第18讲 函数的综合应用 分类练习-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）

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考点一：函数与数列的综合
考法1：根据函数单调性与数列递推关系判断
1.已知数列{xn}，满足x1=1，2xn+1=ln(1+xn) (n∈N∗)，设数列{xn}的前n项和为Sn，则以下结论正确的是（ ）
A. xn+1>xn B. xn−2xn+1xn+1+1 D. Sn+5>2
【答案】B
【解析】因为2xn+1=ln(1+xn) (n∈N∗)，把x1=1代入递推可得：xn>0.令f(x)=x−ln(x+1)，x>0，则f'(x)=xx+1>0，f(x)在(0,+∞)单调递增.所以f(x)>f（0），即当x>0时，恒有ln(1+x)0，所以2xn+1=ln(1+xn)2xn+1>xn+1，故选项A错误.又因为2xn+20，函数单调递增，结合y=x的图象，由图可知当an>0时，数列{an−an+1}递减，a1−a2+a2−a3>a3−a4+a4−a5，所以a1−a3>a3−a5，即a1+a5>2a3，不正确.对选项D：设an+1=x，则an=3x2−2x，an+2=1+1+3x23，|an+2−an+1|≥33|an+1−an|，即|1+1+3x23−x|≥33|x−3x2−2x|，等价于2+23x9x2−6x≥21+3x2(3x−1)，化简得x2−2x+1≤0，而x2−2x+1≤0显然不恒成立，不正确.故选B.
【点拨】本题考查非线性递推数列的性质，利用代数变形寻找递推关系，结合函数图象与导数分析数列的单调性与凹凸性.
考法2：利用函数对称性与数列递推关系求和
4.（2026·江西五市十校·3月联考）（多选）若f(x)=(x−1)2−2ln2−xx+1，数列{an}的前n项和为Sn，且S1=110，2Sn=nan+1，则下列说法正确的是（ ）
A. f(x)关于点(1,1)成中心对称 B. 数列{an}是等差数列
C. i=119f(ai)=19 D. 数列{an}的通项公式为an=n5
【答案】ABC
【解析】对于 A 选项：
由题意，令 2−xx>0，解得 0e−1a，即证2a2a2+1>e−1a，即证(1a2+1)e−1a−20，所以f(x)在区间(0,+∞)上单调递增，故A项正确；对于B项，因为f(x)在区间(0,+∞)上单调递增，且f（1）=0，根据偶函数的性质可知，f(−1)=f（1）=0，所以f(x)恰有两个零点，故B项正确；对于C项，因为f(x)为偶函数，且在(0,+∞)上单调递增，所以f(x)0时，|x2+1x|+x−ln|x|−3=0等价于2x+1x−lnx−3=0.令h(x)=2x+1x−lnx−3，则h'(x)=2−1x2−1x=2x2−x−1x2=(2x+1)(x−1)x2.当x∈(0,1)时，h'(x)0，则csx⋅f(x+π2)+sinx⋅f(−x)>0的解集为（ ）
A. (−π2,−π4) B. (−π4,0) C. (−π4,π4) D. (−π4,0)
【答案】B
【解析】（方法一）依题意，x≠0，故a2b2>0.则ab(a−b)>0⇔a2b>ab2⇔a2b⋅1a2b2>ab2⋅1a2b2，即1b>1a.（方法二）ab(a−b)>0⇔ab>0a−b>0或ab0或b1，即m>2时，x∈(0,1)时，f'(x)>f'（1）=0，x∈(1,m2)，f'(x)f'（1）=0，所以函数f(x)在(m2,+∞)上无极大值，
∵f'(e2m)=2e2m−mlne2m−2=2e2m−4>0，f'(m2)0，
即x0lnx0−2x0+2>0成立，故f(x0)>1.
【点拨】本题考查导数的应用，通过分类讨论参数的取值范围，研究函数的单调性与极值，进而解决恒成立问题.
考法7：结合导数求最值与不等式证明
16.（2025·河北沧州五县·一模）已知函数f(x)=x1x(x>0)，则下列说法中正确的是（ ）
A. 对任意的n∈N∗，都有nn+1>(n+1)n
B. 当00，所以f(x)在区间(0,e)上单调递增；当x趋于0时，函数值趋于−∞；当x≥e时，f'(x)0，f(x)单调递增，所以f(lnk)=k−klnk−2e.不妨设x10，f(x)单调递增，当x∈(π3,π2)时，f'(x)1.7，π>3.1，ln21.7×3.13−1>0.5=12，又f（0）=00，所以g(x)单调递增，所以直线x+y=t与y=ex−e+1至多有一个交点，所以直线x+y=t与Γ至多有两个交点，当直线x+y=t过点(1,1)和(e−1,e−1)时，被Γ截得弦长最大，最大值为2(e−2)，C正确；Γ的面积为21e−1[x−(ex−e+1)]dx=2[12x2−ex+(e−1)x]1e−1=2[12(e−1)2−ee−1+(e−1)2−(12−e+e−1)]=3(e−1)2−2ee−1+1，令h(x)=3(x−1)2−2ex−1+1，则h'(x)=6(x−1)−2ex−1，令u(x)=6(x−1)−2ex−1，则u'(x)=6−2ex−1，当x∈(1,1+ln3)时，u'(x)>0，u(x)单调递增，当x∈(1+ln3,+∞)时，u'(x)0，h(x)单调递增，当x∈(1+ln3,+∞)时，u(x)1+ln3，所以h(e)3或x0，即x>ln2；令g'(x)0，所以f(f(x))=x在(0,e]上有解.因为f'(x)=1−lnxx2+1≥1−(x−1)+x2x2=(x−12)2+74x2>0（易证x≥lnx+1），所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，因此由f(f(x))=x得f(x)=x在(0,e]上有解，即a=lnxx,x∈(0,e]，因为a'=1−lnxx2≥0⇒a∈(−∞,1e]，选C.
【点拨】本题考查复合函数方程的解，利用函数的单调性将f(f(x))=x转化为f(x)=x，再通过参数分离和导数求值域.
45.若存在一个实数t，使得F(t)=t成立，则称t为函数F(x)的一个不动点. 设函数g(x)=ex+(1−e)x−a(a∈R,e为自然对数的底数)，定义在R上的连续函数f(x)满足f(−x)+f(x)=x2，且当x≤0时，f'(x)