2027年中考数学一轮复习练习含答案 29.第四章 第22节 基础课 解直角三角形及其应用

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基础巩固
1．(2024天津)2cs45∘-1的值等于( )
A. 0B. 1C. 22-1D. 2-1
2．(2025广西)在Rt△ABC中，∠C=90∘ ，AB=7，AC=3，则sinB=( )
A. 710B. 37C. 310D. 17
3．(2025长春)如图，已知某山峰的海拔高度为m米，一位登山者到达海拔高度为n米的点A处，测得山峰顶端B的仰角为α ，则A，B两点之间的距离为( )
A. (m-n)sinα 米B. m-nsinα米
C. (m-n)csα 米D. m-ncsα米
4．(2025安徽)如图，在△ABC中，∠A=120∘ ，AB=AC，边AC的中点为D，边BC上的点E满足ED⊥AC.若DE=3，则AC的长是( )
A. 43B. 6C. 23D. 3
5．(2025六盘水模拟改编)在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则csA的值是( )
A. 1010B. 13C. 31010D. 103
6．(新考法 真实问题情境)(2025浙江) 无人机警戒在高速公路场景中的应用，是我国低空经济高质量发展的重要实践方向.如图，在高速公路上，交警在A处操控无人机巡查，无人机从点A处飞行到点P处悬停，探测到它的正下方公路上点B处有汽车发生故障.测得A处到P处的距离为500m，从点A观测点P的仰角为α ，csα=0.98，则A处到B处的距离为 m.
7．(2025绥化)如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的斜面坡度i=1:2(斜面坡度是指坡面的铅直高度BC与水平宽度AC的比)，堤坝高BC=15m，则迎水坡面AB的长度是 .
8．(2025湖北省卷)如图，甲、乙两栋楼相距30m，从甲楼A处看乙楼顶部B的仰角为35∘ ，A到地面的距离为18m，求乙楼的高. (参考数据： tan35∘≈0.7)
能力提升
9．(2025烟台)【综合与实践】
烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐落在烟台山上，为过往船只提供导航服务.为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动.
如图，一艘渔船自东向西以每小时10海里的速度向码头A航行，小组同学收集到以下信息：
请根据以上信息，解答下列问题：
(1) 求渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离；
(2) 若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头A(参考数据：sin37∘≈0.60，cs37∘≈0.80，tan37∘≈0.75，sin14∘≈0.24，cs14∘≈0.97，tan14∘≈0.25).
10．(新考法 真实问题情境)(2025湖南省卷) 如图，某处有一个晾衣装置，固定立柱AB和CD分别垂直地面水平线l于点B，D，AB=19分米，CD>AB.在点A，C之间的晾衣绳上有固定挂钩E，AE=13分米，一件连衣裙MN挂在点E处(点M与点E重合)，且直线MN⊥l.
(1) 如图①，当该连衣裙下端点N刚好接触到地面水平线l时，点E到直线AB的距离EG等于12分米，求该连衣裙MN的长度；
(2) 如图②，为避免该连衣裙接触到地面，在另一端固定挂钩F处再挂一条长裤(点F在点E的右侧)，若∠BAE=76.1∘ ，求此时该连衣裙下端N点到地面水平线l的距离约为多少分米？
(结果保留整数，参考数据：sin76.1∘≈0.97，cs76.1∘≈0.24，tan76.1∘≈4.04)
参考答案
1. A 【解析】2cs 45°－1=2×22－1=0.
2. B 【解析】∵∠C=90°，AB=7，AC=3，∴在Rt△ABC中，sin B=ACAB=37.
3. B 【解析】∵依题意，在Rt△ABC中，BC=(m－n)米，∠ACB=90°，∠BAC=α，∴AB=BCsin∠BAC=m－nsinα.
4. B 【解析】由题意易得∠C=30°，∠EDC=90°，∴在Rt△DEC中，CD=DEtan30°=3.又∵D为AC的中点，∴AC=2CD=6.
5. C 【解析】如解图，连接CD，由题意得：AC2=22＋42=20，CD2=12＋12=2，AD2=32＋32=18，∴AD2＋CD2=AC2，∴△ACD是直角三角形，∴∠ADC=90°，∴cs A=ADAC=3225=31010.
解图
6. 490 【解析】在Rt△ABP中，∵∠B=90°，AP=500 m，∠A=α，∴AB=AP∙cs α=500×0.98=490(m)，∴A处到B处的距离为490 m.
7. 153 m 【解析】∵迎水坡AB的斜面坡度i=1∶2，∴BC∶AC=1∶2，∵BC=15 m，∴AC=152 m，由勾股定理，得AB=BC2＋AC2=152＋（152）2=153(m).
8. 解：如解图，由题意得，四边形AEDC为矩形，∠BAC=35°，AE=18 m，DE=30 m，∠ACB=90°，
∴CD=AE=18 m，AC=DE=30 m，
∵在Rt△ABC中，tan∠BAC=BCAC，
∴BC=AC∙tan∠BAC=30×tan 35°≈30×0.7=21 (m)，
∴BD=BC＋CD=21＋18=39 (m)，
答：乙楼的高约为39 m.
解图
9. 解：(1)如解图，过点B作BE⊥AC于点E，
解图
设BE=x，
由题意，得∠EBC=53°，∠EBD=45°，CD=10×12=5，
∴∠C=90°－∠EBC=37°，ED=BE=x，
∴EC=ED＋DC=x＋5，
在Rt△BCE中，EC=BEtanC=xtan37°≈x0.75=43x，
∴43x=x＋5，
解得x=15，
∴渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离为15海里；
(2)如解图，在Rt△ABE中，∠ABE=14°，
由(1)得BE=15，
∴AE=BE∙tan 14°≈15×0.25=3.75，
∴AC=AE＋DE＋DC=3.75＋15＋5=23.75，
∵23.75÷10=2.375小时＜2.5小时，
∴渔船会在17：00前到达码头A，
∵在17：30到夜间码头A附近海域将出现浓雾天气，
∴不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头A.
10. 解：(1)由题可知，在Rt△AGM中，AM=13分米，MG=12分米，AG⊥GM ，
∴AG=132－122=5(分米)，
∵AB=19分米，
∴BG=AB－AG=19－5=14(分米)，
∵MN⊥l，AB⊥l，MG⊥AG，
∴四边形MNBG是矩形，
∴MN=BG=14分米，
∴该连衣裙 MN的长度为14分米；
(2)如解图，过点M作MK⊥AB于点K，
解图
∵在Rt△AKM 中AM=13分米，∠BAM=76.1°，AK⊥KM，
∴AK=AM∙cs 76.1°≈13×0.24=3.12(分米)，
∵AB=19分米，
∴BK=AB－AK=15.88(分米)，
∴BK－MN≈2(分米)，
∴此时该连衣裙下端N点到地面水平线l的距离约为2分米.
位置信息
码头A在灯塔B北偏西14∘ 方向
14：30时，渔船航行至灯塔B北偏东53∘ 方向的C处
15：00时，渔船航行至灯塔B东北方向的D处
天气预警
受暖湿气流影响，今天17：30到夜间，码头A附近海域将出现浓雾天气.请注意防范.