2027年中考数学一轮复习练习含答案 33.第五章 第25节 基础课 正方形与中点四边形

这是一份2027年中考数学一轮复习练习含答案 33.第五章 第25节 基础课 正方形与中点四边形试卷主要包含了【问题背景】等内容，欢迎下载使用。
基础巩固
1．(人教八下思考改编)下列关于正方形判定的说法中不正确的是( )
A. 一组邻边相等的矩形是正方形
B. 对角线互相垂直的矩形是正方形
C. 对角线相等的菱形是正方形
D. 有一个角是直角的平行四边形是正方形
2．如图，四边形ABCD是正方形，点E在正方形对角线AC上，已知CE=CD，则∠AED的度数为( )
A. 105.5∘B. 112.5∘C. 115∘D. 120∘
3．(北师九上习题改编)如图，是某风筝的示意图，取四边形ABCD各边的中点并顺次连接得到四边形EFGH，若四边形EFGH是矩形，四边形ABCD一定满足的条件是( )
A. AB⊥BCB. AB=CDC. AC⊥BDD. AC=BD
4． 如图，将一个大正方形分成2个矩形和2个正方形，分别标为①，④和②，③，其中③，④两个部分已标注面积，则正方形②的边长为( )
A. bB. 2bC. 4b2D. 2a
5．如图，边长为2的正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E是BC边上一点，F是BD上一点，连接DE，EF.若△DEF与△DEC关于直线DE对称，则OF的长为( )
A. 22B. 22−2C. 2−2D. 2−1
6．(2024陕西)如图，正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上，AF与DC交于点H.若AB=6，CE=2，则DH的长为( )
A. 2B. 3C. 52D. 83
7．(2024兰州)如图，四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形，EF⊥AB于点F，若AD=4，则EF= .
8．(2024福建)如图，正方形ABCD的面积为4，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，AD的中点，则四边形EFGH的面积为 .
9．(2025浙江)【问题背景】
如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板ABCD上剪下机翼状纸板(阴影部分)，点E在对角线BD上.
【数学理解】
(1) 该机翼状纸板是由两个全等三角形组成，请写出△ABE≌△CBE的证明过程.
(2)若裁剪过程中满足DE=DA，求“机翼角”∠BAE的度数.
10．(2025广安改编)如图，B，D是菱形AECF对角线EF所在直线上两点，且BE=DF，连接AB，BC，CD，AD，∠ABC=90∘ .
(1) 求证：四边形ABCD是正方形；
(2)若菱形AECF的周长为410，且BE=2，求四边形ABCD的边长.
能力提升
11．(2025自贡)如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的边长为5，AB边在y轴上，B(0,−2).若将正方形ABCD绕点O逆时针旋转90∘ ，得到正方形A'B'C'D'，则点D'的坐标为( )
A. (−3,5)B. (5,−3)C. (−2,5)D. (5,−2)
12．(2025北京)如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，CF⊥BE，垂足为F，若AB=1，∠EBC=30∘ ，则△ABF的面积为 .
13．(新考法 解题策略开放)(2025白云区模拟) 如图，在正方形ABCD中，E，F分别为BC和CD上的点，AE与BF交于点G，现提供三个关系：①BE=CF；②AE=BF；③AE⊥BF.
(1) 从三个关系中选择一个作为条件，剩下的两个作为结论，形成一个真命题，写出所有的真命题；
(2)选择其中的一个真命题进行证明.
参考答案
1. D 【解析】A.一组邻边相等的矩形是正方形，正确，不符合题意；B.对角线互相垂直的矩形是正方形，正确，不符合题意；C.对角线相等的菱形是正方形，正确，不符合题意；D.一个角是直角的平行四边形是正方形，错误，符合题意.应该是一个角是直角的菱形是正方形.
2. B 【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACD=45°，∵CE=CD，∴∠CED=∠CDE=12×(180°－45°)=67.5°，∴∠AED=180°－67.5°=112.5°.
3. C 【解析】∵点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点，∴根据三角形中位线定理得EH∥BD∥FG，EF∥AC∥HG，∴四边形EFGH是平行四边形.∵四边形EFGH是矩形，即EF⊥FG，∴AC⊥BD.
4. B 【解析】∵正方形③的面积是a2，∴正方形③的边长是a，∴与之相邻的矩形④的长边的长也为a，∵矩形④的面积是2ab，∴矩形④的短边的长为2b，∴与之相邻的正方形②的边长也为2b.
5. C 【解析】∵四边形ABCD是正方形，DC=2，∴DB=2DC=22，OD=OB，∴OD=2，∵△DEF与△DEC关于直线DE对称，∴DF=DC=2，∴OF=DF－OD=2－2.
6. B 【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴AD=DC=AB=6，AD∥BE，∵四边形CEFG是正方形，∴FG=CG=CE=2，GF∥CE，∴DG=DC－CG=4，AD∥GF，∴△ADH∽△FGH，∴DHGH=ADFG=62=3，∴DH=3GH，∴DH=34DG=3.
7. 2 【解析】∵四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形，∴∠EAF=∠BAD－∠EAD=90°－60°=30°，AE=AD=4，∵EF⊥AB，∴∠AFE=90°，∴EF=12AE=2.
8. 2 【解析】∵正方形ABCD的面积为4，∴其边长为2，即AB=BC=2，∵点E，F分别为边AB，BC的中点，∴BE=BF=1，∴S△BEF=12BE∙BF=12，同理S△AEH=S△DGH=S△CFG=12，∴S四边形EFGH=S正方形ABCD－4S△BEF=2.
9. (1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CB，∠ABD=∠CBD，
又∵BE=BE，
∴△ABE≌△CBE(SAS)；
(2)∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，∠ADB=45°，
∵DE=DA，
∴∠DAE=∠DEA，
∴∠DAE＋∠DEA＋∠ADE=180°，
∴∠DAE=∠DEA=67.5°，
∴∠BAE=∠BAD－∠DAE=22.5°.
10. (1)证明：如解图，连接AC交BD于点O，
∵四边形AECF是菱形，
∴AE=CE=CF=AF，∠AFE=∠CEF，
∴∠AFD=180°－∠AFE=180°－∠CEF=∠CEB，
又∵BE=DF，
∴△AFD≌△CEB(SAS)，
∴AD=BC，∠ADF=∠CBE，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵菱形AECF中，AC⊥EF，即AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，
又∵∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是正方形；
解图
(2)∵菱形AECF的周长=4AE=410，
∴AE=10，
设OA=OB=x，则OE=x－2，
在Rt△AOE中，OA2＋OE2=AE2，
∴x2＋(x－2)2=(10)2，
∴x1=3，x2=－1(舍去)，
∴OA=OB=3，
∴AB=2OA=32，
∴正方形ABCD的边长为32.
11. A 【解析】∵正方形ABCD的边长为5，AB边在y轴上，将正方形ABCD绕点O逆时针旋转90°，得到正方形A′B′C′D′，B(0，－2)，∴AB=BC=A′B′=B′C′=C′D′=5，OB=OB′=2，A′B′在x轴上，A′B′∥C′D′，∴B′(2，0)，C′(2，5)，∴D′(－3，5).
12. 38 【解析】如解图，过点F作FN∥BC交AB于点N，∵四边形ABCD是正方形，∠EBC=30°，CF⊥BE，∴BC=AB=1，∴在Rt△BFC中，BF=BC∙cs∠FBC=1×cs 30°=32，∵FN∥BC，∴∠FNB=180°－∠ABC=90°，∠NFB=∠EBC=30°，∴在Rt△BNF中，NF=BF∙cs∠NFB=32×cs 30°=34，∴S△ABF=12AB∙NF=12×1×34=38.
解图
13. (1)解：命题一：若①BE=CF，则②AE=BF，③AE⊥BF；
命题二：若②AE=BF，则①BE=CF，③AE⊥BF；
命题三：若③AE⊥BF，则①BE=CF，②AE=BF.
(2)证明：选择命题一
由正方形的性质，得AB=BC，∠ABE=∠C=90°
∵BE=CF，
∴△ABE≌△BCF(SAS)，
∴AE=BF，∠BAE=∠CBF，
∵∠BAE＋∠AEB=90°，
∴∠CBF＋∠AEB=90°，
∴∠BGE=90°，
∴AE⊥BF.
(三个命题任意选择一个证明即可)