人教版（2024）八年级下册（2024）21.2 平行四边形第2课时教学设计

这是一份人教版（2024）八年级下册（2024）21.2 平行四边形第2课时教学设计，共10页。教案主要包含了设计意图，师生活动，思维导图参考等内容，欢迎下载使用。
1．经历“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”这一判定定理的探索过程，进一步加深对平行四边形的认识，完善研究图形的一般思路和方法．
2．综合运用平行四边形的性质和判定定理进行证明和计算，解决相关的图形问题，发展几何直观与推理能力．
教学重点
平行四边形判定定理的证明；平行四边形性质定理与判定定理的综合应用．
教学难点
平行四边形性质定理与判定定理的综合应用．
教学过程
知识回顾
平行四边形的判定定理：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
（3）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
（4）对角线互相平分的四边形是平行四边形．
【设计意图】通过复习平行四边形的判定方法，建立新旧知识的联系，为本节课的学习做准备．
新知探究
【引导语】根据平行四边形的定义和它的判定定理可知，两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形．如果只考虑四边形的一组对边，它们满足什么条件时，这个四边形能成为平行四边形呢？
【问题1】对于平行四边形的一组对边，从它们的位置关系和数量关系考虑，你能得到什么结论？
【师生活动】学生回忆平行四边的性质，知道“如果一个四边形是平行四边形，那么它的任意一组对边平行且相等”．
【问题2】类似于前面利用平行四边形的性质发现平行四边形的判定，你能得到利用一组对边判定一个四边形是平行四边形的方法吗？
【师生活动】有了上节课的学习经验，学生很容易从逆命题的角度思考，结合平行四边形的性质自然猜想“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”．
【追问1】请你画出图形，写出已知和求证，尝试进行证明．
【师生活动】学生在学习任务单上画出图形，写出已知、求证．
已知：如图，在四边形ABCD中，ABCD．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
【提示】“”表示平行且相等．
教师引导学生分析：可以通过证明四边形的另一组对边平行或相等来完成，即证明AD∥BC或AD＝BC．如结合已知中边相等的条件，可添加适当的辅助线，通过证明三角形全等得到相应的边相等，进而解决问题．学生在学习任务单上完成证明，得到判定定理5，并在学习任务单上记录关键结论．
【答案】证明：如图，连接AC．
∵ AB∥CD，
∴ ∠1＝∠2．
又 AB＝CD，AC＝CA，
∴ △ABC≌△CDA（SAS）．
∴ BC＝DA．
又 AB＝CD，
∴ 四边形ABCD是平行四边形．
【追问2】你还有其他证明方法吗？
【师生活动】学生提出还可以根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形来进行判定，即证明AD∥BC．同样可添加适当的辅助线，通过证明三角形全等得到相应的角相等，进而得到两直线平行，从而解决问题．学生在学习任务单上独立完成证明过程．教师适时总结：要证明一个四边形是平行四边形，在已知一组对边平行（相等）的情况下，可以找这组对边相等（平行），而不拘泥于找另一组对边的关系．
【答案】证明：如图，连接BD．
∵ AB∥CD，
∴ ∠1＝∠2．
又 AB＝CD，BD＝DB，
∴ △ABD≌△CDB（SAS）．
∴ ∠3＝∠4．
∴ AD∥BC．
又 AB∥CD，
∴ 四边形ABCD是平行四边形．
【注意】平行线和全等三角形的有关知识是证明平行四边形判定定理的基础．
【新知】平行四边形的判定定理5：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
【追问2】一组对边平行，另外一组对边相等的四边形一定是平行四边形吗？如果是，请证明；如果不是，请举例说明．
【师生活动】学生独立思考后小组交流讨论．部分学生可能会误判为“是平行四边形”，教师及时引导学生画出等腰梯形作为反例，全班共同辨析，明确该命题不成立．
【答案】一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，有可能是等腰梯形．
【设计意图】引导学生根据平行四边形的定义和性质，从逆命题的角度提出猜想，再根据平行四边形的定义和判定定理，使用不同方法证明猜想，活跃学生的思维，提高学生的逻辑推理能力．
例题精讲
【例】如图，在▱ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点．求证DEBF．
【师生活动】学生独立思考后，教师引导学生将“DEBF”转化为证明四边形DEBF是平行四边形，结合已知条件可以推导出EBDF．待学生在学习任务单上完成初步证明后，教师板书，对书写进行规范．
【答案】证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ ABCD．
又 EB＝AB，DF＝CD，
∴ EBDF．
∴ 四边形EBFD是平行四边形．
∴ DEBF．
【归纳】平行四边形判定方法的选择
【设计意图】通过例题分析，巩固“一组对边平行且相等”的判定方法，培养学生灵活运用性质定理和判定定理解决问题的能力，同时，规范书写证明过程的习惯，体会转化思想在几何证明中的作用．
课堂练习
1．如图，为了保证铁路的两条直铺的铁轨互相平行，只要使互相平行的夹在铁轨之间的枕木长相等就可以了．你能说出其中的道理吗？
【师生活动】学生独立思考后，教师邀请学生代表分享思路，师生达成共识：由“一组对边平行且相等”可判定枕木和铁轨构成的四边形是平行四边形，再根据平行四边形“对边平行”的性质，得出两条铁轨互相平行．
【答案】因为互相平行的夹在铁轨之间的枕木长相等，由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可以判定两根枕木及两条铁轨构成的四边形是平行四边形，所以两条直铺的铁轨互相平行．
2．如图，在▱ABCD中，BD是它的一条对角线，过A，C两点分别作线段AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．求证：四边形AFCE是平行四边形．
【师生活动】学生独立完成学习任务单上的练习，学生代表分享做法，教师点评．
【答案】证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD＝BC，AD∥BC，
∴ ∠ADE＝∠CBF．
∵ AE⊥BD，CF⊥BD，
∴ ∠AED＝∠CFB＝90°，
∴ △AED≌△CFB（AAS），
∴ AE＝CF．
∵ ∠AEF＝∠CFE＝90°，
∴ AE∥CF．
∴ 四边形AFCE为平行四边形．
3．如图，由六个全等的正三角形拼成的图形中，有多少个平行四边形？为什么？
【师生活动】学生独立思考后，学生代表分享答案，教师点评．
【答案】解：如图，有6个平行四边形，分别为▱AFOB，▱AOEF，▱FODE，▱COED，▱BODC，▱ABCO．
理由如下：由题意知六个三角形都是全等的正三角形，即AF＝OB，OF＝AB，所以四边形AFOB是平行四边形．其他证明同理．
【设计意图】通过从生活应用、逻辑证明、图形探究三个维度出发，层层递进巩固“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”这一核心判定，既让学生体会数学与生活的联系，又训练逻辑推理与空间想象能力，全面提升几何素养．
课堂小结
【师生活动】师生共同回顾本节课所学内容，请学生从以下方面进行梳理和总结，并在学习任务单上进行记录．
判定一个四边形是平行四边形的方法有哪几种？这些方法是从什么角度去考虑的？你是怎样得出平行四边形的这几种判定方法的？
【思维导图参考】
【设计意图】通过小结，梳理本节课所学内容，帮助学生养成梳理和总结的学习习惯．
课后任务
教材第66页习题21.2第5，8题．
已知条件
证明思路
一组对边相等
1.另一组对边相等
2.该组对边平行
一组对边平行
1.另一组对边平行
2.该组对边相等
角
两组对角相等
对角线
对角线互相平分