数学人教版（2024）第二十二章 函数22.1 函数的概念第2课时教案及反思

这是一份数学人教版（2024）第二十二章 函数22.1 函数的概念第2课时教案及反思，共14页。教案主要包含了函数的概念，自变量，函数值等内容，欢迎下载使用。
《22.1 函数的概念（第2课时）》教学设计
课型
新授课☑ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析
本课是第22章《函数》的核心概念课，承接上一课时常量与变量的学习，是学生从“变量”走向“函数”的关键一步，也是整个初中函数体系的逻辑起点．教材通过解析式、图象、表格三种形式的实例，帮助学生理解“对于自变量的每一个确定的值，函数有唯一确定的值与之对应”的本质特征．本节课的学习，不仅为后续函数解析式、图象、性质及各类具体函数的学习奠定概念基础，更能培养学生的抽象概括能力与对应思想，为高中函数学习搭建认知桥梁，是实现从常量数学到变量数学跨越的重要载体．
学习者分析
学生已初步掌握常量与变量的概念，能识别变化过程中的变量，但对变量间的“对应关系”缺乏系统认知．他们对生活实例、图象、表格等直观形式的问题接受度较高，但对“唯一确定”这一抽象核心特征的理解易出现偏差，容易混淆“一个自变量对应一个函数值”与“一个函数值对应一个自变量”的区别．学生的抽象思维仍在发展中，需要通过大量辨析、实例分析，逐步建立函数的对应思想，为后续学习扫清概念障碍．
教学目标
1．理解函数的定义，掌握“一个自变量对应唯一函数值”的核心特征．
2．能判断两个变量是否构成函数关系，准确指出自变量与函数．
3．结合图象、表格识别函数关系，初步建立对应思想．
教学重点
理解函数的定义，掌握“自变量的每一个确定值对应唯一函数值”的核心特征，能准确判断变量间的函数关系．
教学难点
理解“唯一确定”的含义，在图象、表格、解析式等多种形式中，准确识别变量间的函数关系，建立对应思想．
学习活动设计
教师活动
学生活动
环节一：学习目标
教师活动1：
师出示学习目标：
1．理解函数的定义，掌握“一个自变量对应唯一函数值”的核心特征．
2．能判断两个变量是否构成函数关系，准确指出自变量与函数．
3．结合图象、表格识别函数关系，初步建立对应思想．
学生活动1：
学生齐声读本课的学习目标
活动意图说明：
明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性．
环节二：新知导入
教师活动2：
问题：1．在一个变化过程中，什么是常量？什么是变量？
答案：一般地，在一个变化过程中，我们称数值始终不变的量为常量，数值发生变化的量为变量．
2．如何判断一个量是常量还是变量？
答案：判断一个量是常量还是变量，关键是看在某个变化过程中，这个量的取值是否发生变化，即要抓住一个“变”字，不变就是常量，变化就是变量．
学生活动2：
学生积极回答问题
活动意图说明：
通过复习常量和变量的相关知识，为学习函数的概念做好准备
环节三：新知讲解
教师活动3：
思考：第90页“思考”的问题（1）～（4）中各有两个变量，每个问题中的两个变量之间有什么关系？如何表示这种关系？
问题（1）：汽车以60km/h的速度匀速行驶，当行驶时间t分别为1h，2h，5h时，行驶路程s分别为多少？s的值随t的值的变化而变化吗？
解：两个变量是t和s，s随t的变化而变化．每当t取定一个值时，s就有唯一确定的值与其对应．其中，当t＝1时，s＝60；当t＝2时，s＝120；当t＝5时，s＝300……．它们之间的关系可以用s＝60t表示．
问题（2）：电影票的售价为40元/张．第一场售出80张票，第二场售出105张票，第三场售出180张票，三场电影的票房收入各是多少元？设一场电影售出x张票，票房收入为y元，y的值随x的值的变化而变化吗？
解：两个变量是x和y，y随x的变化而变化．每当x取定一个值时，y就有唯一确定的值与其对应．其中，当x＝80时，y＝3200；当x＝105时，y＝4200；当x＝180时，y＝7200．它们之间的关系可以用y＝40x表示．
问题（3）：你见过水中的涟漪吗？如图所示，圆形水波慢慢地扩大．在这一过程中，当圆的半径r分别为10cm，20cm，30cm时，圆的面积S分别为多少？S的值随r的值的变化而变化吗？
解：两个变量是r和S，S随r的变化而变化．每当r取定一个值时，S就有唯一确定的值与其对应．其中，当r=10时，S=100π；当r=20时，S=400π；当r=30时，S=900π……它们之间的关系可以用S=πr2表示．
问题（4）：长方体的体积为1000cm3，当长方体的底面积S分别为50cm2，100cm2，125cm2时，高h分别为多少？h的值随S的值的变化而变化吗？
解：两个变量是S和h，h随S的变化而变化．每当S取定一个值时，h就有唯一确定的值与其对应．其中，当S=50时，h=20；当S=100时，h=10；当S=125时，h=8……它们之间的关系可以用ℎ=1000S ​表示．
归纳：上面每个问题中的两个变量，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就有唯一确定的值与其对应．
指出：一些用图或表格表达的问题中，也能看到两个变量之间有上面那样的关系．
思考：（1）潮汐是指海水在月球和太阳引力作用下发生的周期性涨落现象．我国某港口潮水的高度（简称潮高）在某时段的变化如图所示，时间与潮高分别记作变量t与h．这两个变量之间有什么关系？
预设：两个变量是t和h，h随t的变化而变化．每当t取定一个值时，h就有唯一确定的值与其对应．
（2）某年某银行整存整取的存款期限与对应的年利率如表所示，存款期限与年利率分别记作变量x和y．这两个变量之间有什么关系？
预设：两个变量是x和y，y随x的变化而变化．每当x取定一个值时，y就有唯一确定的值与其对应．
归纳：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数．如果当x＝a时y＝b，那么b叫作当自变量的值为a时的函数值．
说一说：结合函数的概念，在下面的这个变化过程中，自变量是什么？谁是谁的函数？对应的函数值又是什么呢？
（1）汽车以60km/h的速度匀速行驶，当行驶时间t分别为1h，2h，5h时，行驶路程s分别为多少？s的值随t的值的变化而变化吗？
解：在这个变化过程中，时间t是自变量，路程s是t的函数，当t＝1时，函数值s＝60，当t＝2时，函数值s＝120 ．
（2）潮汐是指海水在月球和太阳引力作用下发生的周期性涨落现象．我国某港口潮水的高度（简称潮高）在某时段的变化如图所示，时间与潮高分别记作变量t与h．这两个变量之间有什么关系？
解：在图中，时间t是自变量，潮高h是t的函数，当t＝18时，函数值h＝158；在表中，存款期限x是自变量，年利率y是x的函数，当x＝12时，函数值y＝1.45％．
归纳：要判断y是不是x的函数，关键是看自变量x每取一个确定的值时，函数y是否都有唯一确定的值与其对应．若有唯一确定的值，则y是x的函数，否则y就不是x的函数．
学生活动3：
学生先独立思考，然后小组合作探究班内交流后认真听老师的点评和讲解
活动意图说明：
通过解析式、图象、表格三种形式的实例，引导学生发现 “自变量取定一个值，函数有唯一确定值对应” 的本质，理解函数定义．例题借助潮汐图象、存款利率表辨析函数关系，突破抽象概念难点，建立对应思想．
环节四：课堂小结
教师活动4：
问题：本节课你都学习到了哪些知识？
教师通过学生的回答，进行归纳
学生活动4：
学生积极回顾本节课学习到的知识
活动意图说明：
通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系．
板书设计
课题：22.1函数的概念（第2课时）
一、函数的概念
二、自变量
三、函数值
教师板演区
学生展示区
课堂练习
【知识技能类练习】
必做题：
1．某居民小区电费标准为0.6元/千瓦时，收取的电费y（元）和所用电量x（千瓦时）之间的关系式为y=0.6x，则下列说法正确的是（ ）
A．x是自变量，0.6是函数B．0.6是自变量，x是函数
C．x是自变量，y是因变量D．y是自变量，x是函数
答案：C
2．某地进入5月份后，温度随着日期的变化而逐渐升高，在这个过程中，自变量是________．
答案：日期
3．购买一些铅笔，单价为0.2元/支，总价y元随铅笔支数x变化．指出其中的常量与变量，自变量与函数，并写出表示函数与自变量关系的式子．
解：由题意得：y=0.2x（x是正整数），y是x的函数，
∴常量0.2，变量x，y，自变量x，函数y．
选做题：
4．某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据如下：
温度（℃）
−20
−10
0
10
20
30
声速（m/s）
318
324
330
336
342
348
下列说法错误的是（ ）
A．在这个变化中，自变量是温度，声速是温度的函数
B．温度越低，声速越慢
C．当温度每升高10℃时，声速增加6m/s
D．当空气温度为40℃时，声音可以传播354m
答案：D
【综合拓展类练习】
5．某电影院地面的一部分是扇形，座位按下列方式设置：
排数
第1排
第2排
第3排
第4排
…
座位数
60
64
68
72
…
(1)在上述变化过程中，自变量是什么？自变量的函数是什么？
(2)写出座位数s与排数n的函数关系式；
(3)若某排有124个座位，则该排是第几排？
解：（1）在上述变化过程中，自变量是排数，自变量的函数是座位数．
（2）由表格可知，第1排的座位数为60，往后每增加一排，座位数增加4个，所以座位数s与排数n的函数关系式为：s=4n+56．
（3）令4n+56=124，
解得n=17．
答：若某排有124座，则该排的排数是17．
作业设计
【知识技能类作业】
必做题：
1．健康骑行，快乐同行．周末，淇淇从家出发，以10km/h的速度匀速骑行，用时xh骑行ykm，自变量是（ ）
A．10km/hB．用时xhC．骑行ykmD．用时xh和骑行ykm
答案：B
2．某公司销售部门发现，该公司的销售收入随销售量的变化而变化，在这个变化过程中，自变量是__________ ．
答案：销售量
3．下列问题中哪些量是自变量？哪些是自变量的函数？试写出函数的表达式
(1)小明每分钟走50m，他行走的路程sm随时间tmin的变化而变化；
(2)一根弹簧的原长为10cm，挂上重物后弹簧的长度ycm随所挂重物的质量xkg的变化而变化，每挂1kg物体，弹簧伸长0.5cm；
(3)一个长方体盒子的高为30cm，底面是正方形，底面边长acm改变时，该长方体盒子的体积Vcm3也随之改变．
解：（1）根据题意可得，s=50t，其中t是自变量，s是t的函数；
（2）根据题意可得，y=0.5x+10，其中x是自变量，y是x的函数；
（3）根据题意可得，V=30a2，其中a是自变量，V是a的函数．
选做题：
4．假期小战一家自驾游黑龙江省，爸爸开车到加油站加油，小战发现加油机上的数据显示牌金额随着油量的变化而变化，如图，这是他所用的加油机上某一时刻的数据显示牌，则下列判断正确的是（ ）
178.00
金额/元
20.00
油量/升
8.90
单价/（元/升）
A．金额是自变量B．单价是自变量C．178和20是常量D．金额是油量的函数
答案：D
【综合拓展类作业】
5．草莓销售季节，某种植基地开发了草莓采摘无人销售方式，为方便小朋友体验，销售人员把草莓销售数量xkg与销售总价y（元）之间的关系表格贴在了无人销售店的墙上：
销售数量xkg
1
2
3
4
……
销售总价y（元）
8.5
16.5
24.5
32.5
…
(1)表格中的两个变量，哪个是自变量？哪个是自变量的函数？
(2)请写出销售总价y（元）关于销售数量xkg的函数关系式；
(3)丽丽一家共摘了6.5kg草莓，应付多少钱？
解：（1）表格中的两个变量，销售数量（x）是自变量，销售总价（y）是自变量的函数．
（2）销售数量x每增加1kg，销售总价y增加8元，其中0.5元是必须要支付的，由此销售总价y关于销售数量x的函数关系式为：y=8x+0.5．
（3）根据题意得，x=6.5，
应付的钱数为：y=8×6.5+0.5=52.5（元）．
教学反思
本节课通过多种形式的实例辨析，学生对函数定义的理解较为到位，但部分学生仍对“一个自变量对应唯一函数值”的反向关系存在混淆．后续教学中，可增加反例对比辨析题，强化对“唯一确定”的本质理解；同时，可多引导学生用自己的语言描述函数关系，加深对概念的内化，为后续函数表示方法的学习做好铺垫．