人教版（2024）八年级下册（2024）22.1 函数的概念第1课时教案

这是一份人教版（2024）八年级下册（2024）22.1 函数的概念第1课时教案，共37页。教案主要包含了教材分析，学情分析，教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。
第1课时

一、教材分析
本节课是八下第二十二章《函数》开篇第 1 课时，是学生从常量数学迈向变量数学的关键转折点，承上衔接代数式、方程等静态知识，启下为函数概念、各类函数学习奠基，是培养抽象能力、模型观念的核心载体.
依据新课标，要求学生结合实例了解常量、变量意义，能在变化过程中辨别二者，体会量的相对性.教材以生活情境为支架，从实例中归纳概念，渗透变量对应关系，为后续学习铺垫，符合学生认知规律.
教学重点为常量与变量的概念及辨别，难点是理解二者的相对性.学生易忽略 “变化过程” 前提，混淆量的角色.教学需以情境驱动，突出核心前提，衔接后续知识，落实实践作业，帮助学生完成从直观到抽象的思维跨越，夯实函数学习基础.

二、学情分析
已有基础：学生已掌握代数式、方程、不等式等静态数学知识，习惯用式子表示固定数量关系，具备从实际问题中提取数量的能力，为理解 “变化过程中的量” 奠定基础.
存在困难：易将 “常量” 等同于 “常数”，忽略 “在一个变化过程中” 的核心前提；难以理解常量与变量的相对性，混淆不同过程中量的角色；对 “变量间的对应关系” 感知模糊，为后续函数概念学习埋下障碍.
认知特点：学生处于从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键期，能通过生活实例直观区分常量与变量，但对概念本质的抽象提炼、相对性的逻辑理解需要引导，需通过多场景对比强化认知.

三、教学目标
1.理解常量和变量的意义，能准确说出二者的区别.
2.能在具体问题情境中正确识别并区分常量与变量.
3.经历观察、分析、归纳的过程，掌握判断常量与变量的基本方法.
4.感受生活中普遍存在的变化现象，初步形成变化意识，为学习函数做好铺垫.

四、教学重难点
重点：理解常量和变量的意义，能准确说出二者的区别.
难点: 能在具体问题情境中正确识别并区分常量与变量.

五、教学过程
本章引入
思考：在现实世界中，一个量随另一个量的变化而变化的现象有哪些？
函数的前置知识和后置知识结构如下：
研究图形性质的一般思路与方法：一般到特殊、直观到抽象、性质到运用
设计意图：通过生活中实例，让学生直观感受一个量随另一个量的变化而变化的现象大量存在，激发学习兴趣.同时，梳理前置(一元一次方程、二元一次方程等)与后置(一次函数、反比例函数、二次函数)知识，明确函数在代数中的承上启下地位，引导学生通过从一般到特殊、直观到抽象、性质到运用探究函数的概念及应用.
情境导入
问题1：如果你坐在摩天轮上，随着时间的变化，你离开地面的高度是如何变化的？
答：从地面开始，慢慢升高到最顶端，再慢慢下降.一圈又一圈，周而复始..
问题2：一辆长途客车从杭州驶向上海，全程哪些量不变？哪些量在变？

答：客车的速度，客车行驶的时间在不断改变，从杭州到上海的距离是不变的.
师生活动：教师引导学生思考，通过问答互动，让学生自主分析实例中 “不变的量” 与 “变化的量”；学生独立完成问题解答.
设计意图：通过生活实例引导学生从实际情境中感受变化的量和不变的量，为新课的学习铺垫.
探究新知
活动：探究常量与变量
问题1：汽车以60km/h的速度匀速行驶，当行驶时间t分别为1h，2h，5h时，行驶路程s分别为多少?s的值随t的值的变化而变化吗?
师生活动：教师引导学生分析问题，通过列表计算得到行驶路程；再组织学生观察、讨论哪些量是变化的，哪些量是不变的.
答：
①行驶路程s的值随t的值的变化而变化.
②反映了汽车行驶的路程s随行驶时间t的变化而变化的过程，在这个过程中，行驶速度v的值是始终不变，行驶时间t和行驶路程s的值是变化的.
问题2：电影票的售价为40元/张.第一场售出80张票，第二场售出105张票，第三场售出180张票，三场电影的票房收入各是多少元?设一场电影售出x张票，票房收入为y元，y的值随x的值的变化而变化吗?
答：
①票房收入y的值随x的值的变化而变化.
②反映了电影票房收入y随售出票数x的变化而变化的过程.在这个过程中，电影票的售价是始终不变的，售出票数x和票房收入y的值是变化的.
概念：一般地，在一个变化过程中，我们称数值始终不变的量为常量，数值发生变化的量为变量.
例如，在问题(1)和(2)中，汽车行驶的速度、电影票的售价是常量；汽车行驶的时间t、路程s，售出的电影票数x、票房收入y是变量.
设计意图：通过生活实例引导学生抽象出常量与变量的概念，理解变化过程中量的分类，为后续函数学习奠基.
问题3：你见过水中的涟漪吗?如图，圆形水波慢慢地扩大.在这一过程中，当圆的半径r分别为10cm，20cm，30cm时，圆的面积S分别为多少?S的值随r的值的变化而变化吗?
答：圆的面积S的值随半径r的值变化而变化.
思考：反映了什么变化过程?其中的常量和变量分别是什么？
答：反映了圆的面积S随圆的半径r的变化而变化的过程，其中圆周率π是常量，半径r、圆的面积S是变量.
问题4：长方体的体积为1000 cm3，当长方体的底面积S分别为50 cm2，100 cm2，125 cm2时，高h分别为多少?h的值随S的值的变化而变化吗?
答：长方体的高h的值随底面积S的值变化而变化.
思考：反映了什么变化过程?其中的常量和变量分别是什么？
答：反映了长方体的高h随底面积S的变化而变化的过程，其中长方体的体积1000是常量，高h、底面积S是变量.
讨论：如何判断一个量是常量还是变量？
答：判断一个量是常量还是变量，需这两个方面：
①看它是否在一个变化的过程中；
②看它在这个变化过程中是否可以取不同的值.
设计意图：通过几何与实际问题，深化学生对常量、变量的辨别能力，强化 “变化过程” 这一核心前提，总结判断方法，夯实概念本质，为后续函数学习筑牢基础.
应用新知
【教材例题】
师生活动：教师呈现例题，引导学生结合 “变化过程中量的不变性与可变性” 分析例 1；学生独立求解后，师生共同梳理解题思路，总结常量与变量的判断方法；再通过例 2 的实际情境，深化对不同场景下常量、变量的辨别，强化概念本质.
例1 指出下列问题中的常量和变量:
(1)某市居民生活用水的价格为5元/t.记某户的月用水量为xt，月应缴水费为y元.
(2)在某地乘坐公交车，刷公交卡每次收费1元.李明在公交卡中存入30元，记此后他乘坐公交车n次，公交卡中的余额为w元.
(3)用20m长的绳子围一个矩形，记矩形的一边长为x m，矩形的面积为S m2.
分析：（1）生活用水的价格是不变的，月缴费随着用水量的变化而变化.
（2）刷公交卡每次收费是不变的，公交卡余额随坐公交次数的变化而变化.
（3）绳子的长度是不变的，矩形的面积随着边长的变化而变化.
解：(1)生活用水的价格是常量，某户的月用水量x和月应缴水费y是变量.
(2)刷公交卡每次收费和存入的钱数是常量，乘坐公交车的次数n和公交卡中的余额w是变量.
(3)绳的长度是常量，矩形的一边长x和面积S是变量.
总结：判断是常量还是变量，就是看在一个变化过程中，一个量是变化的还是不变的.
【经典例题】
例2 一家快递公司的收费标准如图，用t表示邮件的质量，p表示每件快递费，n表示快递邮件的件数.
(1)填写下表：
答：
(2)在投寄快递邮件的事项中，t ，p ，n是常量，还是变量？若0＜t≤10，投寄n件邮件的快递费记为w，此时t，p，n，w中哪些是常量？哪些是变量？
答：在投寄快递邮件的事项中，t ， p ， n都是变量；若0＜t≤10时， t ，n ，w是变量 ，p是常量.
设计意图：通过实例变式训练，让学生掌握辨别常量与变量的方法，巩固概念，提升分析实际问题的能力，为函数概念的深入学习奠定扎实基础.
课堂练习
【教材练习】
1.指出下列问题中的常量和变量：
(1)向一个水池注水，注水速度为0.1 m3/min.记注水时间为x min，注水量为y m3.
(2)我国“十三五”期间每年的国内生产总值如下表所示.
(3)一个平行四边形的底边长为5，高h可以任意改变，面积为S.
解：（1）注水速度是常量，注水时间和注水量是变量.
（2）年份和对应的生产总值都是变化的量，故都是变量.
(3)平行四边形的底边长是常数，是常量；平行四边形的面积S随着高h的变化而变化，故面积S和高h都是变量.
2.指举两个运动变化的例子，并分别指出其中的常量和变量.
解：①某种手机套餐的月租费为18元，每分钟通话费为0.2元，每月通话时间为t分钟，每月总话费为y元；其中月租费是常量，通话时间t和每月总花费y都是变量.
②笔记本的单价为5元/本，购买数量为x本，总花费为y元；
其中常量是笔记本的单价，购买数量x和总花费y都是变量.
设计意图：通过教材练习巩固常量与变量的辨别方法，强化 “变化过程” 的核心前提，结合生活实例深化概念理解，提升学生应用知识分析实际问题的能力.
【限时训练】
1.“白毛浮绿水，红掌拨清波”，白鹅拨出的圆形水波不断扩大，记它的半径为r，则圆形水波的周长C与半径r之间的关系为C=2πr.下列判断正确的是( )
A.2是变量 B.π是变量 C.r是变量 D.C是常量
答案：C.
2.张师傅开车到某加油站加油，下图是所用的加油机上的数据显示牌，则其中的常量是( )
A.金额 B.金额 C.单价 D.金额和油量
答案：C.
3.某品牌电饭锅成本价为70元，销售商对其销量与定价的关系进行了调查，结果如下:

在这个问题中，下列说法正确的是( )
A.定价是常量，销量是变量
B.定价是变量，销量是常量
C.定价与销量都是变量，定价是自变量，销量是因变量
D.定价与销量都是变量，销量是自变量，定价是因变量
答案：C.
4.如图，在平面直角坐标系中，线段上各点的坐标可表示为(t,h)，其中常量是__，变量是___.
答案：h,t
5.对于电学公式U=IR，若电阻R为定值，常量是__，变量是____;若电流I为定值，则常量是____,
变量是_____.
答案：R，UI ; I, UR.
师生活动：教师组织学生限时完成训练题，学生独立解题后，师生共同分析易错点.
设计意图：通过限时训练巩固常量和变量，提升学生的知识迁移与解题速度，强化综合运用能力.
课堂总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容.
1.本节课你学到了什么？
2.什么是常量和变量？
3.如何判断一个量是常量和变量？
设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.
特色作业
实践作业:生活中的变量与常量
任务：从生活中选取 3 个不同的实际场景（如购物、出行、缴费等），找出其中的常量与变量，梳理变量间的对应关系，并说明 “常量与变量的相对性” 在不同场景下的体现特点.
要求：1.梳理内容控制在 200 字左右，清晰呈现生活中常量与变量的典型场景与区分逻辑；
2.明确区分 “常量与变量” 在同一过程与不同过程中的表述差异.