初中数学人教版（2024）八年级下册（2024）22.1 函数的概念第2课时教案

这是一份初中数学人教版（2024）八年级下册（2024）22.1 函数的概念第2课时教案，共37页。教案主要包含了教材分析，学情分析，教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。
第2课时

一、教材分析
本节课是初中代数知识的核心转折点，承接此前学习的代数式、方程、变量关系等基础内容，是从“常量数学”迈向“变量数学”的关键一课，同时为后续一次函数、反比例函数、二次函数的学习奠定核心概念基础，更是衔接初中与高中函数知识的重要桥梁，在整个初中代数体系中占据承上启下的核心地位，也是培养学生数学抽象思维和建模思想的关键载体.
教材遵循“具体情境感知——抽象概念生成——概念辨析深化——实际应用巩固”的逻辑展开：先依托生活中的运动变化、数量变化实例，引出两个相关联变量；再通过多个实例对比，提炼出“一个变量确定，另一个变量有唯一确定值与之对应”的核心特征，进而生成函数定义；接着通过辨析实例、判断对错，厘清函数概念的关键要素，区分对应关系的唯一性；最后结合实际问题，运用函数概念判断变量关系，实现从概念到应用的闭环，贴合学生从具象到抽象的认知规律.

二、学情分析
已有基础： 学生此前已经掌握代数式书写、列代数式、方程求解、变量表示等基础知识，能够识别生活中相关联的数量，具备初步的代数运算能力和简单的逻辑分析能力.学生对生活中的变化现象有直观感知，能理解单个变量的含义，这为学习函数概念提供了知识和认知铺垫.
存在困难：学生容易混淆“变量”与“常量”，难以理解“唯一确定对应”这一核心要点，容易把普通关联关系当成函数关系；对抽象的数学定义接受度低，难以从具象实例快速过渡到抽象概念；部分学生不会用严谨的数学语言描述函数关系，实际应用中无法准确判断变量是否构成函数关系.
认知特点：初中阶段学生以具象思维为主，抽象逻辑思维仍在发展，对直观、生活化的实例接受度更高，反感生硬的概念灌输；注意力集中时间有限，喜欢动手探究、对比辨析的学习方式，对数学史、概念起源这类拓展内容有一定好奇心，适合通过实例引导、小组讨论逐步抽象概念.

三、教学目标
1.理解自变量、函数、函数值的概念，掌握“两个变量、唯一确定对应”的核心内涵.
2.会结合具体实例判断两个变量是否构成函数关系，能说出函数概念的核心要素.
3.通过生活实例分析、小组探究对比，经历从具象到抽象的函数概念生成过程，培养数学抽象思维、逻辑辨析能力和归纳概括能力.
4.感受函数与生活的密切联系，了解函数概念的数学文化背景，体会数学知识的严谨性与传承性.

四、教学重难点
重点：理解自变量、函数、函数值的概念，掌握“两个变量、唯一确定对应”的核心内涵；
难点: 会结合具体实例判断两个变量是否构成函数关系，能说出函数概念的核心要素.

五、教学过程
复习回顾
问题1：什么叫作变量？什么是常量？
答：一般地，在一个变化过程中，我们称数值始终不变的量为常量，数值发生变化的量为变量.
问题2：圆柱的体积公式V=πr2ℎ，V表示体积，r表示底面的半径，h表示圆柱的高，其中常量是 ，变量是 .
答：π；V，r，h
师生活动：教师提问变量与常量的定义，学生集体回答；再出示圆柱体积公式，引导学生辨析常量与变量，指名学生作答，师生共同订正.
设计意图：通过复习旧知，唤醒学生对变量、常量概念的记忆，为后续函数概念的学习做好铺垫，同时借助实例辨析，深化学生对概念的理解，夯实知识基础.
探究新知
活动：探究函数的概念
问题3：第90页“思考”的问题 1～4 中是否各有两个变量？每一个问题中的两个变量之间有什么关系？如何表示这种关系？
师生活动：教师引导学生分组讨论4个实例，逐一分析变量、对应关系与表达式；学生代表发言，师生共同梳理共性，总结函数的核心特征.
(1)汽车以60km/h的速度匀速行驶，当行驶时间t分别为1h，2h，5h时，行驶路程s分别为多少?s的值随t的值的变化而变化吗?
答：在问题(1) 中，t 和 s 是两个变量，s 的值随 t 的值的变化而变化.每当 t 取定一个值时，s就有唯一确定的值与其对应.
其中，当 t ＝ 1时，s ＝ 60；当t ＝ 2时，s＝120； 当t ＝ 5时，s＝300
…….
它们之间的关系可以用 s = 60t表示.
(2) 电影票的售价为40元/张.第一场售出80张票，第二场售出105张票，第三场售出180张票，三场电影的票房收入各是多少元?设一场电影售出x张票，票房收入为y元，y的值随x的值的变化而变化吗?
答：在问题(2) 中，两个变量是x 和 y ，y 随 x 的变化而变化.每当 x 取定一个值时， y 就有唯一确定的值与其对应.
其中，当 x＝80时，y＝3 200；当 x＝105时， y＝ 4 200；当 x＝180时，y＝7 200…….
它们之间的关系可以用 y=40x 表示.
(3)你见过水中的涟漪吗?如图，圆形水波慢慢地扩大.在这一过程中，当圆的半径r分别为10cm，20cm，30cm时，圆的面积S分别为多少?S的值随r的值的变化而变化吗?
答：在问题(3) 中，两个变量是r和S，S 随 r 的变化而变化.每当r取定一个值时，S 就有唯一确定的值与其对应.
其中，当 r =10时，S =100π ，当 r =20时，S =400π ，当 r =30时，S =900π…….
它们之间的关系可以用 S＝πr2 表示.
(4)长方体的体积为1000 cm3，当长方体的底面积S分别为50 cm2，100 cm2，125 cm2时，高h分别为多少?h的值随S的值的变化而变化吗?
答：在问题(4) 中，两个变量是h和S，h 随 S 的变化而变化.每当 S 取定一个值时，h 就有唯一确定的值与其对应.
其中当 S =50时，h=20；当 S =100时，h=10；当 S =125时，h=8…….
它们之间的关系式可以用h＝1 000S 表示.
问题4：上面的四个问题中，各变量之间有什么共同特点？
① 行驶路程 s 、行驶时间 t；
② 票房收入 y、售出票 x；
③ 圆的面积 S 、半径 r.
④ 长方体底面积 S 、高 h.
总结：上面的每个问题中的两个变量互相联系，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就有唯一确定的值与其对应.
设计意图：通过生活与几何实例，让学生感知变量间的对应关系，抽象出函数概念的本质，培养学生从具体到抽象的归纳能力，为函数定义学习奠基.
一些用图或表格表达的问题中，也能看到两个变量之间有上面那样的关系.
问题5：潮汐是指海水在月球和太阳引力作用下发生的周期性涨落现象.我国某港口潮水的高度（简称潮高）在某时段的变化如图所示，时间与潮高分别记作变量 t 与 h .这两个变量之间有什么关系？
师生活动：教师出示潮汐图像、利率表格，引导学生分析变量对应关系；学生观察思考、发言交流，师生共同归纳函数定义，解读概念要点与注意事项.
答：对于变量t(时间)在该时段内的每一个确定值，都有唯一确定的变量h(潮高)与之对应.
问题6：某年某银行整存整取的存款期限与对应的年利率如表所示，存款期限与年利率分别记作变量 x 和 y .这两个变量之间有什么关系？
答：对于变量x(存款期限)的每一个确定值，都有唯一确定的变量y(年利率)与之对应.
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量 x 与 y ，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是 x的函数.
如果当 x=a 时 y=b，那么 b 叫作当自变量的值为 a 时的函数值.
注意：函数的定义中包括了对应值的存在性和唯一性两重意思，即对自变量的每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应，对自变量x的不同值，y的值可以相同.
函数与函数值的区别与联系
区别：函数是变量之间的关系，如函数 y＝2x中， y 是随着 x 的变化而变化的量，且变量 y 是变量 x 的函数；函数值是变量 y 所取的某个具体数值．
联系：一个函数可能有许多不同的函数值．
设计意图：通过图像、表格两种表示形式，丰富学生对函数的认知，抽象出函数的一般定义，深化对“唯一对应”本质的理解，完善知识体系.
问题7：回顾上节课的问题(1)，指出其中的函数关系和自变量，并举出函数值的例子.
(1)汽车以60km/h的速度匀速行驶，当行驶时间t分别为1h，2h，5h时，行驶路程s分别为多少?s的值随t的值的变化而变化吗?
师生活动：教师引导学生回顾旧例，辨析函数关系、自变量与函数值；学生结合实例发言，师生共同梳理函数的单向性、相对性等核心要点，深化概念理解.
答：s = 60t
时间 t 是自变量，路程 s 是 t 的函数. （注意此处不能说s是函数）
当 t =1 时，函数值 s =60；
当 t =2 时，函数值 s =120；
当 t =5 时，函数值 s =300.
问题8：前面所给出的我国某港口潮水的高度变化图中，及存款期限和年利率表中，两个变量之间是不是函数关系？如果是请指出其中的函数关系和自变量，并举出函数值的例子.
答：都是函数关系.
在图中，时间 t 是自变量，潮高 h 是 t 的函数；当t=1时，函数值h=350；当t=18时，函数值h=158.
在表中，存款期限 x 是自变量，年利率 y 是 x 的函数.当x=12时，函数值y=1.45%；当x=60时，函数值y=2.00%；
说明：(1)函数研究的对象不是数，而是一个变化过程中的两个变量；
(2)函数中两个变量之间的关系是唯一对应关系，即对于x 的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，但是对于一个确定的y值，与其对应的x的值可以不唯一；
(3)函数中两个变量具有相对性，如y＝12x＋3表示y是x的函数，而将其变形成x＝2y－6 后，则表示x 是y 的函数.
设计意图：通过实例巩固函数定义，厘清概念易错点，帮助学生精准把握函数本质，提升对变量对应关系的辨析能力，完善知识体系
应用新知
【经典例题】
师生活动：教师出示例题，引导学生用“三看法”辨析函数关系，示范代入求值；学生独立解题、板演，师生共同订正，梳理解题步骤与易错点.
例1 判断下列变量之间是否具有函数关系. 如果是，请指出自变量与函数；如果不是，请说明理由.
(1)y＝±x； (2)y＝x3； (3)2x2＋y2＝10； (4)y＝|x|.
分析：用“三看法”判断一个关系是不是函数关系：
解：(1)不是函数关系，因为x每取一个非零值时，y有两个对应值，不满足定义中的“唯一确定”，所以不是函数关系.
(2)是函数关系，其中x是自变量，y是自变量的函数.
(3)不是函数关系，例如当x＝1时，y有两个对应值，不满足定义中的“唯一确定”.（通过举反例进行判断）
(4)是函数关系，其中x是自变量，y是自变量的函数.
例2 已知函数y=4x−2x+1.
(1) 求当 x = 2 ，3，-3 时，函数的值；
(2) 求当 x 取什么值时，函数的值为 0.
分析：把自变量 x 的值带入关系式中，即可求出函数的值.
解：(1)当x=2时，y=4×2−22+1=2； 当x=3时，y=4×3−23+1=52；
当x=-3 时，y=4×−3−2−3+1=7.
(2)令4x−2x+1=0，解得x=12，
即当x=12时，y=0.
设计意图：通过例题巩固函数定义，掌握函数判断与求值方法，规范解题步骤，提升学生应用概念解决问题的能力，深化对函数本质的理解.
课堂练习
【教材练习】
1.判断下列问题中的两个变量之间是不是函数关系.如果是，指出其中的自变量与函数.
(1)改变正方形的边长x，正方形的面积S随x的变化而变化;
(2)乘坐摩天轮时，游客离地面的高度h随时间t的变化而变化;
(3)某天不同时刻的气温如图所示，气温T随时间t的变化而变化;
(4)某地一年不同月份的降水量如下表所示，降水量y随月份x的变化而变化.
解：(1)是函数关系.
自变量：正方形的边长x，函数：正方形的面积S是边长x的函数.
(2)是函数关系.
自变量：时间t，函数：游客离地面的高度h是时间t的函数.
(3)是函数关系.
自变量：时间t，函数：气温T是时间t的函数.
(4)是函数关系.
自变量：月份x，函数：降水量y是月份x的函数.
2.举出一个函数例子，说明其中的函数关系，并指出其中的自变量与函数.
解：答案不唯一.
例如：高铁以350km/h的速度匀速行驶，行驶路程s(单位:km)随行驶时间t(单位:h)的变化而变化.
自变量：行驶时间t，函数：行驶路程s是行驶时间t的函数.
师生活动：教师组织学生完成教材练习，引导学生用函数定义辨析不同情境下的变量关系；学生独立作答、小组交流，师生共同订正，鼓励学生自主举例巩固概念.
设计意图：通过多形式练习，强化学生对函数定义的理解，提升其在实际情境中判断函数关系的能力，培养知识迁移与应用意识，夯实函数概念基础.
【限时训练】
1.下列各曲线表示的y与x之间的关系中，y是x的函数的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：A.对于x在其范围内的每一个值，y可能有2个值与它对应，则A不符合题意；
B.对于x在其范围内的每一个值，y都有唯一的值与它对应，则B符合题意；
C.对于x在其范围内的每一个值，y可能有2个值与它对应，则C不符合题意；
D.对于x在其范围内的每一个值，y可能有2个值与它对应，则D不符合题意；
故选：B．
2.你知道为什么冬天电瓶车电池不耐用吗?因为电瓶车通常使用铅酸电池和锂电池，这两种电池的最佳使用温度都是25摄氏度左右，随着温度降低，电池中的化学物质活性降低，从而导致电池不耐用.在这个变化过程中，自变量是( )
A. 化学物质B. 温度C. 电池D. 电瓶车
【答案】B
3.某航空公司规定，旅客可免费携带一定质量的行李，超出部分需另外收费，下表列出了乘客携带的行李质量x(千克)与其运费y(元)之间的一些数据：
若旅客携带了40千克的行李，他应该支付的运费为( )
A. 450元B. 500元C. 560元D. 600元
【答案】D
【解析】解：由图表可知，当行李的质量超过20千克时，每千克需要支付的费用为90÷(23−20)=30(元)，
则30×(40−20)
=30×20
=600(元)．
故选：D．
4.下列解析式中，y不是x的函数的是( )
A. y=x2B. y2=xC. y=｜x｜D. y=2x
【答案】B
【解析】解：A.y=x2对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，符合函数的定义，不符合题意；
B.y2=x对于每一个大于0的x的值，y有两个值，不符合函数的定义，符合题意；
C.y=｜x｜对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，符合函数的定义，不符合题意；
D.y=2x对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，符合函数的定义，不符合题意．
故选B．
5.一个小球由静止开始，在一个斜坡上向下滚动，其速度每秒增加2m．
(1)这一变化过程反映了哪两个变量之间的关系?
(2)3.5s时小球的速度为多少?
(3)哪个变量是自变量?哪个变量是它的函数?
【答案】解：(1)速度和时间；
(2)7m/s；
(3)时间是自变量； 速度是时间的函数；
师生活动：教师出示函数概念辨析题，引导学生逐图/逐式判断，小组讨论自变量与函数的关系；学生自主解题、交流思路，教师针对易错点点拨，总结函数判定核心.
设计意图：通过分层练习巩固函数定义，强化”唯一对应”的核心，培养学生变量分析能力，结合实际情境深化对函数本质的理解，落实核心素养.
课堂总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容.
1.本节课你学到了什么？
2.什么是自变量，什么是函数，什么是函数的值？
3.确定函数关系有什么注意事项？
设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.
特色作业
主题：追根溯源话函数——探寻函数概念的起源与演变
任务：结合课堂所学函数概念，自主查阅数学史料完成探究：1.梳理函数概念起源与早期发展脉络，明确莱布尼茨、欧拉等数学家的关键贡献；2.了解“函数”中文译名的由来，重点梳理李善兰的翻译贡献；3.对比早期变量思想与现代函数定义，结合课堂“对应关系”核心，简述概念演变的核心逻辑，关联课本知识加深理解.
要求：1.整理探究成果成简短文稿，总字数控制在200字内，条理清晰；2.不脱离课本知识，史料内容真实；3.严禁抄袭照搬，语言简洁通顺；4.简单提炼感悟，体会数学概念的发展与严谨性，感受数学文化内涵.
一看
是否在一个变化过程中
二看
是否存在两个变量
三看
每当自变量取定一个值时，另一个变量是否都有唯一确定的值与其对应
x(千克)
20
23
26
29
32
y(元)
0
90
180
270
360