初中数学22.2 函数的表示第3课时教学设计

这是一份初中数学22.2 函数的表示第3课时教学设计，共37页。教案主要包含了教材分析，学情分析，教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。
第3课时

一、教材分析
本节课选自初中数学函数章节，是学生首次系统认知函数表示方法的核心课.此前学生已接触函数的定义、简单变量关系，本节课是对函数概念的具象化落地，搭建起“抽象概念——具体表示——实际应用”的桥梁，为后续学习一次函数、反比例函数的性质与应用奠定基础，是函数板块“承上启下”的关键节点.
教材中以“水库水位变化”的实例为核心，先通过列表呈现水位与时间的对应数据(列表法)，再引导学生描点画图(图象法)，接着推导一次函数解析式(解析法)，最后通过例题、练习对比三种方法的适用场景，完成“感知实例——归纳方法——对比优势——实践应用”的逻辑闭环.

二、学情分析
已有基础：学生已理解函数的定义，能识别简单的变量依赖关系，掌握平面直角坐标系描点、一次函数解析式的基本形式，具备基础的代数运算和几何作图能力.
存在困难：对“三种表示方法的等价性”理解不深，易割裂看待列表、解析式、图象；从实际数据中抽象出函数解析式的能力不足，尤其对“图象反映函数变化规律”的直观认知较薄弱.
认知特点：初中生以具象思维为主，对直观的表格、图象接受度高，但对抽象的解析式推导需借助具体实例辅助，需通过多场景对比强化对方法本质的理解.

三、教学目标
1.掌握函数的解析法、列表法、图象法三种表示方法的适用场景及优缺点.
2.能用适当的方式表示简单实际问题中的变量之间的函数关系，理解三种方法的内在联系，能对函数关系进行分析.
3.通过分析水库水位变化实例，经历“观察——归纳——对比——应用”的过程，提升数形结合与逻辑推理能力.
4.感受函数与生活的紧密联系，体会数形结合思想的价值，培养严谨的数学思维.

四、教学重难点
重点：掌握函数的解析法、列表法、图象法三种表示方法的适用场景及优缺点；
难点: 能用适当的方式表示简单实际问题中的变量之间的函数关系，理解三种方法的内在联系，能对函数关系进行分析.

五、教学过程
复习回顾
问题1：你还记得什么是函数吗?请说出函数定义的核心要点.
答：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.
问题2：画函数图象的步骤是什么？
答：步骤：列表、描点、连线.
问题3：已知四个点(1，0)，(0，-1)，(2，-1)，(-1，2)，其中在函数y=-x+1图象上的点有 个.
答：3
师生活动：教师依次抛出3个问题，引导学生回顾函数定义、画图象步骤，自主完成点的验证；学生举手作答、上台演算，师生共同订正答案，梳理知识要点.
设计意图：通过问题链唤醒旧知，夯实函数核心概念与作图技能，为新课学习铺垫，同时培养学生的知识迁移与逻辑推理能力.
探究新知
活动：探究函数的三种表示方法
问题4：一辆汽车以60 km/h的速度匀速行驶，汽车行驶距离s(单位：km)与行驶时间t(单位：h)的取值如下，这里是怎么表示汽车行驶距离s与行驶时间t的函数关系的？
师生活动：教师创设三个生活情境，层层递进提问；学生独立思考、填表列式、观察图象并作答，师生互动归纳，得出函数三种表示法.
答：用列表格来表示.
问题5：一水箱中有水500 L，现在往外放水，每分钟放水50 L，水箱中剩余水量y(单位：L)与放水时间t(单位：min)是函数关系吗？如果是，请写出它的解析式.
答：是函数关系，解析式为y＝500－50t(0 ≤ t ≤ 10).
追问：这里是怎样表示剩余水量y与放水时间t之间的函数关系的?
答：用函数解析式来表示.
问题6：下图是某地气象站用自动温度记录仪描出的某一天的温度曲线，这里是怎样表示气温T与时间t的函数关系的?
答：用平面直角坐标系中的一个图象来表示.
由上面的内容可知，写出函数解析式，或者列表格，或者画函数图象，都可以表示具体的函数.这三种表示函数的方法，分别称为解析法、列表法和图象法.
设计意图：通过生活化实例，引导学生从具体情境中抽象数学知识，体会知识生成过程，培养数形结合思想，提升观察、归纳能力.
问题7：讨论以下问题：(1)对于每一个大于0的自变量的值，想准确确定对应的函数值，用什么表示法较好?
(2)对于x的值分别为1，2，3，4，5，6时，想知道其对应的函数值，用什么表示方法较好?
(3)想知道当x的值增大时，函数值y怎样变化，用什么表示方法较有时为全面地认识问题好?
师生活动：教师引导学生结合情境对比三种表示法的优劣，学生分组讨论并汇报观点，师生共同补充完善优缺点表格，总结选用技巧.
答：(1) 解析法
(2) 列表法
(3) 图象法
有时为全面地认识问题需要同时使用多种表示法.
问题8：从前面的例子看，你认为三种表示函数的方法各有什么优点?
答：
总结：函数三种表示方法的选用技巧：
列表法：需要直接用部分函数值表达函数关系时选用列表法．
图象法：需要明显表现函数变化趋势时选用图象法．
解析式法：需要明显表现自变量与函数的对应规律时选用解析式法．
设计意图：通过对比分析，深化学生对三种表示法的理解，培养归纳概括能力，让学生学会根据实际需求选择合适方法，提升数学应用素养.
问题9：一水库的水位在最近5 h内持续上涨，下表记录了这5 h内6个时间点的水位高度，其中 t 表示时间，y 表示水位高度.
(1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，这些点是否在一条直线上？由此你发现水位变化有什么规律吗？
(2)水位高度y是不是时间t的函数？如果是，写出一个符合表中数据的函数解析式，并画出这个函数的图象.这个函数能表示水位的变化规律吗？
(3)如果这种上涨规律还会持续2 h，那么2 h 后水位高度将为多少米？
师生活动：教师引导学生结合水库水位实例，通过描点、列式、预测等环节自主探究；学生分组合作，分析图象特征、推导解析式并解决预测问题，师生共同归纳列解析式方法及三种表示法的转化关系.
解：(1)如图，描出表中数据对应的点.可以看出，这6个点在一条直线上.再结合表中数据，可以发现每小时水位上升0.3m.由此猜想，如果画出这5 h内其他时刻 (如 t＝2.5 h等)及其水位高度所对应的点，它们可能也在这条直线上，即在这个时间段中水位可能是始终以同一速度均匀上升的.
(2)由于水位在最近5 h内持续上涨，对于时间 t 的每一个确定的值，水位高度 y 都有唯一的值与其对应，所以 y 是 t 的函数.
开始时水位高度为3 m，以后每小时水位上升0.3 m.函数y＝0.3t＋3(0≤t≤5)是符合表中数据的一个函数，它表示经过 t h水位高度 y 为(0.3t＋3)m.其图象是图中点A(0，3) 和点B(5，4.5)之间的线段AB.
如果在这5 h内，水位一直匀速上升，即升速为0.3m/h，那么函数y＝0.3t＋3(0≤t≤5)就精确地表示了这种变化规律.即使在这5 h内，水位的升速有些变化，而由于每小时水位上升0.3 m是确定的，所以这个函数也可以近似地表示水位的变化规律.
(3)如果水位的变化规律不变，则可利用函数预测，再过2h，即t＝5+2=7(h)时，水位高度为：y=0.3×7+3=5.1(m)
把图中的函数图象(线段AB)向右延伸到t=7所对应的位置，如图所示，从它也能看出这时的水位高度约为5.1m.
总结：1.根据实际问题列函数解析式的方法类似于列方程解应用题， 只要找出自变量与函数之间存在的等量关系，列出等式即可.但要整理成用含自变量的代数式表示函数的形式.
2. 函数的三种表示方法有时可以相互转化，应用时要结合具体情况灵活选用.
3. 并不是所有的函数都能同时用函数的三种表示方法表示.
注意：①并不是所有的函数都可以用这三种方法表示出来.如气温与时间的函数关系，只可用列表法和图象法表示，而无法用解析式法表示 .
②在实际问题中，若纵轴和横轴上的点表示的是不同意义的量，则两轴可以取不同单位长度，但每条坐标轴上的单位长度必须要一致．
③特别需要注意的是不论用哪种表示方法都应使自变量的取值符合实际意义.
设计意图：以实际问题为载体，让学生经历“观察——探究——应用”过程，巩固函数三种表示法的转化，提升数形结合与建模能力，体会数学与生活的联系.
应用新知
【经典例题】
师生活动：教师引导学生分析公交车利润与航空实例，小组讨论数据规律、推导解析式并解决实际问题.学生独立演算、举手作答，师生共同订正，提炼函数在实际问题中的应用方法.
例1 某公交车每天的支出费用为600元，每天乘车人数x(人)与每天利润(利润＝票款收入－支出费用)y(元)的变化关系，如下表所示(每位乘客的乘车票价固定不变).根据表格中的数据，回答下列问题：
(1)观察表中数据可知，当乘客量达到______人以上时，该公交车才不会亏损；票价为______(元/人)；
(2)请写出公交车每天利润y(元)与每天乘车人数x(人)的关系式：y= .
(3)当一天乘客人数为多少人时，利润是1000元？
分析：(1)观察表中数据可知，当乘客量达到300人以上时，该公交车才不会亏损，票价为：600÷300=2（元/人）；
故答案为：300；2；
(2)根据（1）中结论及题意得：y＝2x−600，
∴公交车每天利润y（元）与每天乘车人数x（人）的关系式：
y＝2x−600，故答案为：2x−600；
解：(3)把y＝1000代入y＝2x−600中可得：
2x−600＝1000，
解得：x＝800，
答：当乘车人数为800人时，利润为1000元．
例2 2018年5月14日川航3U863航班挡风玻璃在高空爆裂，机组临危不乱，果断应对，正确处置，顺利返航，避免了一场灾难的发生，创造了世界航空史上的奇迹！下表给出了距离地面高度与所在位置的温度之间的大致关系．根据下表，请回答以下几个问题：
(1)上表反映的两个变量中，______________是自变量，______________是因变量.
(2)若用h表示距离地面的高度，用y表示表示温度，则y与h的之间的关系式是：_____________；
当距离地面高度5千米时，所在位置的温度为：_________℃．
如图是当日飞机下降过程中海拔高度与玻璃爆裂后立即返回地面所用时间关系图．根据图象回答以下问题：
(3)点A表示的意义是什么？返回途中飞机在2千米高空水平大约盘旋了几分钟？
(4)飞机发生事故时所在高空的温度是多少？
分析：(1)根据函数的定义：距离地面高度是自变量，所在位置的温度是因变量，
故答案为：距离地面高度，所在位置的温度；
(2)由题意得：y＝20−6h，
当x＝5时，y＝−10，
故答案为：y＝20−6h；−10；
解：(3)点A表示的意义是飞机下降到2千米高度时，所用时间为10分钟，随后在2千米高空水平盘旋.
从图象上看，点A横坐标为10分钟，盘旋结束时间为12分钟，因此盘旋时间为12-10=2(分钟).
(4)h＝2时，y＝20−6×2=20−12＝8，
即飞机发生事故时所在高空的温度是8摄氏度．
设计意图：通过生活化实例，让学生体验函数建模过程，巩固函数解析式求解与应用，提升数据分析、逻辑推理能力，体会数学在解决实际问题中的价值.
课堂练习
【教材练习】
1.用列表法与解析法表示n边形的内角和m(单位：度)关于边数n的函数.
解：列表法：
解析式法：m=(n2)180°(n≥3且n为正整数)
2.用解析法与图象法表示等边三角形的周长C关于边长a的函数.
解：解析式法：等边三角形的周长C关于边长a的函数为：C=3a(a＞0).
图象法：如右图所示.
3. 一条小船沿直线向码头匀速前进. 在0 min，2 min，4 min，6 min时，测得小船与码头的距离分别为200 m，150 m，100 m，50 m. 小船与码头的距离s (单位：m)是时间t (单位：min)的函数吗？如果是，写出函数解析式，画出函数图象，并计算小船到达码头用了多长时间.
解：小船与码头的距离s 是时间t 的函数，函数解析式为：s20025t(0≤t≤8).
其图象是右图中点A(0，200)和点B(8，0)之间的线段AB.
当s=0，20025t=0，解得t=8，即小船到达码头用了8min.
师生活动：教师引导学生结合多边形内角和、等边三角形周长及小船航行实例，自主尝试用列表、解析、图象法表示函数关系.学生独立完成练习，小组交流展示，师生共同点评，强化三种方法的应用与转化.
设计意图：通过典型实例练习，巩固函数三种表示法的掌握，体会不同方法的适用场景，提升数形结合与数学建模能力，检验知识学习效果，培养综合应用意识.
【限时训练】
1.下面说法中正确的是( )
A. 两个变量间的关系只能用关系式表示
B. 图象不能直观地表示两个变量间的数量关系
C. 借助表格可以表示出因变量随自变量的变化情况
D. 以上说法都不对
【答案】C
2.某校门口道路中间的隔离护栏及其示意图如图所示.已知每根立柱宽为0.2m，立柱间距为3m．
(1)请将下面的表格补充完整;
(2)设有x根立柱，护栏总长度为ym，则y与x之间的解析式是 ;
(3)求护栏总长度为93m时立柱的根数．
【答案】(1)6.6​；13
(2)y=3.2x-3
(3)护栏总长度为93m时立柱的根数为30.
3.干旱时节，某水库的蓄水量随着时间的增加而减小．干旱持续时间t(天)与蓄水量V(万m3)的变化情况如图所示，根据图象回答问题．

(1)这个图象反映了哪两个变量之间的关系？
(2)根据图象填表：
(3)当t取0至60之间的任一值时，对应几个V值？
(4)V可以看作t的函数吗？若可以，写出V与t之间关系的表达式．
【答案】解：(1)图象反映了干旱持续时间t与水库蓄水量V之间的关系．
(2)如下表：
(3)当t取0至60之间的任一值时，对应一个V值．
(4)V是t的函数．
根据图象可知，该水库初始蓄水量为1200万m3，干旱每持续10天，蓄水量相应减少200万m3．
由此可得出函数关系式为：V=1200−20010t=−20t+1200(0≤t≤60)．
4.一只蚂蚁在一个半圆形花坛的周边寻找食物，如图①，蚂蚁从圆心O出发，按图中箭头所示的方向，依次匀速爬完线段OA、半圆AB、线段BO后回到出发点．蚂蚁离出发点的距离s(m)与时间t(min)之间的关系如图②所示(注：圆周率π的值取3)
(1)花坛的半径是 m，a= ；
(2)当0≤t≤2时，直接写出s与t之间的关系式；
(3)若沿途只有一处有食物，蚂蚁在找到食物后停下来吃了2 min，并且蚂蚁在吃食物的前后，始终保持爬行且爬行速度不变，请你求出：
①蚂蚁停下来吃食物的地方离出发点O的距离；
②蚂蚁从圆心O出发再返回点O所需的时间．
【答案】(1)由图可知，花坛的半径是4 m，蚂蚁的速度是4÷2=2(m/min)，则a=(4+4π)÷2=(4+4×3)÷2=8(min)．
故答案为：4；8
(2)0≤t≤2时，蚂蚁的速度为2 m/min，则s=2t．
故答案为：s＝2t(0≤t≤2)
(3)①由题图可知：蚂蚁在BO段吃食物，因为蚂蚁从B处爬了11-8-2＝1(min)，然后找到食物，所以蚂蚁停下来吃食物的地方离出发点O的距离为4-1×2＝2(m)．
②因为蚂蚁停下来吃食物的地方离出发点O的距离为2 m，2÷2＝1(min)，所以蚂蚁返回点O所需的时间为11+1＝12(min)．
5.综合与实践
如图1所示的长方形ABCD的一边DC做左右匀速平移运动，图2反映了它的边BC的长度l(cm)随时间t(s)变化而变化的情况．
请解答下列问题：
(1)观察图2，起始时，边BC的长度是 ，请你根据图象呈现的规律写出0至5秒间l(cm)与t(s)之间的关系式为 ;
(2)根据图2，请描述一下边DC的运动情况;
(3)如表反映了在边DC运动的过程中，长方形ABCD的面积S(cm2)随时间t(s)变化的情况．
根据表中呈现的规律，解答下列问题：
①AB的长是____;
②表格中a的值是____;
③写出8至14秒间S(cm2)与t(s)之间的关系式．
【答案】(1)8cm； l=2t+8
(2)由图2可知,当0≤t