第12讲 函数与方程 分类练习-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）【含解析】

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1.（2025·沧州运东五校·二模）函数f(x)=2x+lnx−1的零点所在的区间为（ ）
A. (0,12) B. (12,1) C. (1,32) D. (32,2)
【答案】B
【解析】因为y=2x与y=lnx−1均在定义域上单调递增，
所以f(x)=2x+lnx−1在(0,+∞)上单调递增，
又f(12)=2+ln12−1=2−1−ln2，
∵2−1lne=12，
∴f(12)=2−1−ln20，
∴函数f(x)的零点所在区间是(12,1).
【点拨】本题考查函数零点所在区间的判断，利用零点存在性定理，结合函数单调性与端点函数值符号进行判断即可.
2.（2026·泰安·一模）函数f(x)=(x−1)2x−26的零点所在的大致区间为（ ）
A. (1,2) B. (2,3) C. (3,4) D. (4,5)
【答案】C
【解析】因为f(x)=(x−1)2x−26，则f（1）=−260恒成立，
所以g(x)=lnx−1x+2−e单调递增，
又g（2）=ln2−12+2−e=ln2+32−e0，
所以x0∈(2,3).
【点拨】本题考查函数零点所在区间的判断，先求导化简方程，构造新函数，利用导数判断单调性，再结合零点存在性定理求解.
4.函数f(x)的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下：
f（1）=−2 f(1.5)=0.625 f(1.25)=−0.984
f(1.375)=−0.260 f(1.438)=0.165 f(1.4065)=−0.052
那么方程的一个近似解 (精确度为 0.1) 为（ ）
A. 1.5 B. 1.25 C. 1.41 D. 1.44
【答案】C
【解析】由所给数据可知，函数f(x)在区间(1,1.5)内有一个根，
因为f(1.5)=0.625>0，f(1.25)=−0.9840.1，所以不满足精确度，
继续取区间中点1.375，
因为f(1.375)=−0.2600，
所以根在区间(1.375,1.5)，
因为|1.5−1.375|=0.125>0.1，所以不满足精确度，
继续取区间中点1.438，
因为f(1.438)=0.165>0，f(1.375)=−0.2600时，由f'(x)=0，解得x=0或x=−2a，且有f（0）=−4，f(−2a)=4a2−4，
当x∈(−∞,−2a)，f'(x)>0，f(x)在区间(−∞,−2a)上单调递增；
当x∈(−2a,0)，f'(x)0，f(x)在区间(0,−2a)上单调递增；
当x∈(−2a,+∞)，f'(x)0，f(x)单调递增；
所以f(x)min=f(12lga(−12lna))=−12lna+12lga(−12lna)，
要使方程有两个不等实根，则f(x)min