2027年中考数学一轮复习练习含答案 30.第四章 微专题8 三角形可解性

这是一份2027年中考数学一轮复习练习含答案 30.第四章 微专题8 三角形可解性
1．(新人教八上习题改编)如图，在△ABC中，∠B=45∘ ，BC=3，tanC=12，求中线AD的长.
2．如图，在△ABC中，∠B=135∘ ，AB=22，BC=1，求△ABC的面积和AC的长.
3．如图，在Rt△ABC中，∠C=30∘ ，∠B=90∘ ，D为BC边上一点，连接AD，若∠BAD=15∘ ，AC=2，求BD的长.
4．如图，在小山的东侧A点有一个热气球，受西风的影响，以20m/min的速度沿与地面成75∘ 角的方向斜向上飞行，15min后到达点C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30∘ ，求小山东西两侧A，B两点间的距离.
5．(新人教八上习题改编)如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=120∘ ，E是AC边的中点，求sin∠EBC的值.
6．某校数学兴趣小组开展“利用影子测量物体的高度”的活动：如图，直立于地面上的电线杆AB，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC，CD，测得BC=5米，CD=4米，∠BCD=150∘ ，在D处测得电线杆顶端A的仰角为45∘ ，求电线杆AB的高度.(结果保留根号)
7．如图，在Rt△ABC中，∠A=90∘ ，AB=4，点D是AC边上一点，AD=2，连接BD，∠CBD=45∘ ，求AC的长.
8．图①是某城建部门正在维修路灯的实物图片，可抽象为如图②所示的几何图形，经测量，路灯AB和汽车折臂升降机的折臂底座CD都垂直于地面MN，且它们之间的水平距离BC=3m，折臂底座高CD=3m，上折臂AE与下折臂DE的夹角∠AED=85∘ ，下折臂DE与折臂底座的夹角∠CDE=135∘ ，下折臂端点E到地面MN距离是6m.(参考数据：sin40∘≈0.643，cs40∘≈0.766，tan40∘≈0.839)
(1) 求下折臂DE的长；
(2) 求路灯AB的高.(结果精确到0.1m)
参考答案
1. 解：如解图，过点A作AE⊥BC于点E，
设AE=x，
在Rt△ABE中，∠B=45°，
∴BE=AE=x，
在Rt△AEC中，tan C=12，
∴AECE=12，
∴CE=2AE=2x，
∴BC=BE＋CE，∴x＋2x=3，
解得x=1，∴AE=BE=1，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD=12BC=1.5，
∴DE=BD－BE=1.5－1=0.5，
在Rt△ADE中，AD=AE2＋DE2=52.
解图
2. 解：如解图，过点A作AD⊥BC，交CB延长线于点D，
∵∠ABC=135°，
∴∠ABD=45°，
在Rt△ABD中，AB=22，∠ABD=45°，
∴AD=AB∙sin 45°=2，
∴△ABC的面积=12×BC×AD=1；
∵∠ABD=45°，∠D=90°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∵AD=2，
∴DB=2，∴DC=DB＋BC=2＋1=3，
在Rt△ACD中，AC=AD2＋DC2=13.
解图
3. 解：如解图，作AD的垂直平分线交AB于点E，连接DE，则AE=DE，
∵∠BAD=15°，AE=DE，
∴∠DEB=2∠BAD=30°，
∵∠B=90°，
∴AE=DE=2BD，EB=3BD，
∴AB=(2＋3)BD，
∵△ABC为直角三角形，∠C=30°，AC=2，
∴AB=1，
∴1=(2＋3)BD，解得BD=2－3.
解图
4. 解：如解图，过点A作AD⊥BC于点D，
解图
∵∠ACD=75°－30°=45°，AC=20×15=300(m)，
∴AD=AC∙sin 45°=300×22=1502(m)，
∵∠B=30°，
∴AB=2AD=3002 m.
5. 解：如解图，分别过点A，E作AD⊥BC，EF⊥BC交BC于点D，F，
设CE=2a，
∵E是AC边的中点，∴AC=AB=4a，
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴BD=CD，∠C=180°－∠BAC2=180°－120°2=30°，
∴FC=EC∙cs 30°=3a，DC=AC∙cs 30°=23a，EF=EC∙sin 30°=a，
∴BF=BC－CF=2DC－CF=33a，
根据勾股定理可得，BE=BF2＋EF2=27a，
∴sin∠EBC=EFBE=a27a=714.
解图
6. 解：如解图，延长AD交BC的延长线于点E，过点D作DF⊥BE于点F，
∵∠BCD=150°，
∴∠DCF=30°，
∵CD=4米，
∴DF=2米，
∴CF=CD2－DF2=23(米)，
由题意得∠E=45°，
∴EF=DF=2米，
∴BE=BC＋CF＋EF=5＋23＋2=(7＋23)米，
∴AB=BE=(7＋23) 米.
解图
7. 解：如解图，过点C作BD的垂线，交BD延长线于点E，
∵∠A=90°，∠ADB=∠EDC，
∴△ABD∽△ECD，
∴ABAD=ECED，即42=ECED，
∴EC=2ED，
在Rt△ABD中，由勾股定理得BD=AD2＋AB2=25，
设ED=x，则EC=2x，
∵∠CBD=45°，CE⊥BE，
∴△BCE是等腰直角三角形，
∴EC=EB，即2x=x＋25，
解得x=25，
在Rt△CDE中，由勾股定理得CD=CE2＋DE2=10，
∴AC=AD＋CD=2＋10=12.
解图
8. 解：(1)如解图，过点E作EG⊥MN于点G，过点D作DH⊥EG于点H，
则∠HGC=∠DCG=∠GHD=90°，
∴四边形HGCD是矩形，
∴HG=DC=3 m，∠HDC=90°，
∵∠CDE=135°，
∴∠EDH=∠EDC－∠HDC=45°，
∴△EDH为等腰直角三角形，HE=HD，
∴EH=HD=EG－HG=3 m，
∴DE=EH2＋HD2=2EH=32 m；
解图
(2)如解图，过点E作EK⊥AB，垂足为K，
则EK∥HD，
∴∠KED=∠EDH=45°.
∵∠AED=85°，
∴∠AEK=∠AED－∠KED=40°.
∵GC=HD=3 m，BC=3 m，
∴BG=BC＋CG=3＋3=6(m)，
同理可得四边形EGBK是矩形，
∴EK=BG=6 m，KB=EG=6 m，
∴tan 40°=AKEK≈0.839，
∴AK≈6×0.839=5.034(m)，
∴AB=KB＋AK≈11.0(m)，
答：路灯AB的高约为11.0 m.