第13讲 函数模型及其应用 讲义-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）【含解析】

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1. 几种常见的函数模型 PAGEREF _Tc232406403 \h 2
2. 解函数应用问题的步骤 PAGEREF _Tc232406404 \h 2
三、典题精讲 PAGEREF _Tc232406405 \h 2
考点一：常见的几类确定性函数模型 PAGEREF _Tc232406406 \h 2
考点二：指数、对数与幂函数模型 PAGEREF _Tc232406407 \h 5
考点三：函数模型的综合与创新应用 PAGEREF _Tc232406408 \h 7
一、考情分析
1. 考查频次与题型
近三年全国一卷中，以实际生活为背景的函数模型应用题出现频次相对较低，多以纯数学形式的函数模型（如分段函数、指数型函数）为载体，结合导数、单调性等知识进行间接考查.
2. 命题角度与特色
核心考点：侧重于对分段函数、指数型函数等常见数学模型的性质（如单调性、最值）的深度剖析.
命题趋势：淡化了简单的代入模型计算，更加注重利用导数等高等数学工具对复杂函数模型进行动态分析与参数求解.
试题特点：综合性强，常将函数模型与不等式、方程、导数等知识点交汇命题，对逻辑推理和代数变形能力要求较高.
3. 备考策略
· 熟练掌握各类基础函数模型（如二次函数、分段函数、指数函数等）的图象特征与解析式性质.
· 强化利用导数工具研究复杂函数模型单调性与最值的能力，突破参数分类讨论的难点.
· 培养数学建模意识，遇到实际应用题时，能够准确提取关键数据，将其转化为熟悉的函数模型并求解.
二、知识清单
1. 几种常见的函数模型
· 一次函数模型：f(x)=ax+b(a,b为常数且a≠0)
· 反比例函数模型：f(x)=kx+b(k,b为常数且k≠0)
· 二次函数模型：f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数且a≠0)
· 指数函数模型：f(x)=bax+c(a,b,c为常数，b≠0，a>0，a≠1)
· 对数函数模型：f(x)=blgax+c(a,b,c为常数，b≠0，a>0，a≠1)
· 幂函数模型：f(x)=axn+b(a,b为常数，a≠0)
【易错提醒】 在构建和求解实际问题的函数模型时，必须高度关注自变量的取值范围（即函数的定义域）.实际问题中的定义域往往受到具体物理意义或生活常识的限制，不能单纯按照代数解析式的要求来确定.
【防坑警示】 在指数函数模型 f(x)=bax+c 中，底数 a 决定了模型是增长型（a>1）还是衰减型（0