2027年中考数学一轮复习练习含答案 20.第四章 第19节 基础课 特殊三角形及其性质

这是一份2027年中考数学一轮复习练习含答案 20.第四章 第19节 基础课 特殊三角形及其性质
1．(北师八下练习改编)已知等腰三角形顶角的度数为30∘ ，则其中一个底角的度数为( )
A. 60∘B. 65∘C. 70∘D. 75∘
2．(人教八上习题改编)如图，在△ABC中，AB=AC=13，AD平分∠BAC交BC于点D，若BD=5，则AD=( )
A. 10B. 12C. 5D. 6
3．(人教八上习题改编)一个等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为( )
A. 7B. 9C. 12D. 9或12
4．(人教八上习题改编)如图，在等腰△ABC中，AC=BC，D是AB边上的中点，DE//AC，交BC于点E.若∠A=40∘ ，连接CD，则∠CDE的度数是( )
A. 40∘B. 35∘C. 50∘D. 45∘
5．(2025达州)如图，在△ABC中，AB=AC=8，BC=5，线段AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点D，则△BDC的周长为( )
A. 21B. 14C. 13D. 9
6．(2024安徽)如图，在Rt△ABC中，AC=BC=2，点D在AB的延长线上，且CD=AB，则BD的长是( )
A. 10-2B. 6-2C. 22-2D. 22-6
7．(2025陕西)如图，在△ABC中，∠ACB=90∘ ，∠A=20∘ ，CD为AB边上的中线，DE⊥AC，则图中与∠A互余的角共有( )
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
8．(2025南明区模拟)用一根长12cm的铁丝围成一个等边三角形，那么这个等边三角形的边长为 cm.
9．(2025连云港)如图，长为3m的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为1.8m，则梯子顶端的高度h为 m.
10．(2025福建)某房梁如图所示，立柱AD⊥BC，E，F分别是斜梁AB，AC的中点.若AB=AC=8m，则DE的长为_ _ _ _ m.
11．(2025扬州)如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，BC的中点，点F在线段DE的延长线上，且∠BFC=90∘ .若AC=4，BC=8，则DF的长是 .
12．(2024重庆B卷)如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36∘ ，BD平分∠ABC交AC于点D.若BC=2，则AD的长度为 .
13．(人教八上习题改编)如图，在△ABC中，AB=9，AC=12，BC=15.
(1) 求证：△ABC是直角三角形；
(2) 若P为线段AC上一点，连接BP，且BP=CP，求AP的长.
能力提升
14．(2025广西) 如图， 点A，D在BC同侧，AB=BC=CA=2，BD=CD=2，则AD= .
15．(2025毕节模拟)如图，△ABC是等边三角形，D是BC延长线上一点，DE⊥AB于点E，EF⊥BC于点F.若CD=3AE，CF=6，则AC的长为 .
16．(2025云岩区模拟)如图，在△ABC中，AB=AC，D，E分别是BC，AC的中点，连接DE，延长BC至点F，使CF=DE，连接EF.
(1) 求证：△EDC是等腰三角形；
(2) 已知∠A=40∘ ，求∠F的度数.
参考答案
1. D
2. B 【解析】∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，∵BD=5，∴由勾股定理得AD=12.
3. C 【解析】当腰为5时，周长为5＋5＋2=12；当腰长为2时，根据三角形三边关系可知此情况不成立，∴这个三角形的周长为12.
4. C 【解析】∵AC=BC，∠A=40°，∴∠B=∠A=40°，∴∠ACB=100°，∵D是AB边上的中点，∴∠ACD=12∠ACB=12×100°=50°，∵DE∥AC，∴∠CDE=∠ACD=50°.
5. C 【解析】∵DE垂直平分线段AB，∴BD=AD，∴△BDC的周长为BC＋DB＋CD=BC＋AD＋CD=BC＋AC=5＋8=13.
6. B 【解析】如解图，过点C作CE⊥AB于点E，∵在Rt△ABC中，AC=BC=2，∴AB=2AC=22，CE=BE=AE=22AC=2，∵CD=AB=22，∠CED=90°，∴在Rt△CED中，DE=CD2－CE2=（22）2－（2）2=6，∴BD=DE－BE=6－2.
解图
7. C 【解析】∵∠ACB=90°，∴∠A＋∠B=90°，即∠A与∠B互余，∵DE⊥AC，∴∠AED=90°，∴∠A＋∠ADE=90°，即∠A与∠ADE互余，DE∥BC，∵CD为AB边上的中线，∴AD=BD=CD，∵DE⊥AC，∴∠CDE=∠ADE，即∠A与∠CDE互余，∵DE∥BC，∴∠CDE=∠DCB，即∠A与∠DCB互余，综上所述，与∠A互余的角有∠B，∠ADE，∠CDE，∠DCB，共4个.
8. 4
9. 2.4 【解析】根据勾股定理，得h=32－1.82=2.4(m).
10. 4 【解析】∵AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∵E是AB的中点，∴DE=12AB=12×8=4(m).
一题多解法
∵AD⊥BC， AB=AC=8 m，∴D是BC 的中点，∵E是AB的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=12AC=4(m).
11. 6 【解析】∵在△ABC中，点D，E分别是边AB，BC的中点，AC=4，∴DE=12AC=2，∵∠BFC=90°，BC=8，∴EF=12BC=4，∴DF=DE＋EF=6.
12. 2 【解析】∵在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，∴∠C=∠ABC=180°－∠A2=72°.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=12∠ABC=36°，∴∠A=∠ABD，∠BDC=∠A＋∠ABD=72°=∠C，∴AD=BD，BD=BC，∴AD=BC=2.
13. (1)证明：∵在△ABC中，AB=9，AC=12，BC=15，
∴AB2＋AC2=92＋122=225，BC2=152=225，
∴AB2＋AC2=BC2，
∴△ABC是直角三角形；
(2)解：由(1)得∠A=90°，
设AP=x，则BP=CP=12－x，
由勾股定理，得AB2＋AP2=BP2，即92＋x2=(12－x)2，
解得x=218，
∴AP的长为218.
14. 3－1 【解析】如解图，过点D作DH⊥BC于点H，∵BD=CD，∴H为BC的中点，∴BH=12BC=1，∵AB=AC，BD=CD，∴A，D，H三点均在BC的垂直平分线上，∴A，D，H三点共线，∴DH=BD2－BH2=1，AH=AB2－BH2=3，∴AD=AH－DH=3－1.
解图
15. 10 【解析】如解图，记AC与DE相交于点G，∵△ABC为等边三角形，∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠ACB=60°，∵DE⊥AB，∴∠AGE=30°，∴∠CGD=30°，∵∠ACB=∠CGD＋∠D，∴∠D=30°，∴CG=CD，设AE=x，则CD=CG=3x，在Rt△AEG中，AG=2AE=2x，∴AB=BC=AC=AG＋CG=5x，∴BE=4x，BF=5x－6，在Rt△BEF中，∠BEF=180°－90°－60°=30°，∴BE=2BF，即4x=2(5x－6)，解得x=2，∴AC=5x=10.
解图
16. (1)证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵D，E分别是BC，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，
∴∠B=∠CDE，
∴∠CDE=∠ACB，
∴CE=DE，
∴△EDC是等腰三角形；
(2)解：∵AB=AC，∠A=40°，
∴∠B=∠ACB=180°－40°2=70°，
由(1)知CE=DE，
∵CF=DE，
∴CF=CE，
∴∠CEF=∠F，
∵∠ACB=∠CEF＋∠F=2∠F=70°，
∴∠F=35°.