2024年新高考数学一轮复习知识梳理与题型归纳第12讲函数与方程（教师版）

这是一份2024年新高考数学一轮复习知识梳理与题型归纳第12讲函数与方程（教师版），共9页。试卷主要包含了函数的零点，函数零点的判定等内容，欢迎下载使用。


知识梳理
1．函数的零点
(1)函数零点的定义：对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
(2)三个等价关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．
2．函数零点的判定
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是f(x)＝0的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理．
3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系
题型归纳
题型1函数零点所在区间的判断
【例1-1】函数的零点所在区间是
A．B．C．D．
【分析】由函数的解析式可得（1），（2）的符号，再根据函数零点的判定定理可得函数的零点所在的区间．
【解答】解：由于函数，
（1），（2），
（1）（2），函数是连续增函数，
函数的零点所在的区间是，
故选：．
【跟踪训练1-1】函数的零点所在区间为
A．B．C．D．
【分析】判断在递增，求得，，，（1）的值由零点存在定理即可判断．
【解答】解：因为函数，在时函数是连续增函数，
且有，，，（1），
可得在存在零点．
故选：．
【名师指导】
确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法
(1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．
(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．
题型2求函数零点的个数
【例2-1】函数的零点个数为
A．0B．1C．2D．3
【分析】条件等价于函数与函数图象交点个数，数形结合即可
【解答】解：令，可得，则条件等价于函数与函数图象交点个数，
分别作出两函数图象如下：
如图，两函数无交点，
故选：．
【例2-2】函数的零点个数为
A．2个B．4个C．6个D．8个
【分析】判断函数的奇偶性，利用零点判断定理转化推出零点个数．
【解答】解：函数，是偶函数，，时，，，，时，，时，，所以，时函数有2个零点，
，时，，时，，，函数有1个零点，
所以函数，的零点个数为6．
故选：．
【跟踪训练2-1】函数的零点个数是 ．
【分析】条件等价于与图象交点个数，数形结合即可．
【解答】解：令，即，
则函数零点个数等价于与图象交点个数，
作出两函数图象如图：
由图可得只有1个交点，
故答案为：1．
【跟踪训练2-2】已知，则函数的零点个数为 ．
【分析】作出函数的图象，数形结合即可
【解答】解：作出函数的图象如下：
由图可得，函数只有一个零点，
故答案为：1
【名师指导】
函数零点个数的判断方法
(1)直接求零点，令f(x)＝0，有几个解就有几个零点；
(2)零点存在性定理，要求函数f(x)在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数；
(3)利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数．
题型3函数零点的应用
【例3-1】已知以4为周期的函数满足，当时，，其中，若方程恰有5个根，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
【分析】根据条件函数是周期为4的函数，作出两个函数的图象，利用数形结合结合直线和曲线的相切问题，即可得到结论．
【解答】解：依题意，函数的周期为4，方程恰有5个根，等价为函数的图象与直线有5个交点，
作函数图象如下：
当时，，当时，，
当直线与，相切时，即方程有唯一解，化简得，则△，解得；
当直线与相切时，即方程有唯一解，化简得，则△，解得；
由图可知，实数的取值范围，．
故选：．
【例3-2】若函数在区间，内有且仅有一个零点，则实数的取值范围为
A．B．，C．D．
【分析】依题意，在，上有且仅有一个解，设，求导可知函数在，上单调递增，故（1），（2），由此求得的取值范围．
【解答】解：依题意，在，上有且仅有一个解，
设，则，
由（当且仅当时取等号）可知，当，时，函数单调递增，
当，时，，
，
．
故选：．
【例3-3】已知函数是定义域为的偶函数，且满足，当时，，，则函数所有零点的和为
A．3B．4C．5D．6
【分析】由为偶函数，且满足，可得函数为最小正周期为2，对称轴，画出函数的图象，又有题意可得关于对称，且有的范围可得时，（5），（3）的取值范围，进而可得，的交点情况，进而可得的零点情况．
【解答】解：函数是定义域为的偶函数，且满足，可得对称轴，所以可得周期，
又，可得也是关于对称，
令，可得，
在同一坐标系中在作与的图象如图所示：因为，，
所以（2），（5），与无交点，（3）与有两个交点，所以时，与有3个交点，
所以时，与有3对关于对称的点，所以所以交点之和为，即函数所有零点的和为6，
故选：．
【跟踪训练3-1】已知函数，函数是最小正周期为2的偶函数，且当，时，．若函数恰有3个零点，则实数的取值范围是 ．
【分析】做出的函数图象，令与的函数图象有3个交点，列不等式组求出的范围．
【解答】解：有3个零点，
与的函数图象有3个交点，
作出得函数图象如图所示：
若，即，则与的函数图象只有1个交点，不符合题意；
若，即，则与的函数图象有无数多个交点，不符合题意；
若，即，若与的函数图象有3个交点，则，且，
解得：．
故答案为：．
【跟踪训练3-2】关于的方程在区间上有三个不相等的实根，则实数的取值范围是
A．B．，C．D．，
【分析】由题意画出图形，可知当时，显然不满足题意；当时，利用导数求出直线与曲线相切时的直线的斜率，结合时直线在曲线上方求解．
【解答】解：关于的方程在区间上有三个不相等的实根，
即在区间上有三个不相等的实根，
也就是函数与在区间上有三个不同的交点，
当时，显然不满足题意；
当时，设直线与的切点为，，
切线方程为，代入，
可得，即，则，此时．
再由，可得．
关于的方程在区间上有三个不相等的实根，则实数的取值范围是．
故选：．
【跟踪训练3-3】已知函数，，则方程所有根的和等于
A．1B．2C．3D．4
【分析】在坐标系中画出两个函数的图象，判断函数的对称性，然后求解零点的和即可．
【解答】解：通过图象可以知道函数，图象都关于点对称，
并且两个函数图象有三个交点，所以和为3．
故选：．
【名师指导】
根据函数零点的情况求参数的方法
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解． Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0) 的图象
与x轴的交点
(x1，0)，(x2，0)
(x1，0)
无交点
零点个数
两个
一个
零个