第21章 四边形 章末复习 第2课时 教案 （新教材）初中数学人教版八年级下册（2024）

这是一份第21章 四边形 章末复习 第2课时 教案 （新教材）初中数学人教版八年级下册（2024），共12页。
第二十一章 四边形 章末复习第2课时教学目标1．理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念及它们之间的联系与区别，发展几何直观和空间观念．2．掌握特殊的平行四边形的性质定理和判定定理，能综合运用相关知识解决几何问题，提升推理能力，增强应用意识．教学重点1．理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念及它们之间的关系．2．综合运用矩形、菱形、正方形的性质定理与判定定理解决几何问题．教学难点综合运用矩形、菱形、正方形的性质定理与判定定理解决几何问题．教学过程 复习导入 请你带着下面的问题，进入本章的复习吧！1．四边形、多边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形是本章主要研究的几何图形，画出表示它们的图形，并用框图表示它们之间的关系．2．矩形、菱形、正方形除了具有平行四边形的性质，分别还具有哪些性质？你知道如何判定一个四边形是矩形、菱形、正方形吗？你能总结一下研究这些图形的性质和判定的方法吗？【设计意图】以问题串的形式创设情境，引导学生系统回顾本章知识内容，形成对四边形知识体系的整体认知． 要点复习 【要点一】矩形的性质与判定知识点1　矩形的定义有一个角是直角的平行四边形叫作矩形，矩形也就是长方形．如图，记作矩形ABCD．知识点2　矩形的性质1．矩形具有平行四边形的所有性质．2．矩形的四个角都是直角．3．矩形的对角线相等．4．矩形是轴对称图形，每组对边中点连线所在的直线是它的对称轴，矩形有两条对称轴．知识点3　直角三角形的重要性质直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．知识点4　矩形的判定1．有三个角是直角的四边形是矩形．2．有一个角是直角的平行四边形是矩形．3．对角线相等的平行四边形是矩形．【例1】如图，矩形ABCD中，AC，BD交于点O，M，N分别为BC，OC的中点．若 MN＝4，则AC的长为 ．【答案】16【解析】∵ M，N分别为BC，OC的中点，∴ MN是△COB的中位线，∴ BO＝2MN＝2×4＝8．∵ 四边形ABCD是矩形，∴ AC＝BD＝2BO＝16．【例2】如图，点O是矩形ABCD对角线AC的中点，已知OM∥AB交AD于点M，OM＝3，BC＝10，则OB的长为（ ） A．5 B．4 C． D．【答案】D【解析】连接OD．∵ 点O是矩形ABCD对角线AC的中点，∴ OA＝OC，∠ADC＝90°，OD＝AC＝OA．∴ △AOD是等腰三角形．∵ 四边形ABCD是矩形，∴ CD∥AB．又 OM∥AB，∴ OM∥CD，∴ ∠ADC＝∠AMO＝90°．∴ AM＝DM．∴ OM是△ADC的中位线．∵ OM＝3，∴ CD＝6．∵ AD＝BC＝10，∴ AC＝＝，∴ BO＝AC＝．【例3】如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点E处，BE与AD交于点F．（1）求证：△ABF≌△EDF；（2）若AB＝6，BC＝8，求AF的长．【答案】（1）证明：在矩形ABCD中，AB＝CD，∠A＝∠C＝90°．由折叠得ED＝CD，∠E＝∠C＝90°，∴ AB＝ED，∠A＝∠E＝90°．在△ABF和△EDF中，∴ △ABF≌△EDF（AAS）．（2）解：∵ △ABF≌△EDF，∴ BF＝DF．设AF＝x，则BF＝DF＝8－x，在Rt△ABF中，由勾股定理，得BF2＝AB2＋AF2，即(8－x)2＝62＋x2，解得x＝，即AF＝．【归纳】解决矩形折叠问题的方法．（1）利用折叠的性质：折痕两侧的对应部分能够完全重合，折痕两侧的对应线段相等，对应角相等．（2）此类问题往往通过折叠将对应线段或对应角转换到同一个直角三角形中，利用直角三角形的相关性质来解决．【例4】如图，在△ABC中，AB＝AC．将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，其中点E在边BC上，DE与AC相交于点O．（1）求证：△OEC为等腰三角形；（2）连接AE，DC，AD，试证明：当点E在BC中点时，四边形AECD是矩形．【答案】证明：（1）∵ AB＝AC，∴ ∠B＝∠ACB．∵ △ABC平移得到△DEF，∴ AB∥DE，∴ ∠B＝∠DEC，∴ ∠ACB＝∠DEC，∴ OE＝OC，∴ △OEC为等腰三角形．（2）∵ AB＝AC，E为BC的中点，∴ AE⊥BC，BE＝EC．∵ △ABC平移得到△DEF，∴ BE∥AD，BE＝AD，∴ AD∥EC，AD＝EC，∴ 四边形AECD是平行四边形．又 AE⊥BC，∴ 四边形AECD是矩形．【设计意图】通过知识梳理和例题分析，帮助学生巩固对矩形的性质定理和判定定理的理解，提升推理和运算能力．【要点二】菱形的性质与判定知识点1　菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形．如图，记作菱形ABCD．知识点2　菱形的性质1．菱形的四条边都相等．2．菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．3．菱形是轴对称图形，它的每条对角线所在的直线就是它的对称轴．知识点3　菱形的判定1．四条边相等的四边形是菱形．2．有一组邻边相等的平行四边形是菱形．3．对角线互相垂直的平行四边形是菱形．知识点4　菱形面积的计算1．菱形的面积＝底×高，即S菱形ABCD＝CD·BE．2．菱形的面积＝对角线乘积的一半，即S菱形ABCD＝AC·BD．【例1】如图，BD是菱形ABCD的一条对角线，点E在BC的延长线上，∠ADB＝32°，则∠DCE＝ ．【答案】64°【解析】∵ BD是菱形ABCD的一条对角线，∠ADB＝32°，∴ ∠CDB＝∠ADB＝32°．又 AD∥BC，∴ ∠DBC＝∠ADB＝32°，∴ ∠DCE＝∠DBC＋∠CDB＝32°＋32°＝64°．【例2】四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，AB＝6，对角线AC与BD相交于点O，点E在AC上，若OE＝，则CE的长为（　　）A． B． C．或 D．6【答案】C【解析】根据题意画出示意图，∵ 四边形ABCD是菱形，∴ AB＝AD＝6，AC⊥BD，OB＝OD，OA＝OC．∵ ∠BAD＝60°，∴ △ABD是等边三角形，∴ BD＝AB＝6，∴ OB＝BD＝3，∴ OC＝OA＝＝．∵ 点E在AC上，OE＝，∴ CE＝OC＋OE＝，或CE＝OC－OE＝，综上所述，CE的长为或．【归纳】菱形性质的应用：（1）菱形的每一条对角线平分每一组对角，可以用来证明角相等；（2）菱形的对角线互相垂直，可以用来证明线段垂直，且菱形的两条对角线将它分为四个全等的直角三角形；（3）有一个内角是60°的菱形，较短的对角线将其分成两个全等的等边三角形．【例3】如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．过O作OE∥BC，交AB于点E，点E恰好为AB中点，且OE＝OA．过点E作EF∥AC，交BC于点F，且AC＝BC．（1）求证：四边形OEFC是菱形；（2）若AB＝2，S菱形OEFC＝1，求BC的长．【答案】（1）证明：∵ OE∥BC，EF∥AC，∴ 四边形OEFC是平行四边形．∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ OA＝OC＝AC．∵ OE∥BC，E为AB中点，∴ OE是△ABC的中位线，∴ OE＝BC，又 AC＝BC，∴ OE＝OC，∴ 四边形OEFC是菱形．（2）解：如图，连接CE，由（1）得OE是△ABC的中位线，∴ AE＝BE，OE＝BC．又 由（1）得四边形OEFC是菱形，∴ OE＝FC．∴ BF＝FC．∴ S△EBF＝S△ECF，S△EAO＝S△ECO，∴ S△ABC＝2S菱形OEFC＝AB×CE＝2，∵ AB＝2，∴ CE＝2，BE＝1，∴ BC＝＝＝．【设计意图】通过知识梳理和例题分析，帮助学生巩固对菱形的性质与判定定理的理解，提升推理和运算能力．【要点三】正方形的性质与判定知识点1　正方形的定义一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形．也可以表述为：①有一组邻边相等的矩形是正方形；②有一个角是直角的菱形是正方形．知识点2　正方形的性质1．边：对边平行，四条边相等；2．角：四个角都是直角；3．对角线：对角线相等，且互相垂直平分；4．轴对称性：轴对称图形，有四条对称轴，分别是过对边中点的直线以及两条对角线所在的直线．知识点3　正方形的判定1．一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形；2．对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形；3．有一组邻边相等的矩形是正方形；4．对角线互相垂直的矩形是正方形；5．有一个角是直角的菱形是正方形；6．对角线相等的菱形是正方形．知识点4　矩形、菱形、正方形与平行四边形的关系【例1】如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝2，AE＝3BE，P是AC上一动点，则PB＋PE的最小值是 ．【答案】10【解析】如图，连接DE，交AC于P，连接BP，此时PB＋PE的值最小．∵ 四边形ABCD是正方形，∴ B，D关于AC对称，∴ PB＝PD，∴ PB＋PE＝PD＋PE∴ 当P，D，E三点共线时，PB＋PE的值最小，且PB＋PE＝PD＋PE＝DE．∵ BE＝2，AE＝3BE，∴ AE＝6，AB＝8，∴ DE＝＝10，故PB＋PE的最小值是10．【例2】如图，点，，，分别是正方形ABCD四条边上的点，并且＝＝＝．求证：四边形是正方形．【答案】证明：（证法1）∵ 四边形ABCD是正方形，∴ AB＝BC＝CD＝DA，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°．∵ ＝＝＝，∴ ＝＝＝，∴ △≌△≌△≌△．∴ ＝＝＝，∠2＝∠3．∴ 四边形为菱形．∵ ∠1＋∠2＝90°，∴ ∠1＋∠3＝90°，∴ ∠＝180°－(∠1＋∠3)＝90°，∴ 四边形为正方形．（证法2）∵ 四边形ABCD是正方形，∴ AB＝BC＝CD＝DA，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°．∵ ＝＝＝，∴ ＝＝＝，∴ △≌△≌△≌△．∴ ＝，∠2＝∠3．∵ ∠1＋∠2＝90°，∴ ∠1＋∠3＝90°，∴ ∠＝180°－(∠1＋∠3)＝90°．同理 ∠＝∠＝90°．∴ 四边形为矩形．又 ＝，∴ 四边形为正方形．【例3】如图，正方形ABCD边长为6．菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在正方形ABCD的边AB，CD，DA上，且AH＝2． （1）当DG＝2时，求证：菱形EFGH为正方形；（2）设DG＝x，试用含x的代数式表示△FCG的面积．【答案】（1）证明：∵ 四边形ABCD是正方形，∴ ∠D＝∠A＝90°．∵ 四边形EFGH是菱形，∴ HG＝EH．在△HDG和△AEH中，∴ Rt△HDG≌Rt△EAH（HL），∴ ∠DHG＝∠AEH，∴ ∠DHG＋∠AHE＝90°，∴ ∠GHE＝90°，∴ 菱形EFGH为正方形．（2）解：连接GE，过F作FM⊥CD，垂足为M，∵ CD∥AB，∴ ∠AEG＝∠MGE．∵ GF∥HE，∴ ∠HEG＝∠FGE，∴ ∠AEG－∠HEG＝∠MGE－∠FGE，∴ ∠AEH＝∠MGF．在Rt△AHE和Rt△MFG中，∴ Rt△AHE≌Rt△MFG（AAS），∴ MF＝AH＝2．∵ DG＝x，∴ CG＝6－x，∴ S△FCG＝CG·MF＝6－x．【设计意图】通过知识梳理与例题分析，帮助学生巩固对正方形的性质与判定定理的理解，能综合运用相关知识解决与正方形等特殊平行四边形相关的几何问题，提升推理能力，增强应用意识． 课堂小结 【思维导图参考】【设计意图】通过小结，梳理本节课所学内容，帮助学生养成梳理和总结的学习习惯． 课后任务 完成教材86～88页复习题21第1，4，5，6，7，10，11，12，13，14题．