人教版（2024）八年级下册（2024）第二十二章 函数22.2 函数的表示第1课时教案

这是一份人教版（2024）八年级下册（2024）第二十二章 函数22.2 函数的表示第1课时教案，共6页。教案主要包含了师生活动，设计意图，思维导图参考等内容，欢迎下载使用。
1．了解函数的表示方法，会用描点法画函数图象，能理解函数图象的意义，了解图象上点的横、纵坐标与自变量的值、函数值之间的对应关系，体会数形结合的思想，发展几何直观．
2．能通过观察函数图象的升降趋势，分析函数值随自变量的变化而变化的趋势，感受函数图象的直观优势．
教学重点
利用描点法画函数图象；函数图象的意义．
教学难点
利用描点法画函数图象．
教学过程
新课导入
【引导语】通过前面的学习，我们知道，函数与自变量之间的关系既可以用解析式表示，例如路程与时间的关系；也可以用图和表格表示，例如潮水高度与时间的关系、年利率与存款期限的关系．表示函数时，要根据具体情况选择合适的方法．
【问题】上节课我们学习了用解析式表示函数与自变量之间的关系，解析式可以从数量关系的角度清晰反映自变量与函数的对应关系．今天我们继续学习用图表示函数，想一想，用图表示函数有什么优势？
【师生活动】学生交流讨论，教师总结：有些问题中的函数关系很难用解析式表示，例如一天中气温与时间的关系，但是可以用图直观地反映．而有些能用解析式表示的函数关系，如果也能画图表示，那么会使函数关系更直观．
【设计意图】激活学生已有认知，通过对比引出函数图象表示的必要性，激发学生的学习兴趣．
新知探究
【问题】我们知道正方形的面积S与边长x的函数解析式为S＝x2．请你写出自变量x的取值范围，并利用在平面直角坐标系中画图的方法来表示S和x的关系．
【师生活动】由正方形的边长一定是正数，学生容易得出x＞0．教师引导学生将自变量x的值作为横坐标，相应的函数值S作为纵坐标，画出平面直角坐标系．
【追问1】函数S＝x2对应的图象是由哪些点构成的？
【师生活动】教师引导学生明确：根据函数的定义，对于自变量x的每一个值，都有唯一确定的函数值S与之对应，进而有唯一确定的有序实数对（x，S）与之对应，在平面直角坐标系中就有唯一确定的点（x，S）与之对应．这些点构成了函数S＝x2的图象．
【追问2】如何找到这些点（x，S）呢？
【师生活动】教师引导学生取一些自变量的值，计算相应的函数值，并用表格的形式记录下来．师生共同完成表格的填写．
【追问3】现在我们已经得到了一些点的坐标．接下来，请在平面直角坐标系中画出这些点，并用一条平滑的曲线把它们依次连接起来．想一想，点（0，0）在这条曲线上吗？为什么？
【师生活动】学生独立在平面直角坐标系中描点，教师巡视，师生共同明确：由于x＞0，所以x＝0不在x的取值范围内，所以点（0，0）不在这条曲线上．如图．
学生自主用线依次连接画出的这些点，教师强调：①描出的点之间的连线要光滑，不要出现明显的拐弯．②点（0，0）不在这条曲线上，故用空心圆圈表示它．如果一个点在这条曲线上，就要画成实心点．如图．
【追问4】结合填写的表格以及画出的图形，你知道表示x与S对应关系的点有多少个吗？能全部画出来吗？
【师生活动】学生观察表格和图形，明确表示x与S对应关系的点有无数个，但是实际上我们只能描出其中有限个点，因此其他点的位置需要根据描出的点来联想得出．所得曲线上的每一个点都代表x的值与S的值的一种对应，例如点(2，4)表示当x＝2时，S＝4．
【新知】一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．
【注意】一般函数的图象是一条曲线，图象上各点的横坐标是自变量的取值，纵坐标是相应的函数值．组成图象的所有点的横坐标的集合恰好是自变量的取值范围．
【设计意图】结合具体实例，引导学生亲身经历列表、描点、连线的完整过程，帮助学生直观理解函数图象的意义，明确图象上点的坐标与自变量的值、函数值之间的对应关系，为归纳用描点法画函数图象的一般步骤作铺垫．
例题精讲
【例】在下列式子中，y是x的函数．画出这些函数的图象．
（1）y＝x＋0.5； （2）y＝（x＞0）．
【师生活动】教师引导学生回顾画S＝x2的图象的方法，明确画函数图象的一般步骤：列表（取一些自变量的值，计算对应的函数值），描点（在平面直角坐标系中描出这些点），连线（用平滑曲线依次连接描出的各点）．学生独立列表，描点，连线，教师巡视指导，并提醒学生注意对于（1），自变量x可以取任意实数，列表时可以取一些方便计算的值，例如x＝0，－2，－1，1，2，并计算对应的函数值；对于（2），因为x＞0，列表时可以取一些方便计算的正数．
【答案】解：（1）从式子y＝x＋0.5可以看出，x取任意实数时这个式子都有意义，所以x的取值范围是全体实数．
从x的取值范围中选取一些数值，算出y的对应值，列表．
根据表中的数值在平面直角坐标系中描点（x，y），并用平滑曲线连接这些点，如图．
（2）y＝（x＞0）中x的取值范围是全体正实数，从x的取值范围中选取一些数值，算出y的对应值，列表．
根据表中的数值在平面直角坐标系中描点（x，y），并用平滑曲线连接这些点，如图．
【追问1】观察上面两个函数图象，当自变量的值越来越大时，对应的函数值怎样变化？
【师生活动】教师引导学生先从整体上观察图象的大体趋势，然后结合自变量的取值变化来分析函数值的变化．从函数y＝x＋0.5的图象可以看出，直线从左向右上升，说明随着x值的增大，y的值也增大（即点的位置从左向右移动的同时，从下向上移动）．
从函数y＝（x＞0）的图象可以看出，曲线从左向右下降，说明随着x值的增大，y的值反而减小（即点的位置从左向右移动的同时，从上向下移动）．
【追问2】观察你画出的y＝的图象，它位于y轴的哪一侧？图象是否与y轴相交？为什么？
【师生活动】学生结合图象独立思考，组内交流讨论，发现：由于自变量x的取值范围是x＞0，所以图象只能在y轴的右侧，且不能与y轴相交．教师在此基础上总结：画函数图象时，必须关注自变量的取值范围，图象的位置和形状受其制约．
【追问3】根据前面的画图过程，你能总结画函数图象的一般步骤吗？
【师生活动】教师引导学生回顾画图的过程，学生自主归纳，教师概括总结．
【归纳】用描点法画函数图象的一般步骤：
第一步，列表——表中给出一些自变量的值及其对应的函数值．自变量的取值要有代表性，要根据自变量的取值范围，从小到大或者从中间向两边取值．一般取5到7个值为宜；
第二步，描点——在平面直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点．描出的点大小要适中，位置要准确；
第三步，连线——按照横坐标从小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来．
【注意】函数的图象可以是直线、射线、线段，也可以是曲线，还可以是一些不连续的点．
【设计意图】让学生亲历绘制具体函数图象的过程，自主归纳用描点法画函数图象的一般步骤，学会借助图象直观分析函数与自变量的变化关系．
课堂练习
1．（1）画出函数y＝2x－1的图象；
（2）判断点A（－2.5，－4），B（1，3），C（2.5，4）是否在函数y＝2x－1的图象上．
【师生活动】学生回顾用描点法画函数图象的步骤，独立画出函数图象．教师引导学生将点的横坐标代入解析式，计算对应的函数值，若等于该点的纵坐标，则在函数图象上，反之，不在函数图象上．
【答案】解：（1）从x的取值范围（全体实数）中选取一些数值，算出y的对应值，列表．
根据表中的数值，在平面直角坐标系中描点（x，y），并用平滑曲线连接这些点．如图．
（2）∵ 当x＝－2.5时，y＝2×(－2.5)－1＝－6≠－4，
∴ 点A(－2.5，－4)不在函数y＝2x－1的图象上．
∵ 当x＝1时，y＝2×1－1＝1≠3，
∴ 点B(1，3)不在函数y＝2x－1的图象上．
∵ 当x＝2.5时，y＝2×2.5－1＝4，
∴ 点C(2.5，4)在函数y＝2x－1的图象上．
【归纳】判断一个点是否在函数图象上的两种方法：
（1）将该点的横坐标代入函数解析式求函数值，若所求函数值等于该点的纵坐标，则该点在函数图象上，否则不在函数图象上．
（2）将该点的纵坐标代入函数解析式求自变量的值，若所求自变量的值等于该点的横坐标，则该点在函数图象上，否则不在函数图象上．
2．（1）画出函数y＝x²＋1的图象．
（2）观察函数y＝x²＋1的图象，当x＜0时，y随x的增大而增大还是y随x的增大而减小?当x＞0时呢？
【师生活动】学生独立画出函数y＝x²＋1的图象，教师巡视指导，提醒学生注意选取合适的自变量的数值（包括正数、负数和0），并用平滑曲线连接．画图后，教师引导学生观察函数图象，学生通过观察图象的升降趋势，回答问题．
【答案】解：（1）从x的取值范围（全体实数）中选取一些数值，算出y的对应值，列表．
根据表中数值，在平面直角坐标系中描点（x，y），并用平滑曲线连接这些点．如图．
（2）当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大．
【设计意图】通过课堂练习，进一步巩固锻炼学生的作图能力，培养学生从图象中获取信息、分析信息的能力，为后续学习作铺垫．
课堂小结
【师生活动】师生共同回顾本节课所学内容，请学生从以下方面进行梳理和总结，并在学习任务单上进行记录．
1．函数图象的定义是什么？
2．用描点法画函数图象的一般步骤有哪些？
3．如何通过观察函数图象发现函数的变化趋势？
【思维导图参考】
【设计意图】通过小结，梳理本节课所学内容，帮助学生养成梳理和总结的学习习惯．
课后任务
教材第107～108页习题22.2第1，2，3题．