2024年新高考数学一轮复习知识梳理与题型归纳第12讲函数与方程（学生版）

这是一份2024年新高考数学一轮复习知识梳理与题型归纳第12讲函数与方程（学生版），共3页。试卷主要包含了函数的零点，函数零点的判定等内容，欢迎下载使用。


知识梳理
1．函数的零点
(1)函数零点的定义：对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
(2)三个等价关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．
2．函数零点的判定
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是f(x)＝0的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理．
3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系
题型归纳
题型1函数零点所在区间的判断
【例1-1】函数的零点所在区间是
A．B．C．D．
【跟踪训练1-1】函数的零点所在区间为
A．B．C．D．
【名师指导】
确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法
(1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．
(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．
题型2求函数零点的个数
【例2-1】函数的零点个数为
A．0B．1C．2D．3
【例2-2】函数的零点个数为
A．2个B．4个C．6个D．8个
【跟踪训练2-1】函数的零点个数是 ．
【跟踪训练2-2】已知，则函数的零点个数为 ．
【名师指导】
函数零点个数的判断方法
(1)直接求零点，令f(x)＝0，有几个解就有几个零点；
(2)零点存在性定理，要求函数f(x)在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数；
(3)利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数．
题型3函数零点的应用
【例3-1】已知以4为周期的函数满足，当时，，其中，若方程恰有5个根，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
【例3-2】若函数在区间，内有且仅有一个零点，则实数的取值范围为
A．B．，C．D．
【例3-3】已知函数是定义域为的偶函数，且满足，当时，，，则函数所有零点的和为
A．3B．4C．5D．6
【跟踪训练3-1】已知函数，函数是最小正周期为2的偶函数，且当，时，．若函数恰有3个零点，则实数的取值范围是 ．
【跟踪训练3-2】关于的方程在区间上有三个不相等的实根，则实数的取值范围是
A．B．，C．D．，
【跟踪训练3-3】已知函数，，则方程所有根的和等于
A．1B．2C．3D．4
【名师指导】
根据函数零点的情况求参数的方法
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解． Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0) 的图象
与x轴的交点
(x1，0)，(x2，0)
(x1，0)
无交点
零点个数
两个
一个
零个