2027年中考数学一轮复习练习含答案 27.第四章 微专题6 半角模型

这是一份2027年中考数学一轮复习练习含答案 27.第四章 微专题6 半角模型试卷主要包含了探究发现等内容，欢迎下载使用。
1．如图，△ABC和△AGF为两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠AGF=90∘ ，AF，AG分别交BC于点D，E，若BD=3，CE=4，则DE的长为 .
2．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120∘ ，点D，E在边BC上，且∠DAE=60∘ .若BD=2，BC=32，则DE的长为 .
3．如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点E，F分别在边BC，DC上，且∠EAF=45∘ ，若BE=1，求DF的长.
4．探究发现
(1) 如图①，在四边形ABCD中，AB=AD，点E，F分别是BC，CD上的点，连接AE，EF，AF，∠B+∠D=180∘ ，且∠EAF=12∠BAD，探究BE，EF，DF之间的数量关系，并证明；
拓展应用
(2) 如图②，在正方形ABCD中，AB=6，M为BC延长线上一点，且CM=12BC，N为AB上一点，连接DM，连接NC并延长交DM的延长线于点G，若∠G=45∘ ，求△NBC的面积.
参考答案
1. 5 【解析】如解图，将△ABD绕点A逆时针旋转90°，使得AB与AC重合，得到△ACD′，连接D′E，则∠ACD′=∠B=45°，∠CAD′=∠BAD，AD′=AD，BD=CD′=3，∴∠EAD′=∠EAC＋∠CAD′=∠EAC＋∠BAD=90°－∠DAE=45°，∴∠DAE=∠D′AE，又∵AE=AE，∴△DAE≌△D′AE(SAS)，∴DE=D′E.∵∠BCD′=∠ACB＋∠ACD′=90°，∴△ECD′是直角三角形，∴D′E=CE2＋CD'2=42＋32=5，∴DE=5.
解图
2. 2 【解析】如解图，将△ABD绕点A逆时针旋转120°，得到△ACD′，连接D′E，由旋转知△ABD≌△ACD′，∴D′C=BD=2，由半角模型得∠ECD′=60°，过点D′作D′G⊥BC于点G，∴GC=12D′C=22，D′G=D'C2－GC2=62，∴EG=BC－BD－DE－CG=32－2－DE－22=322－DE，由半角模型得△ADE≌△AD′E，∴DE=D′E，在Rt△D′EG中，由勾股定理得D′G2＋EG2=D′E2，∴(62)2＋(322－DE)2=DE2，解得DE=2.
解图
3. 解：如解图，延长AB至P，使BP=BE=1，过点P作BC的平行线交DC的延长线于点Q，延长AE交PQ于点R，连接RF，
解图
则易得四边形APQD是正方形，
∴PQ=DQ=AP=AB＋BP=4，
设DF=x，则FQ=4－x，
∵PQ∥BC，
∴△ABE∽△APR，
∴BEPR=ABAP=34，
∴PR=43BE=43，
∴RQ=PQ－PR=4－43=83，
如解图，将△APR绕点A逆时针旋转90°，得到△ADR′，
∴△APR≌△ADR′，
∴∠ADR′=∠APR=∠ADF=90°，∠PAR=∠DAR′，AR=AR′，PR=DR′，
∴F，D，R′三点共线，
∵∠EAF=45°，
∴∠FAR′=∠DAR′＋∠DAF=∠BAE＋∠DAF=90°－45°=45°=∠EAF，
∵AF=AF，AR=AR′，
∴△ARF≌△AR′F，
∴RF=R′F=DF＋DR′=PR＋DF=43＋x，
在Rt△QRF中，由勾股定理得，(83)2＋(4－x)2=(43＋x)2，
解得x=2，
即DF的长是2.
4. 解：(1)EF=BE＋DF；
证明：如解图①，将△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG的位置，使AB与AD重合.
则∠ADG=∠B，DG=BE，AG=AE，∠BAE=∠DAG，
∵∠B＋∠ADC=180°，
∴∠ADG＋∠ADC=180°，
∴C，D，G三点共线.
∵∠FAD＋∠DAG=∠FAD＋∠BAE=∠BAD－∠EAF=12∠BAD，
∴∠FAG=∠EAF，
又∵AF=AF，
∴△AEF≌△AGF(SAS)，
∴EF=GF，
又∵FG=DG＋DF，
∴EF=BE＋DF；
解图①
(2)如解图②，过点C作CH∥DG交AD于点H，连接NH，易得HD=CM=12AD，
∵CH∥DG，∠G=45°，
∴∠HCN=45°，
同(1)可证得NH=NB＋HD，
∵四边形ABCD是正方形，AB=6，
∴AH=DH=12AD=12AB=3，
设BN=y，则AN=6－y，NH=3＋y，
在Rt△ANH中，NH2=AN2＋AH2，即(3＋y)2=(6－y)2＋32，
解得y=2，即BN=2，
∴S△NBC=12BN∙BC=12×2×6=6.
解图②