解：原式＝(－2)-2a-2b2·a-4b4·a4b-2＝2-2a-2b4＝ eq \f(b4,4a2).
例3 先化简，再求值： eq \f(x2－4x,x＋3)· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,4－x))) eq \s\up12(－2)÷ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(x＋3,x))) eq \s\up12(－1)，其中x等于它的倒数．
解：原式＝ eq \f(x(x－4),x＋3)· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4－x,x))) eq \s\up12(2)· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(x＋3,x)))＝－ eq \f((x－4)3,x2).
∵x等于它的倒数，∴x＝±1.
当x＝1时，原式＝－ eq \f((x－4)3,x2)＝－ eq \f((1－4)3,12)＝27；
当x＝－1时，原式＝－ eq \f((x－4)3,x2)＝－ eq \f((－1－4)3,(－1)2)＝125.
练习
1．教材P161 练习第1，2题．
2．若式子(x＋3)0－2(3x－6)-3有意义，则x的取值范围是(D)
A．x＞－3 B．x＜2
C．x≠－3或x≠2 D．x≠－3且x≠2
3．计算：
(1)|－3|＋(－1)2 025×(π－3)0－ eq \r(3,27)＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(－2)；
解：原式＝3＋(－1)×1－3＋4＝3；
(2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(－1)－(3.14－π)0＋0.254×44.
解：原式＝2－1＋(0.25×4)4＝2－1＋1＝2.
◆活动5 课堂小结
1．负整数指数幂的运算．
2．整数指数幂的运算．
1．作业布置
(1)教材P162 习题18.4第1，2，3题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思