初中数学22.2 函数的表示第1课时教学设计

这是一份初中数学22.2 函数的表示第1课时教学设计，共37页。教案主要包含了教材分析，学情分析，教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。
第1课时

一、教材分析
本节课是人教版八年级下册第二十二章《函数》中22.2函数的表示的核心内容，是函数概念学习的关键延伸，在初中函数知识体系中起到承上启下的作用.
承上：承接上一节“函数的概念”，将抽象的函数定义(变量的对应关系)转化为直观的图象表示，完成从“数”到“形”的转化，深化对函数本质的理解；
启下：为后续一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质学习奠定方法基础，是学生掌握“数形结合”思想的入门课，也是初中数学核心素养(几何直观、数学抽象)培养的重要载体.
教材先回顾函数的三种表示方法(解析式、图象、表格)，以正方形面积S=x2 (x>0)为例，说明用图象表示函数的直观性，引出本节课主题；通过例1的两个典型函数，完整示范“列表描点连线”的描点法画图步骤，让学生掌握操作流程；在例题基础上，总结用描点法画函数图象的一般步骤，形成通用方法；最后通过课后练习，让学生自主画图、判断点与图象的位置关系、分析函数增减性，实现知识的内化与迁移.

二、学情分析
已有基础： 学生已经掌握了平面直角坐标系的相关知识，能准确根据坐标描点、由点写坐标；已经学习了函数的基本概念，理解了自变量、函数值的对应关系，能识别简单的函数解析式；具备初步的表格数据处理能力，能根据解析式计算对应函数值.
存在困难：①数形转化困难：难以将抽象的函数解析式与直观的图象建立对应关系，无法理解“图象上的点与函数值一一对应”的本质；
②操作细节易错：描点时坐标对应错误、连线时用折线代替平滑曲线、忽略自变量的取值范围；③性质理解模糊：能画出图象，但无法准确描述函数的变化趋势(增减性)，难以将图象的“升降”
与变量的“大小变化”对应起来.
认知特点：八年级学生处于具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的阶段，对直观的图象、操作类活动接受度高，对抽象的数学思想(数形结合)理解需要具象化支撑；好奇心强，喜欢动手操作，但注意力易分散，需要通过实例、活动引导其聚焦核心知识；具备一定的合作探究能力，但自主归纳、提炼方法的能力不足，需要教师引导总结.

三、教学目标
1.理解函数图象的概念，明确“函数图象上的点与自变量、函数值的一一对应关系”.
2.掌握用描点法画函数图象的一般步骤(列表、描点、连线)，能画出简单函数的图象；能根据函数图象分析函数的变化趋势(增减性)，判断点是否在函数图象上.
3.通过动手画图、观察分析，提升几何直观能力、动手操作能力和归纳总结能力.
4.感受函数图象的直观美，体会数学知识的内在联系，激发学习函数的兴趣..

四、教学重难点
重点：理解函数图象的概念，明确“函数图象上的点与自变量、函数值的一一对应关系”；
难点: 掌握用描点法画函数图象的一般步骤(列表、描点、连线)，能画出简单函数的图象；能根据函数图象分析函数的变化趋势(增减性)，判断点是否在函数图象上.

五、教学过程
情境导入
生活中有很多函数关系难以列式子表示，通常用图来直观地反映，以使人们快速获取想要的信息.
一周内气温随时间的变化
股票的价格随时间的变化
运动过程中心率随时间的变化
对于能用解析式表示的函数关系，如果也能画图表示，那么会使函数关系更直观.
师生活动：教师展示生活中气温、身高、心率的变化图象，提问：这些图象反映了什么变化关系?引导学生观察、发言，总结图象的直观性，引出本节课“函数的图象”主题.
设计意图：从生活实例切入，让学生感受函数图象的实用性，激发学习兴趣，体会数学与生活的联系，为后续学习函数图象的定义与画法做铺垫.
探究新知
活动一：探究函数图象的定义及画法
问题1：写出正方形的面积S与边长x的函数解析式.自变量x的取值范围是多少?
师生活动：教师提出正方形面积相关问题，引导学生回顾函数、自变量取值范围知识，组织小组讨论3个递进问题，师生共同梳理答案，明确点与函数值的对应关系.
答：S=x2
根据问题的实际意义，该自变量x的取值范围是x>0.
我们可以通过在平面直角坐标系中画图的方法来表示 S 与 x 的关系.
问题2：讨论以下问题：(1)怎样获得组成图形的点？
(2)怎样确定满足函数关系的点的坐标？
(3)自变量x的一个确定的值与它所对应的唯一的函数值S，是否唯一确定了一个点(x，S)呢？
答：（1）先确定点的坐标.
（2）取一些自变量的值，计算出相应的函数值.
（3）确定.因为每个点都代表x的值与S的值的一种对应.例如：点(2，4)表示当x=2时，S=4.
设计意图：以熟悉的正方形为载体，从解析式过渡到图象，层层递进突破函数图象的本质，为后续描点法画图奠基，培养学生数形结合思想
(1)计算并填写下表.
答：
(2)画出上面表格中各对数值所对应的点.
(3)连接这些点.
用空心圆圈表示不在曲线的点.
注意：因为 x=0 不在 x 的取值范围之内，所以点(0，0)不在函数图象上，故用空心圈表示它，如果这点在函数图象上，则要画成实心点.
师生活动：教师引导学生计算填表、描点连线，示范空心圈的用法，提问函数点的无限性，师生共同归纳函数图象定义与画图注意事项，学生动手操作、交流总结.
问题3：函数 S = x2 表示的所有的点都要在曲线上描出来吗？
还有无数个点，所以曲线不能在(4，16)这个点停止，要继续画.
答：表示x与S的对应关系的点有无数个，但是实际上我们只能描出其中有限个点，同时想象出其他点的位置.
函数的图象：一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.
右图的曲线即函数 S＝x2（x＞0）的图象．
注意：函数的图象可以是直线、射线、线段，也可以是曲线.
总结：画函数的图象需要注意以下四点：
(1)自变量的取值不宜过大或过小，尽可能取整数．
(2)列表中的自变量的值、函数值分别对应着该点的横、纵坐 标，防止出现横、纵坐标颠倒的错误．
(3)连线时，要用平滑的线按照横坐标从小到大（或从大到小）进行．
(4)图象有端点时，要注意端点值是否能取到，能取到时画实心圆点，不能取到时画空心圆圈．
设计意图：通过完整的描点法实践，让学生掌握画图步骤，理解函数图象的本质，强化数形结合思想，培养规范作图的习惯，突破教学重难点.
应用新知
【教材例题】
师生活动：教师出示例题，引导学生分析自变量范围、列表计算，示范描点连线，组织学生观察图象总结增减性，师生共同归纳描点法三步，学生动手操作、交流分享.
例1 在下列式子中，y是x的函数.画出这些函数的图象，通过图象观察函数与自变量的关系.
(1) y＝x＋0.5； (2) y＝3x(x＞0).
解：(1)从式子y＝x＋0.5可以看出，x取任意实数时这个式子都有意义，所以x的取值范围是全体实数.
从x的取值范围中选取一些数值，算出y的对应值，列表.
根据表中数值在平面直角坐标系中描点(x，y)，并用平滑曲线连接这些点.
从函数y＝x＋0.5图象可以看出，直线从左向右上升，即当x由小变大时，y随之增大.
(2) y＝3x (x＞0)中x的取值范围是全体正实数，从x的取值范围中选取一些数值，算出y的对应值，列表.
根据表中数值在平面直角坐标系中描点(x，y)，并用平滑曲线连接这些点(如图).
从函数y＝ 3x(x＞0)的图象可以看出，曲线从左向右下降，即当x由小变大时， y随之减小.
总结：描点法画函数图象的一般步骤：
第一步，列表——表中给出一些自变量的值及其对应的函数值；
第二步，描点——在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点；
第三步：连线——按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来.
设计意图：通过实例，巩固描点法画图技能，让学生体会图象的直观性，深化函数增减性理解，落实数形结合思想，规范作图步骤.
【经典例题】
师生活动：教师出示例2、例3，引导学生推导解析式、确定自变量范围，自主计算填表、描点画图，组织交流图象特征，师生共同总结数形结合研究函数的方法，学生动手探究、分享思路.
例2 已知矩形的一组对边长是x cm，另一组对边长是(x+1)cm. 设矩形的周长是y cm，画出y关于x的函数图象.
解：依题意，得函数的解析式为y＝2x＋2(x+1) ＝4x+2，其中自变量的取值范围是x>0. 列表如下：
描点、连线，得函数y＝4x+2(x>0) 的图象，如图所示.
注意：由于自变量不能取零，故此处点用空心圆表示.
总结：画几何问题的函数图象时，要准确判断自变量的取值范围.此题中由于x是矩形的一组对边长，因此x是正数，所以函数图象只是x轴正半轴上方的部分.
例3小莉根据学习函数的经验，对函数y=xx−2−3的图象进行了探究．下面是小莉的探究过程，请补充完整：
(1)下表是x与y的几组对应值．请直接写出：m= ；n= ；
(2)在平面直角坐标系中，描出上表中的点，然后用平滑的曲线连接起来，画出函数的图象：
(3)由图象可知，当y=−2.7时，对应的自变量x有 个值．
分析：(1)当x=0时，y=0×0−2−3=−3，即m=−3；
当x=3时，y=3×3−2−3=0，即n=0，
故答案为：−3，0．
答：−3，0．
解：(2)描点，连线，函数的图象如图所示：
分析：（3）根据图象即可求解．
如图，作一条直线y=−2.7，交函数y=xx−2−3的图象于3点，
∴当y=−2.7时，对应的自变量有3个.
答：3
总结：通过图象，可以数形结合地研究函数．
函数图象是一条由点组成的线（直线或曲线），其中所有点的横坐标的集合恰好是自变量的取值范围，各点的纵坐标分别是自变量取值为对应横坐标时的函数值．
设计意图：通过几何实际问题与分段函数实例，强化描点法应用，深化自变量范围意识，提升学生数形结合能力，拓展函数认知，培养探究精神.
课堂练习
【教材练习】
1.(1)画出函数y=2x1的图象；
(2)判断点A(-2.5，-4)，B(1，3)，C(2.5，4)是否在函数y=2x-1的图象上.
解：(1)从式子y=2x1可以看出，x取任意实数时这个式子都有意义，所以x的取值范围是全体实数.
从x的取值范围中选取一些数值，算出y的对应值，列表.
根据表中数值描点(x，y)，并用平滑曲线连接这些点.
(2)当x＝－2.5时，y＝－6，
所以点A(－2.5，－4)不在函数y＝2x－1的图象上；
当x＝1时，y＝1，
所以点B(1，3)不在函数y＝2x－1的图象上；
当x＝2.5时，y＝4，
所以点C(2.5，4)在函数y＝2x－1的图象上．
总结：判断点P(x，y)是否在函数图象上的方法：将点P(x，y) 的x，y值代入函数表达式：
满足：在图象上.
不满足：不在图象上.
2.(1)画出函数y=x2+1的图象;
(2)观察函数y=x2+1的图象，当x0时呢?
解：(2)y=x2+1中x的取值范围是全体实数，从x的取值范围中选取一些数值，算出y的对应值，列表.
根据表中数值描点(x，y)，并用平滑曲线连接这些点.
当x0时，y随着x的增大而增大.
师生活动：教师出示教材练习，引导学生自主完成函数图象绘制与点的判断，组织学生交流作图思路与增减性分析，师生共同总结判断点在函数图象上的方法，巩固描点法技能.
设计意图：通过分层练习，强化描点法画图能力，深化函数图象与解析式的联系，培养学生数形结合思想，提升学生分析函数增减性的能力，夯实课堂所学知识.
【限时训练】
1.函数y=x−1−1的图像如图所示，点A−3,y1和B3,y2均在该函数图像上，则y1 y2.(用“>”“=”或“
【解析】把点A−3,y1代入函数解析式得：y1=−3−1−1=3，
把点B3,y2代入函数解析式得：y2=3−1−1=1，
∴y1>y2；
故答案为>．
2.已知点P(3,a)，Q(b,1)都在y=x−1的图象上，则a+b= ．
【答案】4
3.如图，正方形ABCD的边长为4，P为边DC上的一点.设DP=x，求△APD的面积y与x之间的函数关系式，并画出这个函数的图象.
【答案】解：y=12×4x，即y=2x(0