初中数学人教版（2024）八年级下册（2024）22.1 函数的概念第3课时教案设计

这是一份初中数学人教版（2024）八年级下册（2024）22.1 函数的概念第3课时教案设计，共44页。教案主要包含了函数解析式，自变量的取值范围，求函数值等内容，欢迎下载使用。
《22.1 函数的概念（第3课时）》教学设计
课型
新授课☑ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析
本课是人教版八下第22章《函数》的核心应用课，承接前两课时常量、变量与函数概念的学习，是学生从抽象理解走向实际建模的关键环节．教材通过油箱剩油、水箱漏水等实例，引导学生学习列函数解析式、确定自变量取值范围、求函数值，为后续学习函数图象、性质及各类具体函数奠定方法基础．本节课的学习，能帮助学生掌握用数学式子表示变量关系的方法，体会数学建模思想，培养从实际问题中抽象数学关系、解决问题的能力，是连接函数概念与实际应用的桥梁，对学生形成完整的函数知识体系至关重要．
学习者分析
学生已掌握函数的基本概念，能识别自变量与函数，但对如何用数学式子表示变量关系缺乏经验，列解析式时易忽略实际背景对变量的限制．他们对“自变量取值范围”的理解易停留在式子本身，难以兼顾实际意义，如行驶路程不能为负、耗油量不能超过油箱容量等．学生的建模能力仍需引导，需要通过典型实例的分步拆解，帮助他们建立“分析变量—找关系—列式子—定范围”的解题思路，突破实际情境与数学式子的转化障碍．
教学目标
1．理解函数解析式的意义，会根据实际问题列函数解析式．
2．掌握自变量取值范围的确定方法，兼顾式子意义与实际背景．
3．会求给定自变量对应的函数值，理解函数值的意义．
教学重点
会根据实际问题列出函数解析式，能结合式子意义与实际背景确定自变量的取值范围．
教学难点
理解并兼顾实际问题中自变量的取值限制，准确确定自变量的取值范围，体会数学建模的严谨性．
学习活动设计
教师活动
学生活动
环节一：学习目标
教师活动1：
师出示学习目标：
1．理解函数解析式的意义，会根据实际问题列函数解析式．
2．掌握自变量取值范围的确定方法，兼顾式子意义与实际背景．
3．会求给定自变量对应的函数值，理解函数值的意义．
学生活动1：
学生齐声读本课的学习目标
活动意图说明：
明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性．
环节二：新知导入
教师活动2：
问题：1．请你根据函数的定义，说一说什么是自变量？什么是自变量的函数？什么是函数值？”
答案：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数．如果当x＝a时y＝b，那么b叫作当自变量的值为a时的函数值．
2．如何判断y是否是x的函数？请说出判断的关键依据和方法．
答案：要判断y是不是x的函数，关键是看自变量x每取一个确定的值时，函数y是否都有唯一确定的值与其对应．若有唯一确定的值，则y是x的函数，否则y就不是x的函数．
导言：函数是刻画变量之间对应关系的数学模型，许多问题中变量之间的关系都可以用函数来表示．
学生活动2：
学生积极回答问题
活动意图说明：
回顾函数的概念、自变量及函数值等相关知识，为学习函数解析式做好准备
环节三：新知讲解
教师活动3：
例：汽车油箱中有汽油50L．如果不再加油，那么油箱中剩余的油量y（单位：L）随行驶路程x（单位：km）的增加而减少．已知该汽车平均每千米耗油0.1L．
（1）写出表示y与x的函数关系的式子；
解：（1）行驶路程x是自变量，油箱中剩余的油量y是x的函数，它们的关系为y＝50－0.1x．
追问：0.1x表示的实际意义是什么？
预设：汽车行驶 x 千米时，消耗的汽油总量．
（2）指出自变量x的取值范围；
解：（2）仅从式子y＝50－0.1x看，x可以取任意实数．但是考虑到x代表的实际意义为行驶路程，因此x不能取负数．行驶中的耗油量为0.1xL，它不能超过油箱中现有汽油量50L，即
0.1x≤50．
因此，自变量x的取值范围是0≤x≤500．
指出：确定自变量的取值范围时，不仅要考虑使函数关系式有意义，而且要注意问题的实际意义．
（3）汽车行驶200km时，油箱中还有多少汽油？
解：（3）汽车行驶200km时，油箱中剩余的汽油量是函数y＝50－0.1x在x＝200时的函数值．将x＝200代入y＝50－0．1x，得
y＝50－0.1×200＝30．
因此，汽车行驶200km时，油箱中还有30L汽油．
归纳：像y＝50－0.1x这样，用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系是表示函数的常用方法，这种式子叫作函数的解析式．
学生活动3：
学生先独立思考然后小组合作探究，班内交流后认真听老师的讲解和点评
活动意图说明：
以汽车油箱剩油问题为载体，引导学生列解析式、定自变量取值范围，掌握函数的代数表示方法．通过求行驶200km时的剩余油量，让学生体会函数值的实际意义，形成“列式—定范围—求值”的完整建模思路．
环节四：课堂小结
教师活动4：
问题：本节课你都学习到了哪些知识？
教师通过学生的回答，进行归纳
学生活动4：
学生积极回顾本节课学习到的知识
活动意图说明：
通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系．
板书设计
课题：22.1函数的概念（第3课时）
一、函数解析式
二、自变量的取值范围
三、求函数值
教师板演区
学生展示区
课堂练习
【知识技能类练习】
必做题：
1．嘉嘉的手表只剩10%的电量，接上充电器5min后，手表显示的电量为35%．若充电器匀速稳定充电，则手表的电量y%与充电时间xmin之间的函数关系式为（ ）
A．y=10x+5B．y=5x+10
C．y=5x−10D．y=10x−5
答案：B
2．函数 y=x−3中的x的取值范围是_______．
答案：x≥3
3．某旅游景区原来的门票价格为每张80元．临近春节，该景区推出优惠方案：每张门票打九折．某公司组织员工去该景区旅游．设员工人数为x人，购买门票的总金额为y元．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)当x=30时，求y的值．
解：（1）设员工人数为x人，购买门票的总金额为y元，
根据题意，得y=80×0.9x=72x，
∴y与x之间的函数关系式为y=72x；
（2）将x=30代入y=72x，得y=72×30=2160，
∴y的值为2160．
选做题：
4．已知两个变量x和y，它们之间的三组对应值如下表所示，那么y关于x的函数解析式可能是（ ）
x
−2
0
2
y
3
1
−1
A．y=−x+1B．y=x2+x+1C．y=1x+3D．y=−2x
答案：A
【综合拓展类练习】
5．如图，结合表格中的数据回答问题：
梯形的个数
1
2
3
4
5
…
图形的周长
5
8
11
14
17
…
(1)设图形的周长为L，梯形的个数为n，试写出L与n的函数解析式；
(2)求n=11时，图形的周长；
(3)求L=302时，梯形的个数．
解：（1）根据题意，得n=1时，5=3×1+2；n=2时，8=3×2+2；n=3时，11=3×3+2，根据规律，得L=3n+2（n为正整数）；
（2）把n=11代入L=3n+2，得L=3×11+2=35；
（3）当L=302时，302=3n+2，解得n=100．
作业设计
【知识技能类作业】
必做题：
1．在如图所示的计算程序中，y与x之间的函数关系式是（ ）．
A．y=−2x−1B．y=−2x+1C．y=2x−1D．y=2x+1
答案：B
2．函数y=3x−33x−2中，自变量x的取值范围是___________．
答案：x≠23
3．有一水箱，它的容积为500L，水箱内原有水100L，现往水箱中注水，已知每分钟注水10L．
(1)写出水箱内水量Q(L)与注水时间t(min)的函数关系．
(2)求注水18min时水箱内的水量？
(3)需多长时间把水箱注满？
解：（1）依题意得：水箱内水量Q(L)与注水时间t(min)的函数关系是：Q=100+10t；
（2）把t=18代入Q=100+10t中，
可得Q=280 (L)，
答：求注水18min时水箱内的水量是280 L；
（3）把Q=500代入Q=100+10t
可得t=40(min)．
答：需40 min把水箱注满．
选做题：
4．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（单位：cm）与所挂的物体的质量x（单位：kg）（不超过10kg）间有下面的关系：
xkg
0
1
2
3
4
5
…
ycm
10
10.5
11
11.5
12
12.5
…
则下列说法不正确的是（ ）
A．x与y都是变量
B．弹簧不挂重物时的长度为10cm
C．物体质量每增加1kg，弹簧长度y增加0.5cm
D．当所挂物体质量为9kg时，弹簧的长度为14cm
答案：D
【综合拓展类作业】
5．如图，梯形的上底长是5cm，下底长是13cm，当梯形的高ℎ(cm)由大变小，梯形的面积Scm2也随之发生变化．
(1)在这个变化过程中，自变量是______．
(2)直接写出梯形的面积Scm2与高ℎ(cm)之间的函数关系式，并通过计算说明当梯形的高h由8cm变化到2cm时，梯形的面积S的变化情况；
(3)嘉嘉发现当高变化时，梯形中∠1与∠2的大小也在变化，若∠1=x°，∠2=y°，y是否为x的函数？若是，直接写出函数关系式；若不是，请说明理由．
解：（1）在这个变化过程中，自变量是梯形的高ℎ；
（2）由题意得：S=12×(5+13)ℎ=9ℎ，
∴梯形的面积Scm2与高ℎ(cm)之间的关系式为：S=9ℎ；
当ℎ=8cm时，S=72cm2，
当ℎ=2cm时，S=18cm2，
∴当梯形的高由8cm变化到2cm时，梯形的面积由72cm2变化到18cm2；
（3）在梯形中，上底边和下底边平行，
∴ ∠1+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补），
即x+y=180，
∴y是x的函数，y=−x+180．
教学反思
本节课通过实例引导学生列解析式、定取值范围，多数学生能掌握基本步骤，但部分学生在分析实际背景时易忽略变量的限制条件，如未考虑耗油量不能超过油箱容量．后续教学中，可增加对比辨析题，强化“式子意义+实际意义”双重约束的理解；同时，可引导学生梳理解题步骤，形成规范的建模流程，提升解决实际问题的能力．