第07讲 函数与方程（专项训练）（全国通用）（含答案）2026年高考数学一轮复习讲练测（全国通用）

这是一份第07讲 函数与方程（专项训练）（全国通用）（含答案）2026年高考数学一轮复习讲练测（全国通用），文件包含第07讲函数与方程专项训练全国通用原卷版上好课2026年高考数学一轮复习讲练测全国通用docx、第07讲函数与方程专项训练全国通用解析版上好课2026年高考数学一轮复习讲练测全国通用docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共40页， 欢迎下载使用。
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc17943" 01 常考题型过关练
\l "__x0001_ 01 零点所在区间的判断" 题型01 零点所在区间的判断
题型02 求零点个数
\l "__x0001_03 根据零点所在区间求参数范围" 题型03 根据零点所在区间求参数范围
\l "__x0001_ 04 比较零点的大小" 题型04比较零点的大小
题型05 零点个数的应用
题型06 函数与方程的综合
\l "__x0001__1" 02 核心突破提升练
\l "__x0001__2" 03 真题溯源通关练
01 零点所在区间的判断
1．函数的零点所在区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由零点存在定理结合函数单调性即可判断.
【详解】因为函数定义域为与均在上单调递增，
所以在上单调递增且连续，
又，即，
所以由零点存在定理可得的零点所在区间为.
故选：B.
2．已知函数，在下列选项中，包含零点的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用零点判断定理判断即可.
【详解】由函数为减函数，也为减函数，
函数为连续递减函数，
，
，由零点判断定理可得函数的零点所在区间为，
故选：C.
3．（多选）函数的零点所在的区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】在同一个坐标系中作出与的图象，根据函数的单调性和零点存在定理，结合选项中的给定区间逐一判断即得.
【详解】函数的定义域为，由可得，
于是函数的零点所在的区间即函数与函数的交点的横坐标所在区间.
如图作出两函数的图象如下：
对于A，时，因在上递增，在上递减，而在恒为增，
且，，故两函数在上必有交点，
即为原函数的一个零点所在区间，故A正确；
对于B，时，因在上递减，在上递增，且在上恒成立，
而在上恒为增，且，故两函数在上无交点，
即不是原函数的零点所在区间，故B错误；
对于C，时，因在上递增，在上递减，
而在上恒为增，且，，，
即两函数在有两个交点，即为原函数的零点所在的区间，故C正确；
对于D，时，情况与选项B相似，函数在上恒成立，
而在上恒为增，且，即两函数在上无交点，
即不是原函数的零点所在区间，故D错误.
故选：AC.
4．[多选题]教材中用二分法求方程的近似解时，设函数来研究，通过计算列出了它的对应值表如下：
分析表中数据，下列说法正确的是（ ）
A．B．方程有实数解
C．若精确度为0.1，则近似解可取为1.375D．若精确度为0.01，则近似解可取为1.4375
【答案】BC
【详解】函数显然在R上单调递增，最多有一个零点，又因为，所以函数的零点在区间上，即方程有实数解，故B正确；所以函数在区间上没有零点，即，故A错误；因为，所以函数的零点在区间上，又因为，所以若精确度为0.1，则近似解可取为1.375，故C正确；因为函数的零点在区间上，且，所以若精确度为0.01，则近似解不能取为1.4375，故D错误．
02 求零点个数
5．函数的零点个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】将变形为，从而转化为研究的性质判断零点个数.
【详解】易知0不是函数的零点，故，
令，则在，上单调递减，
又，，，，
故在，上各有一个零点，即零点个数为2，
故选：B．
6．已知函数，则函数的零点个数为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】A
【分析】令，由可得，，，分类讨论结合函数图象分析求解即可.
【详解】求函数的零点个数，即求方程的不同实数根的个数，
如图，作出函数的大致图象，
令，则，解得，，．
当时，，则，此时方程无解；
当时，，则，此时方程有3个不同实数根；
当时，，则，此时方程有2个不同实数根．
综上可知，函数的零点个数为5．
故选：A．
7．定义在区间的函数与的图像交点个数为 ．
【答案】4
【分析】在平面直角坐标系中，分别画出与的图像，根据图像即可求解.
【详解】在平面直角坐标系中，函数与的图像如图所示，
根据图像，可得函数与的图像交点个数为4.
故答案为：4.
8．函数的零点个数为 .
【答案】2
【分析】化简函数，所以函数的零点个数为函数与图象的交点的个数，分析函数和的单调性，结合图象，通过一些特殊值可知和只有两个交点，即函数的零点的个数为2.
【详解】因为，
所以函数的零点个数为函数与图象的交点的个数，
而，，
且，所以和在只有一个交点位于内，
同理可得和在也只有一个交点位于内，
画出图象如图所示，由图象知，函数的零点的个数为2.
故答案为：2.
03 根据零点所在区间求参数范围
9．已知是函数的零点，且，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分析函数的单调性，结合零点存在定理可得出结果.
【详解】因为函数、在上均为增函数，故函数在为增函数，
因为，，，则，
由零点存在定理可得，又因为，，故.
故选：B.
10．若函数在区间上有零点，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由函数有零点转化成函数与在区间上有交点，结合图象，易得不等式组，解之即得.
【详解】由可得，
则函数在区间上有零点等价于函数与在区间上有交点，
因在区间上为减函数，在区间上为增函数，如图所示.
由图知，需使，即，解得.
故答案为：.
11．已知函数有三个零点，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】分析函数的零点个数，利用导数法讨论函数的单调性与最值,再判断函数在每段上的零点个数,根据零点分布情况建立不等式组，求得实数的取值范围.
【详解】由题可得，函数最多只有一个零点.
若零点存在，则，解得，
又由，得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，
且当时，，
所以最多有两个零点.
因为有三个零点，所以有两个零点，
则，
解得，所以实数的取值范围为.
综上可得：实数的取值范围为.
故答案为：
12．已知，若在上有解，则的最小值是 ．
【答案】12
【分析】根据题意，的最小值即为原点到直线的距离的平方，从而求解．
【详解】因为函数，
又在上有解，
设这个解是，则，
则，即，
即点可看作在动直线上，则可转化为点到原点距离的平方的最小值．
则，令，，
则，
当且仅当，即时取等号，此时，
则．
故答案为：12.
04 比较零点的大小
13．已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】将函数的零点问题转化成两个函数图象的交点问题，三个函数的零点均可看成对应函数与图象交点的横坐标，根据函数图象可以得到的大小关系.
【详解】
的零点可以看成函数与图象交点的横坐标，根据函数图象可知，
同理的零点可以看成函数与图象交点的横坐标，根据函数图象可知，
的零点可以看成函数与图象交点的横坐标，可得，
因此，
故选：D.
【点睛】方法点睛：函数零点问题可以转化成两个函数图象的交点问题.
14．已知正数a，b，c满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】将转化为直线与曲线交点的横坐标，然后结合图象判断即可.
【详解】由，得，
由此可得是方程的根，
也是直线与曲线交点的横坐标；
同理，是直线与曲线交点的横坐标；
是直线与曲线交点的横坐标．
由于上述三条直线相交于点，曲线经过点，结合函数图象可得．
故选：D．
15．（多选）若实数都是一次函数的零点，则下列不等关系中可能成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】首先由条件转化为，再结合函数图象的交点情况，即可判断选项.
【详解】由题意可得，，即，在同一坐标系下作出的图象如图.
根据图象可知，时，，时，，有或，故B错误；
若，则，所以，故A正确；
若，则，所以，故D正确；
当时，单调递增，因为，所以，使得，所以，即，故C正确.
故选：ACD
16．（多选）已知函数，若，则下列说法正确的有（ ）
A．若，则成等比数列B．若，则成等比数列
C．若，则D．若，则
【答案】ACD
【分析】设当时，成等比数列，利用等比中项可知，代入解得，验证和时是否满足题意验证AB，利用作商法画出的大致图象，可看作对应函数与交点对应的横坐标，利用图象判断CD即可.
【详解】设当时，成等比数列，则，即，
由得，所以，
所以，解得，
经检验，当时，满足，
当时，，此时，不满足题意，故A正确，B错误；
因为在恒成立，在恒成立，
所以，在恒成立，
又，所以当时，，即，
当时，，即，
所以的大致函数图象如图所示，
由图象可知当时，由可得，
当时，由可得，CD正确；
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：选项CD的关键是将可看作对应函数与交点对应的横坐标，利用函数图象判断，数形结合.
05 零点个数的应用
17．函数恰有一个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据条件，将问题转化成与有且仅有一个交点，利用导数与函数单调性间的关系，求出的单调区间，进而求得图象，再数形结合，即可求解.
【详解】令，得到，则，显然，
得到，令，
则，
因为恒成立，
所以当时，，当时，，
即区间上单调递减，在区间和上单调递增，
又时，，，从左边趋近于时，，
从右边趋近于时，，时，，其图象如图，
由题知恰有一个零点，则与有且仅有一个交点，
由图知，，解得，
故选：C.
18．已知函数，若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据函数与方程的关系，将函数的零点个数问题转化为方程的根的个数问题，进一步转化为两函数的交点个数问题，结合函数图象观察，分类讨论即得.
【详解】解：由题意知，要使得恰有2个零点，即有两个实数根．
当时，，令，可得；
当时，，令，可得．
在同一坐标系下，作出函数，和的图象，
如图所示，
由函数，可得，可得时，，，
故函数在处的切线方程为，
又由函数，可得，可得时，，
故函数在的切线方程为，
所以函数与只有一个公共点，
结合图象得：当时，恰有3个零点；
当时，恰有2个零点；
当时，恰有3个零点，
要使得恰有2个零点，则满足，
所以实数的取值范围为．
故选：C.
19．已知函数，若存在实数，使函数恰有个零点，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】首先分析分段函数的单调性，然后画图，将“存在实数使得函数恰有3个零点”问题转化为函数与直线有三个交点的问题，结合图象即可求得的取值范围.
【详解】当时，，求导得，
所以在上单调递增，最大值为.
当时，.
当时，；当时，，
画出的图象如下：
因为存在实数使得函数恰有3个零点，这个问题可以转化为函数与直线有三个交点的问题.
由图可知时，存在实数使得函数与直线最多有2个交点，不合题意.
当时，存在实数使得函数与直线最多有2个交点，不合题意.
当时，由图可以知道，存在实数使得函数与直线恰有3个交点，符合题意.
故答案为：.
20．已知函数．若函数有三个零点，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】函数有三个零点，即与的图象有三个交点，即画出函数的图象，可求出答案.
【详解】若函数有三个零点，即与的图象有三个交点，
当时，，
当时，在有最大值4，
画出函数的图象，如下图，
由图可知，.
故答案为：.
21．已知函数.若函数存在5个零点，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】令，将问题转化为与、的交点，作出函数的大致图像，利用数形结合的思想即可求解.
【详解】函数的 零点，令，
解得，
将问题转化为与、的交点，
作出的大致图像，如下：

由图可知，函数存在5个零点，
则，解得，
故实数的取值范围为.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：将问题转化为与、的交点，作出函数的大致图像是关键，考查了数形结合的思想.
06 函数与方程的综合
22．关于的方程恰好有4个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】依题意将“方程恰好有4个不同的实数根” 转化为“直线与函数图象在恰好有两个不同的交点”，数形结合可得，解之即得.
【详解】由题意知，所以
，令，则得，
从而可转化为“直线与函数图象在恰好有两个不同的交点”.
而，当时，，当时，，
故在单调递增，在单调递减，
又∵，；当时，，
需使，即，
从而实数的取值范围为.
故选：D.
23．已知实数，是函数的两个零点，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据题意的零点，即函数与函数的交点，作图可初步判断，根据函数值可进一步判断，得到，再对通过判断的符号，得到即可.
【详解】根据题意的零点，即函数与函数的交点如图，
由图可得
，，
，，
，
，
综上，.
故选：B.
24．已知函数存在，使得，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】作出函数的图象，依题意即函数与直线的交点横坐标，利用函数解析式，结合图象易得，，，利用二次函数的性质即可求得的取值范围.
【详解】作出函数的图象，设，依题意，，
且，，解得，，
故，因函数在上单调递减，故，
即的取值范围是.
故答案为：.
25．已知函数若方程有且仅有5个不同实数根，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】作出函数的图像，令得解得或，利用数形结合即可求解.
【详解】由题意作出函数的图像，
由，令，有，
即，化简得，
解得或，若方程有且仅有5个不同实数根，
所以或，解得或，
即，所以，
故答案为：.
26．已知函数，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】分析函数的图象，再将恰有个零点转化为与的图象恰有个交点，进而求解的取值范围.
【详解】当时，，
当时，，
当时，；
当时， ，
直线恒过点，与的图象在不同区间的位置关系情况如图所示：
当直线过时，，；
当直线过时，， .
结合图象，当时，与恰有个交点.
所以实数的取值范围是 .
故答案为：.
27．设函数为常数，则下列命题中：
命题（1）：对任意实数，存在实数，使方程有两个不同的实数解；
命题（2）：存在实数，对任意实数，方程有两个不同的实数解；
命题（3）：存在实数，对任意实数，方程有两个不同的实数解；
命题（4）：对任意实数，存在实数，使方程有两个不同的实数解.真命题的个数是（ ）.
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】作出函数的图象，结合图象可得时，若，则，若，则，根据上述结论结合图象可以依次判断各命题真假.
【详解】作的图象：

当，由函数图象知，即，
当，由函数图象知，即，
对命题（1），任取实数，总存在实数，使，命题（1）成立；
对命题（2），若，当时，与的图象仅一个交点，
若，当时，取，此时与的图象仅一个交点，
若，当时显然不成立，故不存在满足条件的正实数，命题（2）为假命题；
对命题（3），由函数图象知，对固定的实数，若，则，若，则，
由于的图象在特定范围内与平行于轴的直线不恒有两个交点，故不满足任意性，命题（3）为假命题；
对命题（4），由函数图象知，对任意，只需取，都能使有两个解，故命题（4）成立.
故选：B．
28．（多选）已知函数的定义域为是奇函数，是偶函数，当时，，则（）
A．的图象关于直线对称B．是周期函数
C．在上单调递减D．在内有4个零点
【答案】AB
【分析】由是偶函数可得关于直线对称，由此判断A；由是奇函数可得关于点对称，结合A可推出的周期为8，由此判断B；由关于点对称及时，，可知在单调递增，由此判断C；根据函数的对称性和周期性可求出在内的零点个数，由此判断D.
【详解】对于A，是偶函数，，关于直线对称，故A正确；
对于B，由A可知关于直线对称，①，
又是奇函数，，即，
关于点对称，②，
由①②可得，即，
，
，
的一个周期为8，故B正确；
对于C，由B知关于点对称，
时，单调递增，
在也单调递增，故C错误；
对于D，定义域为R，关于对称，，
又关于直线对称，，
在内有2个零点，故D错误，
故选：AB.
29．（多选）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．是奇函数B．
C．的极大值为4D．若函数有三个零点，则
【答案】ABD
【分析】利用奇函数的定义可判断A的正误，求出函数的导数后代入计算可判断B的正误，根据导数的符号可判断函数何时取何极大值，故可判断C的正误，根据函数的单调性结合与的图象有3个不同的交点可求的范围，故可判断D的正误.
【详解】对于A，的定义域为，它关于原点对称，
而，故为奇函数，故A正确；
对于B，，故且，
故，故B正确；
对于C，由已知得，
故当时，，时，，
故的极大值点为，此时极大值为，故C错误；
对于D，由C的分析可得在上为增函数，在为减函数，
又，且当时，，时，，
故当函数有三个零点时即与的图象有3个不同的交点时，
必有，故D正确.
故选：ABD.
30．设实系数一元二次方程有两个不相等的实数根，，则原方程可以变形为，展开得，由此，我们可以得到，.类比上述方法，如果实系数一元三次方程有三个不相等的实数根，，，我们也可以得到类似的结论.已知关于的方程有三个不相等的实数根，，，且，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】本题可先根据三次方程根与系数的关系得到，，，再结合函数性质求解的取值范围.
【详解】由题意可以变形为，
展开得：，
所以， ，
三次方程 的根 ，
所以，，，
由 ，代入得：
因此：
因为方程有三个不等实根，令，
令，得.， ，单调递增，
， ，单调递减，， ，单调递增，
所以的极大值为，
的极小值为，
要有三个不等实根，则且，即.
又是最小根则，且.
所以.
令，，
，
因此， 的取值范围为 ，即的取值范围为.
故答案为：
1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）当时，曲线与的交点个数为（ ）
A．3B．4C．6D．8
【答案】C
【分析】画出两函数在上的图象，根据图象即可求解
【详解】因为函数的最小正周期为，
函数的最小正周期为，
所以在上函数有三个周期的图象，
在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：
由图可知，两函数图象有6个交点.
故选：C
2．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选）若函数既有极大值也有极小值，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】求出函数的导数，由已知可得在上有两个变号零点，转化为一元二次方程有两个不等的正根判断作答.
【详解】函数的定义域为，求导得，
因为函数既有极大值也有极小值，则函数在上有两个变号零点，而，
因此方程有两个不等的正根，
于是，即有，，，显然，即，A错误，BCD正确.
故选：BCD
3．（2023·天津·高考真题）设,函数,若恰有两个零点，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据绝对值的意义，去掉绝对值，求出零点，再根据根存在的条件即可判断的取值范围．
【详解】（1）当时，，
即，
若时，，此时成立；
若时，或，
若方程有一根为，则，即且；
若方程有一根为，则，解得：且；
若时，，此时成立．
（2）当时，，
即，
若时，，显然不成立；
若时，或，
若方程有一根为，则，即；
若方程有一根为，则，解得：；
若时，，显然不成立；
综上，
当时，零点为，；
当时，零点为，；
当时，只有一个零点；
当时，零点为，；
当时，只有一个零点；
当时，零点为，；
当时，零点为．
所以，当函数有两个零点时，且．
故答案为：．
【点睛】本题的解题关键是根据定义去掉绝对值，求出方程的根，再根据根存在的条件求出对应的范围，然后根据范围讨论根（或零点）的个数，从而解出．
4．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】令，得有3个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解.
【详解】因为，所以，
令，则有3个根，
令，则有3个根，其中，
结合余弦函数的图像性质可得，故，
故答案为：.
5．（2023·上海·高考真题）函数
(1)当时，是否存在实数c，使得为奇函数；
(2)若函数过点，且函数图像与轴负半轴有两个不同交点，求实数a的取值范围.
【答案】(1)不存在
(2)且
【分析】（1）将代入得，先考虑其定义域，再假设为奇函数，得到方程无解，从而得以判断；
（2）先半点代入求得，从而得到，再利用二次函数的根的分布得到关于的不等式组，解之可得，最后再考虑的情况，从而得到的取值范围.
【详解】（1）当时，，定义域为，
假设为奇函数，则，
而，则，此时无实数满足条件，
所以不存在实数，使得函数为奇函数；
（2）图像经过点，则代入得，解得，
所以，定义域为，
令，则的图像与轴负半轴有两个交点，
所以，即，解得，
若，即是方程的解，
则代入可得，解得或.
由题意得，所以实数的取值范团且.
6．（2025·上海·高考真题）已知函数的定义域为．对于正实数a，定义集合．
(1)若，判断是否是中的元素，请说明理由；
(2)若，求a的取值范围；
(3)若是偶函数，当时，，且对任意，均有．写出，解析式，并证明：对任意实数c，函数在上至多有9个零点．
【答案】(1)不是；
(2)；
(3)证明见解析.
【分析】（1）直接代入计算和即可；
（2）法一：转化为在实数使得，分析得，再计算得，最后根据的范围即可得到答案；法二：画出函数图象，转化为直线与该函数有两个交点，将用表示，最后利用二次函数函数性质即可得到答案；
（3）利用函数奇偶性和集合新定义即可求出时解析式，再分析出，最后对的范围进行分类讨论即可.
【详解】（1）（1），，则不是中的元素.
（2）法一：因为，则存在实数使得，且，
当时，，其在上严格单调递增，
当时，，其在上也严格单调递增，
则，则，
令，解得，则，
则.
法二：作出该函数图象，则由题意知直线与该函数有两个交点，
由图知，假设交点分别为，，
联立方程组得
（3）（3）对任意，因为其是偶函数，
则，而，
所以，
所以，因为，则，
所以，所以，
所以当时，，，则，
，则，
而，，
则，则，
所以当时，，而为偶函数，画出函数图象如下：
其中，但其对应的值均未知.
首先说明，
若，则，易知此时，
则，所以，而时，，
所以，与矛盾，所以，即，
令，则，
当时，即使让，此时最多7个零点，
当时，若，此时有5个零点，
故此时最多5个零点；
当时，若，此时有5个零点，
故此时最多5个零点；
当时，若，此时有3个零点，
若，则，易知此时，
则，所以，而时，，
所以，与矛盾，所以，
则最多在之间取得6个零点，
以及在处成为零点，故不超过9个零点.
综上，零点不超过9个.x
1.25
1.375
1.406
1.422
1.437
1.5
h
0.02
0.33