初中数学人教版（2024）九年级上册（2024）25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系教学ppt课件

这是一份初中数学人教版（2024）九年级上册（2024）25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系教学ppt课件，共35页。PPT课件主要包含了学习目标，知识回顾，新知导入，新知探究，代数式变形求值，参数解决综合问题，典例分析，新知巩固，拓展提升，真题感知等内容，欢迎下载使用。
经历“计算观察—猜想归纳—严谨证明—应用拓展”的探究过程，提升从特殊到一般的归纳推理能力、代数逻辑证明能力，体会数形结合、整体代入的数学思想.
在自主探究与合作交流中感受数学规律的简洁性与统一性，培养严谨的数学思维习惯；通过定理的推导与应用，增强学习代数知识的兴趣，提升自主探究、合作解题的自信心.
答：常用的解法有直接开平方法、配方法、公式法以及因式分解法，每种方法都有其适用的场景。
任务挑战：请同学们快速解下列方程，求出两根 x₁, x₂，并计算两根之和 x₁+x₂ 与两根之积 x₁·x₂ 的值，看看能发现什么有趣的规律？
解：因式分解得： (x-2)(x-3)=0，∴x₁=2，x₂=3两根之和：x₁+x₂ = 2 + 3 =5两根之积：x₁·x₂ = 2 × 3 =6
解：因式分解得 (x+4)(x-1)=0，∴x₁=－4，x₂=1两根之和：x₁+x₂ = －4 + 1 =-3两根之积：x₁·x₂ = (－4) × 1 =－4
思考：观察每个方程的系数与两根之和、之积，你能找到它们之间的对应关系吗？
（1）猜想的规律是否适用于所有有实数根的一元二次方程？怎样进行推导.完成下列填空
对于一般形式一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当b2-4ac≥0时，
两根分别为：x1= ，x2= 。
两根之和： x1+x2= = = = .
两根之积： x1x2= = = = .
一元二次方程根与系数的关系定理
核心前提：方程必须有实数根即 根的判别式 Δ = b² - 4ac ≥ 0，否则方程无实数根，定理不适用。
特殊形式 (当二次项系数 a=1 时)方程简化为 x² + px + q = 0， x₁ + x₂ = -p ， x₁ · x₂ = q
两根之和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比.
弗朗索瓦·韦达 (Françis Viète)法国杰出数学家，“代数学之父”。他第一个有意识地、系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，推动了符号代数的发展。
一元二次方程根与系数的关系定理由发过数学家韦达发现的，这个定理又被成为韦达定理
1.判断下列说法是否正确.
（1）方程 x² + 2x + 3 = 0 的两根和为 -2，两根积为 3。
∵ Δ = 2² - 4×1×3 = -8 < 0，∴方程没有实数根。韦达定理描述的是实数根之间的关系，因此在此处不适用。
结论：错误 (×) —— 无实根，定理不适用
结论：正确 (√) —— 计算结果与定理一致
与一元二次方程有关的代数式的常见变形：
（1）x2–3x=15；
（2）3x2+2=1–4x；
3.不解方程，求下列方程两个根 x1，x2 的和与积：
解：（1）方程化为 x2–3x–15=0， ∴ x1+x2 = – (–3) = 3， x1x2 = – 15.
（3）5x2–1=4x2–x；
（4）2x2–x+2=3x+1.
解：（3）方程化为 x2+x–1=0， ∴ x1+x2 = –1， x1x2 = – 1.
1．（2025•湖北）一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两个实数根为x1，x2，下列结论正确的是（　　）A．x1+x2＝﹣4B．x1+x2＝3C．x1x2＝4D．x1x2＝3
2．（2025•绥化）已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2025x+1＝0的两个根，则（m+1）（n+1）＝　　 ．解：∵m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2025x+1＝0的两个根，由根于系数关系定理得：∴m+n＝2025， mn＝1，∴（m+1）（n+1）＝mm+（m+n）+1＝1+2025+1＝2027，
3．（2025•眉山）已知方程x2﹣2x﹣5＝0的两根分别为x1，x2，则（x1+1）（x2+1）的值为　　 ．解：由题意，∵方程x2﹣2x﹣5＝0的两根分别为x1，x2， ∴x1+x2＝2，x1x2＝﹣5． ∴（x1+1）（x2+1） ＝x1x2+（x1+x2）+1 ＝﹣5+2+1＝﹣2．
4．（2025•广安）已知方程x2﹣5x﹣24＝0的两根分别为a和b，则代数式a2﹣4a+b的值为 　　 ．解：∵方程x2﹣5x﹣24＝0中的两根分别为a、b，∴a+b＝5，a2﹣5a﹣24＝0．∴a2﹣5a＝24，∴a2﹣4a+b＝a2﹣5a+a+b，＝24+5，＝29
5．（2025•泸州）若一元二次方程2x2﹣6x﹣1＝0的两根为α，β，则2α2﹣3α+3β的值为　　 ．解：将x＝α代入原方程得：2α2﹣6α﹣1＝0，∴2α2﹣6α＝1．∵一元二次方程2x2﹣6x﹣1＝0的两根为α，β，∴α+β＝3，∴2α2﹣3α+3β＝（2α2﹣6α）+3（α+β）＝1+3×3＝10．
6．（2025•南充）设x1，x2是关于x的方程（x﹣1）（x﹣2）＝m2的两根．（1）当x1＝﹣1时，求x2及m的值．（2）求证：（x1﹣1）（x2﹣1）≤0．
（2）方程（x﹣1）（x﹣2）＝m2可化为x2﹣3x+2﹣m2＝0．∵Δ＝9﹣4（2﹣m2）＝4m2+1＞0，∴方程有两个不相等的实数根．∵方程（x﹣1）（x﹣2）＝m2即x2﹣3x+2﹣m2＝0的两根为x1、x2，∴x1+x2＝3，x1•x2＝2﹣m2．∴（x1﹣1）（x2﹣1）= x1•x2－（ x1+x2 ）+1＝2﹣m2﹣3+1＝﹣m2．∵m2≥0，∴﹣m2≤0，即（x1﹣1）（x2﹣1）≤0．
（1）特殊到一般：从具体方程猜想规律，再推导一般公式，是代数探究的核心方法；（2）整体代入：将复杂代数式变形为两根和、两根积的整体形式代入计算，简化运算；（3）转化思想：将陌生的代数式求值问题转化为熟悉的根系关系基础问题.
7.求下列方程两个根 x1，x2 的和与积：
（1）x2–3x+2=10；
（2）5x2+x–5=0；
解：（1）方程化为 x2–3x–8=0， ∴ x1+x2 = – (–3) = 3， x1x2 = – 8.
（3）x2+x=5x+6；
（4）7x2–5=x+8.
（3）方程化为 x2–4x–6=0， ∴x1+x2 = – (–4) = 4， x1x2 = – 6.
12. （1）因为 x3–8x2+19x–12=(x–1)(x–3)(x–4)，所以 1，3，4 是一元三次方程 x3–8x2+19x–12=0 的三个根，计算1+3+4，1×3+3×4+4×1，1×3×4 的值，它们与一元三次方程 x3–8x2+19x–12=0 的系数有什么关系？
解：1+3+4=8，是该方程中二次项系数的绝对值； 1×3+3×4+4×1=19，是该方程中一次项系数的值； 1×3×4=12，是该方程中常数项的绝对值.
（2）如果一元三次方程 ax3+bx2+cx+d=0 有三个实数根 x1，x2，x3，那么 ax3+bx2+cx+d 可以化为 a(x–x1)(x–x2)(x–x3).由此你能发现根 x1，x2，x3 与一元三次方程的系数之间的关系吗？