第二十一章　四边形【章末复习】-课件--2025-2026学年人教版数学八年级下册（新教材）

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新人教版数学8年级下册培优备课课件章末小结第二十一章　四边形授课教师： Home . 班 级： . 时 间： . 2026年2月25日本章知识结构图一、四边形定义 在平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫作四边形.四边形的内角和等于_______.四边形的外角和等于_______.四边形具有_____________.360°360°不稳定性二、多边形定义 与三角形、四边形类似，如图，在平面内，由n(n≥3)条线段A₁A₂，A₂A₃，…，An-1An，AnA₁首尾顺次相接，组成的图形叫作多边形.n边形的内角和等于_______________.多边形的外角和等于_______________.(n-2)×180°360°像正方形这样，各个角都相等、各条边都相等的多边形叫作正多边形.三、平行四边形定义 两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形.表示方法 如图所示，平行四边形用“▱”表示，平行四边形ABCD记作“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.性质性质1：平行四边形的对边相等.性质2：平行四边形的对角相等.性质3：平行四边形的对角线互相平分.三、平行四边形判定判定1（定义法）：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.判定2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.判定3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形.判定4：对角线互相平分的四边形是平行四边形.判定5：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.四、三角形的中位线定义：连接三角形两边中点的线段.定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.五、两条平行线之间的距离 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫作这两条平行线之间的距离.六、矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫作矩形.性质四个角都是直角.对角线相等.是轴对称图形，有两条对称轴.直角三角形斜边上中线的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.六、矩形判定从平行四边形出发：有一个角是直角的平行四边形.对角线相等的平行四边形.从四边形出发：① 有三个角是直角的四边形.七、菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.性质四条边都相等.对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.是轴对称图形，有两条对称轴.面积①菱形的面积=底×高； ②菱形的面积=对角线长的乘积的一半.七、菱形判定从平行四边形出发：有一组邻边相等的平行四边形.对角线互相垂直的平行四边形.从四边形出发：① 四条边相等的四边形.八、正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形.性质具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质.是轴对称图形，有四条对称轴.八、正方形判定从平行四边形出发：一组邻边相等 + 一个角是直角.从矩形出发：① 矩形 + 一组邻边相等；② 矩形 + 对角线互相垂直.从菱形出发：① 菱形 + 有一个角是直角；② 菱形 + 对角线相等.四边形平行四边形矩形正方形菱形两组对边分别平行(或两组对边分别相等或一组对边平行且相等)两条对角线互相平分两组对角分别相等有一个角是直角(或对角线相等)有一组邻边相等(或对角线互相垂直)有一组邻边相等(或对角线互相垂直)有一个角是直角(或对角线相等)九、四边形、特殊四边形之间的关系1. 四边形的四个角可以都是锐角吗？可以都是钝角吗？ 可以都是直角吗？为什么？解：四边形的四个角不可以都是锐角，不可以都是钝角，可以都是直角. 理由如下：若四个角都是锐角，则四边形的内角和小于 360°，这与四边形的内角和等于 360°相矛盾.故四边形的四个角不可以都是锐角.若四个角都是钝角，则四边形的内角和大于 360°，这与四边形的内角和等于 360°相矛盾. 故四边形的四个角不可以都是钝角.若四个角都是直角，则四边形的内角和等于 360°，符合四边形的内角和定理. 故四边形的四个角可以都是直角.2. 求正五边形和正十边形的每个内角的度数.解：∵正五边形的每个外角的度数为 360°÷5 = 72°，∴每个内角的度数为 180°－72°= 108°.∵正十边形的每个外角的度数为 360°÷10 = 36°，∴每个内角的度数为 180°－36°= 144°.3.已知一个多边形除一个内角外其余内角的和为1720°，则这个内角的度数为_______. 80°4.已知平行四边形ABCD中，AB=7，AD=4，AE平分∠BAD，则EC的长为（ ）4 B. 7 C. 3 D. 11C5.四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，给出下列四个条件：①AD//BC；②AD=BC；③OA=OC；④OB=OD.从中任选两个条件，能使四边形ABCD是平行四边形的选法有( ).A. 3 种 B. 4 种 C. 5 种 D. 6 种（1）①②得一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.（2）①③，①④得△AOD≌△COB，则有AD=BC，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.（3）②③不能得出四边形是平行四边形.（4）②④不能得出四边形是平行四边形.5.四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，给出下列四个条件：①AD//BC；②AD=BC；③OA=OC；④OB=OD.从中任选两个条件，能使四边形ABCD是平行四边形的选法有( ).A. 3 种 B. 4 种 C. 5 种 D. 6 种（5）③④得两条对角线互相平分的四边形是平行四边形.B6.如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，且AC=3，BD=4，点E，F分别是边AB，CD的中点，则EF的长是____________. FM 7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为一边向外作等边三角形ACD，CE为△ABC斜边上的中线，连接DE．（1）求证：△ADE≌△CDE； 7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为一边向外作等边三角形ACD，CE为△ABC斜边上的中线，连接DE．（2）证明DE∥CB;（2）证明：∵△ACD是等边三角形，∴∠ADC=∠ACD=60°.由（1）知△ADE≌△CDE，∴∠ADE=∠CDE=30°．∵∠DCB=90°+60°=150°，∴∠EDC+∠DCB=180°．∴DE∥CB．7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为一边向外作等边三角形ACD，CE为△ABC斜边上的中线，连接DE．（3）探索AC与AB满足怎样的数量关系时，四边形DCBE是平行四边形．（3）解：当AB=2AC时，四边形DCBE是平行四边形．理由：∵四边形DCBE是平行四边形,∴DC∥BE.∴∠DCB+∠B=180°.∵∠DCB=150°，∴∠B=30°.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，∴AB=2AC.8. 如图，已知▱ABCD，延长AB到E，使BE=AB，连接BD，ED，EC，若ED=AD．（1）求证：四边形BECD是矩形；（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD.∵BE=AB，∴BE=CD，∴四边形BECD是平行四边形.∵AD=BC，AD=DE，∴BC=DE，∴▱BECD是矩形.8. 如图，已知▱ABCD，延长AB到E，使BE=AB，连接BD，ED，EC，若ED=AD．（2）连接AC，若AD=6，CD=3，求AC的长． 9. 如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC，BD 相交于点 O，AC = 8，DB = 6，DH ⊥ AB，垂足为 H. 求 DH 的长. 10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，连接CD，过点B作BE∥CD，过点C作CE∥AB，BE，CE相交于点E．（1）求证：四边形CEBD是菱形；（1）证明：∵BE∥CD，CE∥AB，∴四边形CEBD是平行四边形.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，∴CD=BD，∴四边形CEBD是菱形；10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，连接CD，过点B作BE∥CD，过点C作CE∥AB，BE,CE相交于点E．（2）过点D作DF⊥CE于点F，交CB于点G，若AB=10，CF=3，求DG的长． 10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，连接CD，过点B作BE∥CD，过点C作CE∥AB，BE,CE相交于点E．（2）过点D作DF⊥CE于点F，交CB于点G，若AB=10，CF=3，求DG的长． 11.如图，点E在正方形ABCD的边BC上，∠AEF=90°且EF=AE，过点F作FM⊥BC，垂足为M．(1)求证：BE=CM；证明：（1）∵四边形ABCD为正方形，∴∠B=90°，AB=BC，∴∠BAE+∠BEA=90°.∵∠AEF=90°，∴∠BEA+∠FEM=90°，∴∠BAE=∠FEM.∵EF=AE，∴△ABE≌△EMF（AAS），∴AB=EM，∴BC=EM，∴BC-EC=EM-EC，即BE=CM．11.如图，点E在正方形ABCD的边BC上，∠AEF=90°且EF=AE，过点F作FM⊥BC，垂足为M．(2)延长CD至点N，使得DN=BE，求证：四边形AEFN是正方形．（2）∵四边形ABCD为正方形，∴∠B=∠ADN=90°，AB=AD.∵DN=BE，∴△ABE≌△ADN（SAS），∴AE=AN，∠BAE=∠DAN.∵AE=EF,∴EF=AN.∵∠DAN+∠EAD=∠BAE+∠EAD=90°，11.如图，点E在正方形ABCD的边BC上，∠AEF=90°且EF=AE，过点F作FM⊥BC，垂足为M．(2)延长CD至点N，使得DN=BE，求证：四边形AEFN是正方形．∴∠EAN=∠AEF=90°，∴AN∥EF，∴四边形AEFN是平行四边形.∵AE=EF，∴四边形AEFN是菱形.∵∠AEF=90°，∴四边形AEFN是正方形．1．如图，在五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1，∠2，∠3是外角，则∠1＋∠2＋∠3＝(　　)A．100° B．180°C．210° D．270° 返回【点拨】如图，延长AB，DC.∵AB∥CD，∴∠4＋∠5＝180°.∵多边形的外角和为360°.∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝360°，∴∠1＋∠2＋∠3＝360°－(∠4＋∠5)＝360°－180°＝180°.【答案】B2．按要求完成下列各小题．(1)一个多边形的内角和比它的外角和多900°，求这个多边形的边数；【解】设这个多边形的边数为n，根据题意，得(n－2)× 180°＝360°＋900°，∴n＝9.∴这个多边形的边数是9.(2)如图，若正五边形ABCDE和长方形AFCG按如图方式叠放在一起，求∠EAF的度数． 返回【解】∵正五边形的内角和为(5－2)×180°＝540°，∴其每个内角为540°÷5＝108°. ∴∠ABC＝∠EAB＝108°.∴∠ABF＝180°－∠ABC＝180°－108°＝72°.∵长方形每个内角为90°，∴∠F＝90°.∴∠BAF＝180°－∠F－∠ABF＝180°－90°－72°＝18°.∴∠EAF＝∠EAB＋∠BAF＝108°＋18°＝126°. 返回3．如图，在下列给出的条件中，可以判定四边形ABCD为平行四边形的条件是(　　)A．AD＝BC，∠B＝∠DB．AD∥BC，AB＝CDC．AB＝CD，AD＝BCD．AB∥CD，∠A＝∠BC4．如图，在▱ABCD中，AD＝5，BE＝8，△DCE的面积为6，则△ABE的面积为________．16 返回5．如图，在▱ACFD中，点B，E分别在AC，DF上，AB＝FE，AF交CE于点N．(1)求证：四边形BCED是平行四边形；【证明】∵四边形ACFD是平行四边形，∴AC∥DF，AC＝DF.∵AB＝FE，∴BC＝DE.∴四边形BCED是平行四边形． 返回(2)已知DE＝6，连接BN，若BN平分∠DBC，则CN的长为________．6【点拨】由(1)可知，BC＝DE，四边形BCED是平行四边形，∴BD∥CE.∴∠DBN＝∠CNB.∵BN平分∠DBC，∴∠DBN＝∠CBN.∴∠CBN＝∠CNB.∴CN＝CB＝DE＝6. 返回6．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，E，F，G分别是BC，AC，AD的中点，若∠EFG＝130°，则∠EGF的度数为(　　)A．20° B．25° C．30° D．35°B7．在周长为600米的三角形地块中修建如图所示的三条水渠，则水渠的总长为________米．300 返回8．[2025杭州一模]如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点D为AB延长线上一点，AB∶AD＝3∶5，过D作CB所在直线的垂线，垂足为E，连接CD，F为DC的中点，则线段EF的长是________． 返回 返回9．如图是一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋．若改变框架的形状，则∠α也随之变化，两条对角线长度也在发生改变．当∠α＝________时，该活动框架是矩形．90°10．[2025河北]如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点A落在点A′处，A′D交BC于点E．将△CDE沿DE折叠，点C落在△BDE内的点C′处，下列结论一定正确的是(　　)A．∠1＝45°－α B．∠1＝αC．∠2＝90°－α D．∠2＝2α 返回【答案】D11．如图，在矩形ABCD中，AD＝18，AB＝24．　(1)求点B到AC的距离；(2)点E为边DC上的一个动点，△AD′E与△ADE关于直线AE对称，当△CD′E为直角三角形时，直接写出DE的长．【解】DE的长为18或9.②当∠ED′C＝90°时，如图②，根据轴对称的性质得∠AD′E＝∠D＝90°，AD′＝AD＝18，DE＝D′E，∴∠AD′E＋∠CD′E＝180°.∴A，D′，C在同一直线上．由(1)得AC＝30，∴CD′＝30－18＝12.设DE＝D′E＝x，则EC＝CD－DE＝24－x，在Rt△D′EC中，D′E2＋D′C2＝EC2，即x2＋122＝(24－x)2，解得x＝9，即DE＝9.综上所述，DE的长为18或9. 返回 返回【答案】C13．小颖买了一盏简单而精致的吊灯(如图①)，其正面的平面图如图②所示，四边形ABCD是一个菱形外框架，对角线AC，BD相交于点O，四边形AECF是其内部框架，且点E，F在BD上，BE＝DF．(1)求证：四边形内部框架AECF为菱形；【证明】∵四边形ABCD是菱形，∴OB＝OD，OA＝OC，AC⊥BD.∵BE＝DF，∴OE＝OF.∴四边形AECF是平行四边形．∵AC⊥BD，∴平行四边形AECF是菱形．【解】∵AE⊥AD，∴△ADE是直角三角形．∵F为DE的中点，∴AF＝EF＝DF.∵四边形AECF是菱形，∴AE＝AF.∴AE＝EF＝AF.∴△AEF是等边三角形．∴∠AEF＝60°.∴∠ADE＝30°，∴DE＝2AE. 返回 返回14．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列判断正确的是(　　)A．若AC⊥BD，则四边形ABCD是菱形B．若AC＝BD，则四边形ABCD是矩形C．若AC⊥BD，AC＝BD，则四边形ABCD是正方形D．若AO＝OC，BO＝OD，则四边形ABCD是平行四 边形D15．活动课上，同学们以正方形为背景，探究图形运动中的数学结论．已知在正方形ABCD中，AB＝6，点E是射线CD上的一个动点，连接AE，以AE为边作正方形AEGF(点F在边AD所在直线的上方)，连接DF，探索发现：(1)如图①，勤学小组画出了点E与点C重合时的图形，此时点F到边AD所在直线的距离为________．6(2)如图②，创思小组画出点E恰好是线段CD中点时的图形，请你解答如下问题：①判断线段AF与DF的数量关系，并说明理由；【解】AF＝DF.理由如下：如图，过点F作FH⊥AD于点H，∴∠FHA＝90°.∴∠1＋∠2＝90°.∵四边形ABCD和四边形AEGF均为正方形，∴∠ADE＝90°，AD＝CD，AE＝AF，∠FAE＝90°.∴∠2＋∠3＝90°.∴∠1＝∠3. 返回②直接写出此时点F到边AD所在直线的距离．【解】点F到边AD所在直线的距离为6. 16．[2025泰州月考]如图，已知正方形纸片ABCD的边长为12．现将正方形纸片沿MN折叠，使得D点折到BC边上的E点处，且折痕MN＝13，则DM的长为________． 返回(1)求证：四边形AEFD是平行四边形．(2)四边形AEFD能成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由．(3)当t为何值时，△DEF为直角三角形？请直接写出结果． 返回