数学八年级下册（2024）第二十二章 函数22.1 函数的概念第1课时教学设计及反思

这是一份数学八年级下册（2024）第二十二章 函数22.1 函数的概念第1课时教学设计及反思，共10页。教案主要包含了师生活动，设计意图，思维导图参考等内容，欢迎下载使用。
1．经历从匀速运动模型、销售总价模型等现实模型中抽象数量关系的过程，通过分析变与不变的规律，明确常量和变量，加强模型观念，发展抽象能力．
2．理解常量与变量的概念，能结合具体问题辨析变化过程中的常量与变量，明确二者的区别．
教学重点
常量与变量的概念．
教学难点
结合具体问题辨析变化过程中的常量与变量．
教学过程
新课导入
【引导语】“万物皆变”——行星在宇宙中的位置随时间的变化而变化，我国“天宫”空间站与北京航天飞行控制中心的距离随时间的变化而变化，气温随海拔的变化而变化，树高随树龄的变化而变化……．在现实世界中，这种一个量随另一个量的变化而变化的现象大量存在．

【问题】从运动变化的角度观察我们周围的世界，你还能举出生活中像这样“一个量随着另一个量的变化而变化”的例子吗？
【师生活动】学生自由发言，分享生活实例，例如汽车行驶的路程随着时间的变化而变化；购买文具的总价随着购买数量的变化而变化；一天中的气温随着时间的推移而变化；手机充电时，电池电量百分比随着充电时间变化而变化等．教师根据学生的发言总结这些现象都反应了运动变化现象中变量之间的关系，函数就是描述这种关系的重要工具，通过研究函数及其性质，可以更深入地认识现实世界中事物变化的规律．本节课，我们先从认识变化过程中的常量和变量开始．
【设计意图】通过具体实例，引导学生感知“一个量随着另一个量的变化而变化”的普遍现象，自然引出本节课的核心内容，为学习“常量”与“变量”作铺垫．
新知探究
【问题1】汽车以60 km/h的速度匀速行驶，当行驶时间t分别为1 h，2 h，5 h时，行驶路程s分别为多少？s的值随t的值的变化而变化吗？
【师生活动】学生根据“路程＝速度×时间”填写学习任务单上的表格，通过观察、分析表格，得出s的值随t的值的变化而变化．
【问题2】电影票售价为40元/张．第一场售出80张票，第二场售出105张票，第三场售出180张票，三场电影的票房收入各是多少元？设一场电影售出x张票，票房收入为y元，y的值随x的值的变化而变化吗？
【师生活动】师生共同明确票价始终不变，而“票房收入＝票价×售出票数”，所以售票张数越多，收入越高．学生自主填写学习任务单上的表格，得出y的值随x的值的变化而变化．
【问题3】你见过水中的涟漪吗？如图，圆形水波慢慢地扩大．在这一过程中，当圆的半径r分别为10 cm，20 cm，30 cm时，圆的面积S分别为多少？S的值随r的值的变化而变化吗？
【师生活动】师生共同明确圆的面积S＝πr2，学生自主计算并填写学习任务单上的表格，得出S的值随r的值的变化而变化．
【问题4】长方体的体积为1 000 cm³，当长方体的底面积S分别为50 cm²，100 cm²，125 cm²时，高h分别为多少？h的值随S的值的变化而变化吗？
【师生活动】师生共同明确长方体的体积公式V＝Sh，得到h＝．因为长方体的体积固定，所以底面积越大，高越小．学生自主计算并填写学习任务单上的表格，并得出h的值随S的值的变化而变化．
【问题5】上述四个问题反映了不同事物的变化过程，其中，哪些量的数值是始终不变的？哪些量的数值是不断变化的？
【师生活动】学生组内讨论，小组代表发言，师生共同总结：
问题（1）反映了汽车行驶的路程s随行驶时间t的变化而变化的过程．在这个过程中，行驶速度的值是始终不变的，行驶时间t和行驶路程s的值是变化的．
问题（2）反映了电影票房收入y随售出票数x的变化而变化的过程．在这个过程中，电影票的售价是始终不变的，售出票数x和票房收入y的值是变化的．
问题（3）反映了圆的面积S随半径r的变化而变化的过程．在这个过程中，圆周率的值是始终不变的，圆的面积S和半径r的值是变化的．
问题（4）反映了长方体的高h随底面积S的变化而变化的过程．在这个过程中，体积是始终不变的，长方体的高h和底面积S的值是变化的．
【新知】一般地，在一个变化过程中，我们称数值始终不变的量为常量，数值发生变化的量为变量．
【注意】常量和变量是相对的，判断的前提是“在同一个变化过程中”．
【追问】你能说出上述四个变化过程中的常量和变量吗？
【师生活动】学生根据常量与变量的定义，在学习任务单上完成解答．
【答案】（1）变量是时间t和路程s，常量是速度60 km/h；
（2）变量是售票张数x和票房收入y，常量是票价40元/张；
（3）变量是圆的面积S和圆的半径r，常量是圆周率π；
（4）变量是长方体的底面积S和高h，常量是长方体体积1 000 cm³．
【设计意图】通过学生熟悉的背景实例，引导学生从运动变化的角度分析问题，经历“寻找相关量—辨析变与不变”的思维过程，系统认识常量与变量的概念，为后续学习函数作好铺垫．
例题精讲
【例1】 指出下列问题中的常量和变量：
（1）某市居民生活用水的价格为5元/t．记某户的月用水量为 x t，月应缴水费为 y元．
（2）在某地乘坐公交车，刷公交卡每次收费1元．李明在公交卡中存入30元，记此后他乘坐公交车n次，公交卡中的余额为w元．
（3）用20 m长的绳子围一个矩形，记矩形的一边长为x m，矩形的面积为S m²．
【师生活动】学生根据常量与变量的概念，在学习任务单上完成解答，学生代表分享做法，教师讲评．
【答案】解：（1）生活用水的价格是常量，某户的月用水量x和月应缴水费y是变量．
（2）刷公交卡每次收费和存入的钱数是常量，乘坐公交车的次数n和公交卡中的余额 w是变量．
（3）绳的长度是常量，矩形的一边长x和面积S是变量．
【归纳】识别常量与变量的关键：
（1）是否在同一个变化过程中；
（2）数值是否固定不变．
常量与变量需要在具体变化过程中进行分析，脱离具体变化过程来讨论常量与变量是没有意义的．
【例2】（1）设圆柱的底面圆的半径为5，圆柱的体积V与圆柱的高h满足V＝25πh，则常量是______________，变量是______________；
（2）设圆柱的底面圆的半径R不变，圆柱的体积V与圆柱的高h满足V＝πR2h，则常量是______________，变量是______________；
（3）设圆柱的高h不变，圆柱的体积V与圆柱的底面圆的半径R的关系式为V＝πR2h，则常量是______________，变量是______________．
【师生活动】学生独立思考，尝试在学习任务单上完成解答，学生代表分享做法，教师讲评．
【答案】（1）圆周率π，底面圆半径5；圆柱的体积V，圆柱的高h；
（2）圆周率π，底面圆半径R；圆柱的体积V，圆柱的高h；
（3）圆周率π，圆柱的高h；圆柱的体积V，底面圆半径R．
【归纳】1．常量是始终不变的量，可以是常数，也可以是数值不变的字母．
2．π是圆周率，是常量．
【设计意图】通过生活实例，帮助学生巩固对常量与变量概念的理解，准确把握常量与变量的区别，为后续学习函数作铺垫．
课堂练习
1．指出下列问题中的常量和变量：
（1）向一个水池注水，注水速度为 0.1 m³/min．记注水时间为 x min，注水量为 y m³．
（2）我国“十三五”期间每年的国内生产总值如下表所示．
（3）一个平行四边形的底边长为5，高h可以任意改变，面积为S．
【师生活动】学生独立完成学习任务单上的练习，学生代表分享做法，教师讲评．
【答案】解：（1）注水速度是常量，注水时间x和注水量 y 是变量；
（2）年份x和国内生产总值y是变量；
（3）底边长是常量，高h和面积S是变量．
2．举两个运动变化的例子，并分别指出其中的常量和变量．
【师生活动】学生自主举例，教师组织全班交流．
【答案】解：答案不唯一，如（1）一个圆锥的体积一定时，它的高随着底面积的变化而变化．圆锥的体积是常量，底面积和高都是变量．
（2）每本练习本3元，小明买了x本，一共花了y元．每本练习本的价格是常量，小明买的数量x本和花费y元是变量．
【设计意图】通过课堂练习，巩固学生对常量与变量概念的识别，同时通过让学生自主举例，提升学生将概念迁移到情境中应用的能力，实现从理解到运用的跨越．
课堂小结
【师生活动】师生共同回顾本节课所学内容，请学生从以下方面进行梳理和总结，并在学习任务单上进行记录．
1．什么是常量？什么是变量？
2．如何在具体问题中识别常量与变量？
【思维导图参考】
【设计意图】通过小结，梳理本节课所学内容，帮助学生养成梳理和总结的学习习惯．
课后任务
教材第95页习题22.1第1题．