初中数学华东师大版（2024）九年级上册（2024）4. 相似三角形的应用教案配套课件ppt

这是一份初中数学华东师大版（2024）九年级上册（2024）4. 相似三角形的应用教案配套课件ppt，共199页。PPT课件主要包含了逐点导讲练，课堂小结，作业提升，课时讲解，课时流程，知识点，相似三角形，知1－讲，知1－练，知2－讲等内容，欢迎下载使用。
相似三角形由平行线判定三角形相似由角的关系判定三角形相似由边角关系判定三角形相似由三边关系判定三角形相似相似三角形的性质相似三角形的应用三角形的重心
1. 定义 对应边成比例、对应角相等的三角形称为相似三角形.2. 表示方法 相似用符号“∽”来表示，读作“相似于”. 例如△ABC与△A′B′C′相似，记作“△ABC∽△A′B′C′”，读作“△ABC相似于△A′B′C′”.
3. 相似比 相似三角形对应边的比值叫做这两个相似三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等.
4. 相似三角形的对应性、顺序性、传递性
方法归纳相似三角形中对应元素的寻找方法：
如图22.3-1，已知△ABC∽△ADE，∠A＝70 °，∠B＝40°，AB＝6，BC＝6，AD＝3.
解题秘方：紧扣相似三角形的对应角相等，对应边成比例求解 .
(1)求△ABC与△ADE的相似比；
(2)求∠AED的度数和DE的长 .
1-1. 如图，△ADE∽ △ABC，且 AD∶DB＝1∶3，则△ADE与△ABC的相似比为( )A. 1 ∶ 3 B. 1∶4C. 3 ∶ 1 D. 4∶1
1-2. 如图，点D在△ABC的BC边上，△ABC∽△DAC，∠B＝ 50°，∠C＝20°，则 ∠BAD＝______.
由平行线判定三角形相似
平行于三角形一边的直线，和其他两边(或两边的延长线)相交所构成的三角形与原三角形相似 .常见基本图形 如图22.3-2 .
特别提醒根据定理得到的相似三角形的三个基本图形中都有 BC//DE，图22.3-2 ①②很像大写字母A， 故我们称之为“A”型相似；图22.3-2 ③很像大写字母X，故我们称之为“X”型相似.
如图 22.3-3，在□ABCD中，E为AB延长线上的一点，AB＝3BE，DE与BC相交于点F，请找出图中各对相似三角形，并求出相应的相似比 .
解题秘方：紧扣平行线截三角形相似的两种基本图形：“A”型和“X”型进行查找 .
2-1. 如图，AB∥EF∥DC，AD∥BC，EF与AC交于点G，则图中的相似三角形共有( )A. 3 对 B. 5 对C. 6 对 D. 8 对
解题秘方：紧扣平行线截三角形相似及相似三角形的对应边成比例解答 .
3-1. 如图，已知△ABC∽△EDC，AC∶EC＝2∶3，若AB的长度为 6，则DE的长度为( )A. 4 B. 9C. 12 D. 13.5
由角的关系判定三角形相似
1. 相似三角形的判定定理1 两角分别相等的两个三角形相似.2. 数学语言：如图 22.3-5，在△ABC和△DEF中，∵∠A＝∠D，∠B＝∠E，∴△ABC∽△DEF.
特别提醒常见的相等的角：公共角、对顶角、同角(等角)的余角(补角)、两直线平行时的同位角和内错角.
如图22.3-6，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线交AD于点E，交BC的延长线于点F. 求证：△ABF∽△CAF.
解题秘方：紧扣“两角分别相等的两个三角形相似”证明，由于∠BFA是公共角，因此只需利用图形的相关性质说明∠B＝∠4即可证明 .
证明：∵EF垂直平分AD，∴ AF＝DF. ∴∠FAD＝∠3.∵AD是∠BAC的平分线，∴∠ 1＝∠2.又∵∠B＝∠3－∠1，∠4＝∠FAD－∠2，∴∠B＝∠4.又∵∠BFA＝∠AFC，∴△ABF∽△CAF.
4-1. 如图，在Rt△ABC中， ∠ABC＝90 °，E是边AC上一点，且BE＝BC， 过点A作BE的垂线，交 BE的延长线于点D. 求证：△ADE∽△ABC.
证明：∵BE＝BC，∴∠C＝∠BEC.又∵∠BEC＝∠AED，∴∠AED＝∠C.∵AD⊥BD，∴∠D＝90°.又∵∠ABC＝90°，∴∠D＝∠ABC. ∴△ADE∽△ABC.
由边角关系判定三角形相似
特别提醒运用该定理证明相似时，一定要注意边角的关系，相等的角一定是成比例的两组对应边的夹角.类似于判定三角形全等的“SAS”方法 .
如图22.3-8，在正方形ABCD中，P是BC上一点，且BP＝3PC，Q是CD的中点. 求证：△ADQ∽△QCP.
解题秘方：紧扣“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明 .
5-1. 如图，在△PAD中，点C，B在AD边上，连结PC，PB，△PCB是等边三角形，且AC＝1，CB＝2，BD＝4. 求 证：△ACP∽△PBD.
由三边关系判定三角形相似
特别提醒运用时要注意比的顺序性，即分子为同一个三角形的三边，分母为另一个三角形的三边，同时要注意边的对应情况.
3. 利用三边判断两个三角形是否相似的步骤与方法
图22.3-10与图22.3-11中小正方形的边长均为 1，则图22.3-11中的哪一个三角形(阴影部分)与图22.3-10中的△ABC相似？
解题秘方：利用网格的特征用勾股定理求各边的长，紧扣“三边成比例的两个三角形相似”判断 .
6-1.[期中·上海虹口区]一个木质三角形框架模型的三边长分别为 5 cm，6 cm，10 cm，木工要以一根长为30 cm的木条为一边，做一个与模型三角形相似的三是( )角形，那么另两条边的木条长度不符合条件的A. 15 cm，18 cmB. 20 cm，24 cmC. 25 cm，50 cmD. 36 cm，60 cm
1. 相似三角形的对应边、对应角的性质　相似三角形的对应边成比例、对应角相等．2. 相似三角形的其他性质　已知△ABC∽△A′B′C′， 且它们的相似比为k，性质及推理如下表：
特别提醒高、中线、角平分线必须是相似三角形对应边上的高、中线及对应角的平分线 .
活学巧记两个相似三角形，各角对应都相等，各边对应成比例，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.
如图22.3-12，在△ABC中，AD是BC边上的高，矩形EFGH内接于△ABC，且长边FG在BC上，AD与EH 的交点为P，矩形相邻两边的比为 1∶2. 若BC＝30cm，AD＝10 cm，求矩形EFGH的周长 .
解题秘方：将求矩形周长问题转化为与相似三角形对应高的比相关的问题求解 .
如果两个相似三角形的相似比是3∶2，它们的周长差为 8，那么较大的三角形的周长为______.
解题秘方：紧扣“相似三角形周长之比等于相似比”列方程求解 .
也可设较小的三角形的周长为2x，则较大的三角形的周长为 3x. ∴ 3x－2x＝8，∴ x＝8，∴较大的三角形的周长为 3x＝24.
8-1. [中考·连云港]△ABC的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的三角形DEF，其最长边为 12，则△DEF的周长是( )A. 54 B. 36C. 27 D. 21
如图22.3-13，△ABC∽△A′B′C′，BC＝6，B′C′＝4，AD⊥BC，AD＝4，求△A′B′C′的面积 .
解题秘方：利用“相似三角形面积的比等于相似比的平方”求解 .
9-1. 如图，已知△ABC∽△AEF，若B，E，F三 点共线，线段EF与AC交于点O．
(1)求证：△ABE∽△ACF；
(2)若AF＝5，BC＝10，△AOF的面积为8，求△BOC的面积.
1.利用相似测量高度方法一：利用影长测量物体的高度(1)测量原理：同一时刻物体的高度与它在太阳光下的影长成比例 .
要确保被测物体的底部能够到达 .
(2)测量方法：在有太阳光线的同一时刻，测出测量者的影长、待测物体的影长和测量者的身高，利用相似三角形的性质计算待测物体的高度.(如图22.3-14)
特别提醒1. 由于影长可能随着太阳的运动而变化，因此要在同一时刻测量测量者与被测物体的影长 .
方法2：利用直尺或标杆测量物体的高度(1)测量原理：用直尺或标杆的长(高)作为三角形的边，利用视点和盲区构造相似三角形 .(2)测量方法：借助直尺或标杆测量物体高度的方法如图22.3-15.
特别提醒2. 使用这种方法时，观测者的眼睛、标杆顶端和被测物体顶端必须“三点共线”，观测者的眼睛、直尺顶(底)端和被测物体顶(底)端必须“三点共线”，标杆或直尺与地面要垂直，被测物体底部必须可到达 .
方法三：利用镜子的反射测量物体的高度(1)测量原理：利用镜子的反射，根据反射角等于入射角的原理构造相似三角形 .(2)测量方法：测出观测者站立点与镜面标记点的距离、待测物体底部与镜面标记点的距离以及观测者眼睛距地面的高度，利用相似三角形的性质计算待测物体的高度.(如图22.3-16)
特别提醒3. 测量时待测物体与人之间不能有障碍物，且镜子要水平放置. 利用物理学中的“反射角等于入射角”及数学中的“等角的余角相等”的知识可以知道，反射光线和入射光线与镜面的夹角相等.
2. 利用相似测量宽度(1)测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造相似三角形，利用相似三角形的性质计算两点间的距离 .
(2)常见的测量方式(1)构造“A”型相似，如图22.3-17.(2)构造“X”型相似，如图22.3-18.
数学兴趣小组通过测量旗杆的影长来求旗杆的高度，他们在某一时刻测得高为2米的标杆影长为1.2米，此时旗杆影长为7.2米，则旗杆的高度为______米.
解题秘方：用“在同一时刻太阳光下物体的高度与影长成比例”求解.
解：设该旗杆的高度是x 米，根据题意，得2∶1.2＝x∶7.2，解得x＝12，即该旗杆的高度是12 米.
10-1. [期末·郑州郑东新区]如图，树OD垂直立在地面上，小明在A时测得树的影子ED长为6 m，B时又测得该树的影子CD长为4 m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度OD长为_______.
如图22.3-19，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置， 设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上. 已知纸板的两条直角边DE＝40 cm，EF＝20 cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5 m，CD＝8 m，则树高AB＝______m.
解题秘方：解本题的关键是找出相似三角形，然后根据对应边的比相等列出方程求解.
11-1. 小明为测量旗杆的高度，设计了如下的测量方案：如图，竖直标杆的高度CD＝3.6 m，标杆与旗杆的水平距离BD＝15 m，人的眼睛与地面的高度EF＝1.6 m，人与标杆CD的水平距离DF＝3 m，E，C，A三点共线，EM⊥ AB 于点M，交CD于点N．求旗杆AB的高度.
如图22.3-20是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图，在点P处水平放一平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好照到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB＝2 米，BP＝3 米，PD＝12 米，求该古城墙CD的高度.
解题秘方：紧扣“利用镜子的反射测量物体的高度的原理”判定两个三角形相似解决问题 .
12-1. [期末·南阳]医圣祠位于河南省南阳市城东温凉河畔，为纪念东汉医学家张仲景而建，某中医药文化广场有一尊张仲景雕像．
数学兴趣小组的同学为测量雕像的高度AB(顶端A到水平地面BE的距离)，在雕像旁的水平地面C处放置一面镜子，组员小明沿直线BC后退到点E处，此时恰好在镜子里看到雕像的顶端A．已知BC＝6 m，EC＝1 m，小明的眼睛距地面的高度DE＝1.65 m，则雕像的高度AB＝_______.
13-1.[期中·南阳]白河，古称淯水，是南阳母亲河，小宛想通过自己所学的数学知识计算河流的宽度．如图，河流两侧河岸平行，她在河的对岸选定一个目标作为点A，再在这一侧的河岸边选出点B和点C，分别在AB，AC的延长线上取点D，E，连结DE，使DE∥BC.
经测量，BC＝80 m，DE＝200 m，且点E到河岸BC的水平距离为1 200 m．过点A作AF⊥BC于点F(AF即为河流的宽度)，请求出河流的宽度．
三角形的重心是三角形中每条中线的一个三等分点.
特别解读经过三角形顶点和重心的直线必然平分这个顶点的对边.
解题秘方：已知条件中给出了中点，可以构造三角形的重心，紧扣重心的性质解题.
14-1. 如图，点D在△ABC的边BC上，已知点E，F分别为△ABD和△ADC的重心， 如果BC＝12，那么两个重心之间的距离为_______.
如图22.3-22，在△ABC中，G为重心，连结AG并延长，交边BC于点D，若△ABC的面积为6 cm2，则△BGD 的面积为( )A. 1 cm2 B. 1.5 cm2 C. 2 cm2 D. 3 cm2
解题秘方：根据重心将中线分成的两条线段的比得到面积之间的比解决问题.
15-1. 如图，在菱形ABCD中，E为AB的中点， 连结DE交对角线AC于点F，若菱形ABCD的周长为40 cm，AC＝16 cm， 求△ADF与菱形ABCD的面积比.
解：连结BD，交AC于点O.∵四边形ABCD是菱形，∴O是AC，BD的中点，且AC⊥BD.∵菱形ABCD的周长为40cm，AC＝16 cm，∴AD＝10 cm，AO＝8 cm.
利用相似三角形的判定和性质计算和证明
如图22.3－23，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，E为CB的中点，ED的延长线交CA的延长线于点F. 求 证：AC·CF＝ CB·DF.
解题秘方：用“三点定形法”将比例式中的四条线段划归到两个相似三角形中进行证明.
证明：∵在Rt△CDB中，E为CB的中点, ∴EB＝DE.∴∠B＝∠BDE＝∠FDA.∵∠B＋∠CAB＝90°，∠ACD＋∠CAB＝90°，∴∠B＝∠ACD. ∴∠FDA＝∠ACD.
[一题多解]如图22.3－24，在△ABC中，点D是AB上的点，且AB＝3AD，E是AC的中点，DE的延长线交BC的延长线于点F.求证：BC＝CF.
解题秘方：紧扣“平行线或相似三角形”使线段成比例的特征作辅助线.作平行线构造成比例线段及相似三角形的实质是构造“A型”或“X型”图形.
另解本题还有其他多种解法，下面仅给出添加辅助线的思路，举例如下：1. 如图22.3－27，过点B作BG∥AC，交FD的延长线于点G.
2. 如图22.3－28，过点B作BG∥DF，交AC的延长线于点G.
3. 如图22.3－29，过 点C作CG∥DE，交AB于点G.同理，还可过点D，E，F作平行线. .
如图22.3－30，在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，∠C＝90°，DE∥AB.
解题秘方：紧扣“平行线构成A型图形相似”的 特征，利用相似比与面积比、周长比的关系进行求解.
(1)当△CDE的面积与四边形DABE的面积相等时，求DE的长；
(2)当△CDE的周长与四边形DABE的周长相等时，求DE的长.
解法提醒相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方;反之，两个三角形相似，相似比等于周长比，相似比等于面积比的算术平方根.
方法点拨解题时，若题中涉及“对应线段”(中线、高、角平分线)或面积，一般利用“相似三角形对应线段的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方”求解.
如图22.3－31，在□ABCD中，点E是边AD的中点，连结EC交对角线BD于点F，若S△DEC＝3，则S△BCF＝________.
解题秘方：紧扣“相似三角形面积的比的性质”，先求出与之相似的三角形的面积及相似比.
等高(或等底)的两个三角形面积的比等于对应底(或高)的比.
方法点拨解决面积问题的常用 方法：解决面积问题的常用 方法：①直接用面积公式；②利用相似三角形的 性质；③利用等底或等高；④割补法.本题先利用等高三角形面积的比等于对应底边的比，求出△DEF的面积，再利用相似三角形面积的比等于相似比的平方求出△BCF的面积.
类型5 解决实际问题
某小区的居民筹集资金1 600元，计划在一块四边形空地ABCD上种植花木(如图22.3－32)，其中AD∥ BC，AD＝10m，BC＝20 m.
解题秘方：紧扣“相似三角形面积的比的性质”，建立相似三角形的模型求解.
(1)他们在△AMD和△CMB地带上种植太阳花，价格为8元/ m2，在△AMD地带(图22.3－32中阴影部分)上种满太阳花共花了160元，请计算种满△CMB地带所需的费用；
(2)在(1)的条件下，若其余地带有玫瑰花和茉莉花两种花木可供选择，价格分别为12元/m2和10元/m2，则选择种植哪种花木可以刚好用完所筹集的资金？
∴S△AMB＋S△DMC ＝180－20－80＝80(m2). 160＋640＋80×12＝1 760(元)，160＋640＋80×10＝1 600(元)，∴选择种植茉莉花可以刚好用完所筹集的资金.
方法1 利用中间比法求物宽
周末，小凯和同学带着皮尺，去测量杨大爷家露台遮阳篷的宽. 如图22.3－33所示，由于无法直接测量，小凯便在楼前地面上选择了一条直线EF，在直线EF上选点观测.
利用相似三角形的判定和性质测量
当他位于点N时，他的视线从点M通过露台点D正好落在遮阳篷点A处，当他位于点N′时，视线从点M′通过点D正好落在遮阳篷点B处，这样观测到的两个点A，B之间的距离即为遮阳篷的宽.已知点C在AG上，AB∥CD∥EF，AG，DE，MN，M′N′均垂直于EF，MN＝M′N′，露台的宽CD＝GE.实际测得GE＝5 m，EN＝15.5 m，NN′＝6.2 m.请根据以上信息，求出遮阳篷的宽AB是多少米.
解题秘方：根据平行线找相似三角形，利用相似三角形的性质建立线段之间的关系解决问题.
解题通法用相似三角形求物高(宽)的两个原则：(1)核心是构造相似三角形，在构造的三角形中，被测物体的高度(宽度)一般是其中的一边.(2)构造相似三角形的方法多种多样，只需把握住所构造的三角形除被测量的边以外，其余的边要容易测量这一原则.
方法2 利用分割(补形)法求物高
如图22.3－34，在离某建筑物CE4 m处有一棵树AB，在某时刻，1.2 m的竹竿FG垂直于地面放置，影子GH的长为2 m，此时树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在建筑物的墙上，墙上的影子CD的高为2 m，那么这棵树的高度是多少？
解题秘方：添加辅助线构造相似三角形，利用相似三角形的对应边成比例求解.
教你一招利用相似三角形的性质解决实际问题的关键是能构造出相似三角形.构造相似三角形常用的方法为“作三线”：作平行线、作垂线、作延长线.
方法3 利用影子断物法求物高
解题秘方：利用同一时刻物高和影长成比例，建立线段之间的数量关系解决问题.
方法点拨当物体的影子落在斜坡上时，常延长光线画出若无斜坡阻挡时物体在地面上的影子，根据相似三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理及方程思想求解.
如图22.3－36，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝6 cm，CD＝4 cm，BD＝14 cm，动点P从点B出发沿BD方向匀速向点D移动，当点P距离点B多远时△APB 与△CPD相似？
探究动态问题中的相似三角形
解题通法在与相似三角形相关的动点题目中，随动点位置的不同，图形的形状发生变化，则相似三角形边的对应关系发生变化，出现多种情况.所以在动点的题目中，出现“△XXX和△XXX相似”这种描述时，点的对应关系不确定，必须进行分类讨论.
在△ABC中，AB＝8，AC＝5，BC＝10，P为AB上一点，PA＝4，过点P的直线交AC边所在的直线于点D，若△PAD 与△ABC相似，则PD的值为多少？
解题时考虑不全面，造成漏解
诊误区：由于受到思维定式的影响，往往只考虑到PD//BC的 情况，而忽视PD与BC不平行的情况，从而造成漏解.解答此类问题时，要考虑所有可能的情况,避免因为考虑不全面而导致漏解.
[中考·河北]如图22.3－39，在五边形ABCDE中，AE∥BC，延长BA，BC，分别交直线DE于点M，N.若添加下列一个条件后，仍无法判定△MAE∽ △DCN，则这个条件是(　　)A. ∠ B＋ ∠4＝180°B. CD ∥ABC. ∠ 1＝ ∠4D. ∠ 2＝ ∠3
试题评析：本题主要考查了相似三角形的判定、平行线的性质与判定，熟练应用相似三角形的判定方法是解题的关键．
解：A.∵∠ B＋∠4＝180°，∴CD∥BM，∴∠CDN＝∠AME.∵AE∥BC，∴∠ AEM＝∠CND，∴△MAE∽△DCN，故A不符合题意；B. ∵CD∥AB，∴∠CDN＝∠AME，∵AE∥BC，∴∠AEM＝∠CND，∴△MAE∽△DCN，故B不符合题意；
C. ∵AE∥BC，∴∠1＋∠B＝180°，∠AEM＝∠CND，∵∠1＝∠4，∴∠B＋∠4＝180°，∴CD∥BM，∴∠CDN＝∠AME.∴△MAE∽△DCN，故C不符合题意；D. 根据∠2＝∠3且结合已知条件不能证明△MAE∽△DCN，故D符合题意.
[中考·绥化]两个相似三角形的最长边的长分别是10 cm和6 cm，并且它们的周长之和为48 cm，那么较小三角形的周长是(　　)A. 14 cm B. 18 cm C. 30 cm D. 34 cm
利用相似三角形周长比的性质求周长
试题评析：本题考查相似三角形的性质——周长比等于相似比，先根据两个相似三角形最长边的长度确定相似比，再根据周长之和即可求解．
利用相似三角形面积比的性质求线段的比值
试题评析：本题考查了相似三角形的性质和判定，正确作出辅助线是解题的关键.
[中考·滨州]如图22.3－41，在△ABC中，∠BAC＝108°，AB＝AC.以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点E，F；以点A为圆心，BE的长为半径画弧，交AC于点H，以点H为圆心，EF的长为半径画弧，两弧交于点G；连结AG并延长交BC于点D.
相似三角形的判定和性质的综合
试题评析：本题主要考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，熟练掌握和运用以上知识是解题的关键．
(1)求证：△ACD∽△BCA；
证明：由作图可知∠DAC＝∠B.又∵∠ C＝∠C，∴△ ACD∽△BCA.
(2)当AB＝4时，求BC的长.
解：∵∠ BAC＝108°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝36°.由(1)得∠DAC＝∠B＝36°.∴∠BAD＝∠BAC－∠DAC＝72°.∴∠ ADB＝180°－∠B－∠BAD＝72°.∴∠ ADB＝∠BAD，∴BD＝AB＝AC＝4.
[中考·河南]焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位于纪念园南部的中心.某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下.
试题评析：本题主要考查了矩形的判定和性质、相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键.
根据以上信息，解决下列问题：(1)由标杆的影子DF的长和标杆DE的长相等，可得CD＝CA，请说明理由.
(2)求纪念碑AB的高度.
解：记BN与DE的交点为H，则四边形BCDH和四边形MNHD是矩形. ∴CD＝BH，BC＝DH＝MN＝1.2 m，NH＝DM＝1 m，∴EH＝DE－DH＝0.9 m.设AB＝x m，则AC＝AB＋BC＝(1.2＋x)m，由(1)知CD＝CA，∴BH＝CD＝AC＝(1.2＋x)m.∴NB＝BH＋NH＝(2.2＋x)m.
(3)小红通过间接测量得到CD的长，进而求出纪念碑AB的高度约为18.5 m.查阅资料得知，纪念碑的实际高度为19.64 m. 请判断小红的结果和(2)中的结果哪个误差较 大？并分析误差较大的可能原因(写出一条即可).
解：纪念碑的实际高度为19.64 m，小红求出纪念碑AB的高度约为18.5 m， (2)中纪念碑AB的高度为19.8 m，∴小红的结果误差较大．理由：纪念碑AB位于有台阶的平台BC上，点C的位置无法准确定位，使得CD的长存在误差，影响计算结果. (答案不唯一，合理即可)
5. 在如图所示的正方形网格中有许多三角形. 在△BDE，△BCD，△FGH，△BFG中，与△ABC不相似的是______.
7. 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛(竖直放置)AB经小孔O在屏幕(竖直放置)上成像A′B′.已知AB＝36 cm，A′B′＝24 cm，小孔O到AB的距离为30 cm，则小孔O到A′B′的距离为______cm.
8. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点G是△ABC的重心，GE⊥AC，垂足为E，若GE＝3，则线段CB的长度为_______.
9. 如图，在△ABC中，AC＝2，AB＝3，直线CM∥AB，E是BC上的动点(端点除外)，射线AE交CM于点D.在射线AE上取一点P，使得AP＝2ED，作PQ∥AB，交射线AC于点Q.设AQ＝x，PQ＝y.当x＝y时，CD＝_____；在点E运动的过程中，y关于x的函数表达式为__________.
10. [中考·扬州]如图，在ABCD中，对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点E，F．
(1)求证：四边形AFCE是菱形；
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AEO＝∠CFO．∵对角线AC的垂直平分线是EF，∴AO＝OC, EA＝EC.又∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF，∴AE＝CF．∴四边形AFCE是平行四边形．又∵EA＝EC，∴四边形AFCE是菱形．
(2)若AB＝3，BC＝5，CE平分∠ACD，求DE的长．
11. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的 高，G是DC延长线上一点，过点B作BE⊥AG，垂足为 E，交CD于点F.求证：CD2＝DF·DG.
12. “准、绳、规、矩”是我国古代使用的测量工具，一个简单结构的“矩”指两条边成直角的曲尺(如图①)，它的两条边长分别是a，b，把“矩”竖立放置可以测量物体的高度，
如图②，从“矩”EFG的一端E处望向一根木杆(木杆的宽度忽略不计)的顶端B处，使视线通过“矩”的另一端G处(即B，G，E在一条直线上)，“ 矩”的一边EF的延长线与木杆AB垂直，垂足为C，测得DE＝1.6 m，AD＝4 m，已知“矩”的边EF＝1.4 m，FG＝0.7 m，BA⊥AD，DE⊥AD，图中所有点均在同一平面内，求木杆的高度AB.
13. [江门广雅中学自主招生]如图，已知正方形ABCD经过旋转形成正方形EFGH，两正方形的交点形成八条线段 a，b，c，d，e，f，g，h.求证：a2＋c2＋e2＋g2＝b2＋ d2＋f2＋h2.
证明：如图，记△GON的面积为S1，△CNM的面积为S2，△FML的面积为S3，….∵正方形ABCD经过旋转形成正方形EFGH，∴S正方形ABCD＝S正方形EFGH，∴S6＋S4＋S2＋S8＋S公共＝S5＋S3＋S1＋S7＋S公共，∴S6＋S4＋S2＋S8＝S5＋S3＋S1＋S7.∵四边形ABCD和四边形EFGH均为正方形，∴∠A＝∠E＝90°，
又∵∠IJA＝∠KJE,∴△JIA∽△JKE,∴易得△JIA∽ △JKE∽△LKB∽△LMF∽△NMC∽△NOG∽△POD∽ △PIH,∴S6∶S5∶S4∶S3∶S2∶S1∶S8∶S7＝f2∶e2∶d2∶ c2∶b2∶a2∶h2∶g2,令S6＝f2k，则S5＝e2k, S4＝d2k, S3＝c2k, S2＝b2k, S1＝a2k,S8＝h2k, S7＝g2k,∴k(f2＋d2＋b2＋h2)＝k(e2＋c2＋a2＋g2),∴a2＋c2＋e2＋g2＝b2＋d2＋f2＋h2.
14. [中考·武汉]如图，四边形ABCD是正方形，点E在边CD上，点F在边BC的延长线上，DE＝CF，射线AE交对角线BD于点G，交线段DF于点H.
(1)求证：DH＝GH．(温馨提示：若思考有困难，可尝试证明△ADE≌△DCF)
证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC,∠ADC＝∠BCD＝90°,∠ADB＝∠CDB＝45°.∴∠DCF＝90°＝∠ADC．又∵DE＝CF，∴△ADE≌△DCF．∴∠DAE＝∠CDF．∴∠EAD＋∠ADB＝∠CDF＋∠CDB，∴∠HDG＝∠HGD．∴DH＝GH．
(2)求证：AG·EH＝EG·GH.