数学九年级上册（2024）4. 相似三角形的应用教学设计

这是一份数学九年级上册（2024）4. 相似三角形的应用教学设计，共13页。教案主要包含了教学目标，教学过程，板书设计等内容，欢迎下载使用。
1.运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度；(重点)
2.灵活运用三角形相似的知识解决实际问题.(难点)
3.了解三角形的重心，掌握相似与几何的综合应用.
【教学过程】
一、情境导入
胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为“世界古代七大奇观之一” .在古希腊，有一位伟大的科学家叫泰勒斯.一天，希腊国王阿马西斯对他说：“听说你什么都知道，那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧！”这在当时条件下是个大难题，因为是很难爬到塔顶的.你知道泰勒斯是怎样测量金字塔的高度的吗？
二、合作探究
探究点一：相似三角形的应用
【类型一】 利用影子的长度测量物体的高度
如图，某一时刻一根2m长的竹竿EF的影长GE为1.2m，此时，小红测得一棵被风吹斜的柏树与地面成30°角，树顶端B在地面上的影子点D与B到垂直地面的落点C的距离是3.6m，求树AB的长.
解析：先利用△BDC∽△FGE得到eq \f(BC,3.6)＝eq \f(2,1.2)，可计算出BC＝6m，然后在Rt△ABC中利用含30度的直角三角形三边的关系即可得到AB的长.
解：如图，CD＝3.6m，∵△BDC∽△FGE，∴eq \f(BC,CD)＝eq \f(EF,GE)，即eq \f(BC,3.6)＝eq \f(2,1.2)，∴BC＝6m.在Rt△ABC中，∵∠A＝30°，∴AB＝2BC＝12m，即树长AB是12m.
方法总结：解答此类问题时，首先要把实际问题转化为数学问题.利用相似三角形对应边成比例建立相等关系求解.
【类型二】 利用镜子的反射测量物体的高度
小红用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度.如图，在水平地面点E处放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离AE＝20m.当她与镜子的距离CE＝2.5m时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B.已知她的眼睛距地面高度DC＝1.6m，请你帮助小红测量出大楼AB的高度(注：入射角＝反射角).
解析：根据物理知识得到∠BEA＝∠DEC，所以可得△BAE∽△DCE，再根据相似三角形的性质解答.
解：如图，∵根据光的反射定律知∠BEA＝∠DEC，∵∠BAE＝∠DCE＝90°，∴△BAE∽△DCE，∴eq \f(AB,DC)＝eq \f(AE,EC).∵CE＝2.5m，DC＝1.6m，∴eq \f(AB,1.6)＝eq \f(20,2.5)，∴AB＝12.8，∴大楼AB的高度为12.8m.
方法总结：解本题的关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程.解题时要灵活运用所学各学科知识.
【类型三】 利用标杆测量物体的高度
如图，某一时刻，旗杆AB影子的一部分在地面上，另一部分在建筑物的墙面上.小明测得旗杆AB在地面上的影长BC为9.6m，在墙面上的影长CD为2m.同一时刻，小明又测得竖立于地面长1m的标杆的影长为1.2m.请帮助小明求出旗杆的高度.
解析：根据在同一时刻物高与影长成正比例，利用相似三角形的对应边成比例解答即可.
解：如图，过点D作DE∥BC，交AB于E，∴DE＝CB＝9.6m，BE＝CD＝2m，∵在同一时刻物高与影长成正比例，∴EA∶ED＝1∶1.2，∴AE＝8m，∴AB＝AE＋EB＝8＋2＝10m，∴学校旗杆的高度为10m.
方法总结：利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆(或直尺)的高(长)作为三角形的边构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度.
【类型四】 利用相似三角形的性质设计方案测量高度
星期天，小丽和同学们在碧沙岗公园游玩，他们来到1928年冯玉祥将军为纪念北伐军阵亡将士所立的纪念碑前，小丽问：“这个纪念碑有多高呢？”请你利用初中数学知识，设计一种方案测量纪念碑的高度(画出示意图)，并说明理由.
解析：设计相似三角形，利用相似三角形的性质求解即可.在距离纪念碑AB的地面上平放一面镜子E，人退后到D处，在镜子里恰好看见纪念碑顶A.若人眼距地面距离为CD，测量出CD、DE、BE的长，就可算出纪念碑AB的高.
解：设计方案例子：如图，在距离纪念碑AB的地面上平放一面镜子E，人退后到D处，在镜子里恰好看见纪念碑顶A.若人眼距地面距离为CD，测量出CD、DE、BE的长，就可算出纪念碑AB的高.
理由：测量出CD、DE、BE的长，因为∠CED＝∠AEB，∠D＝∠B＝90°，易得△ABE∽△CDE.根据eq \f(CD,AB)＝eq \f(DE,BE)，即可算出AB的高.
方法总结：解题的关键是根据相似三角形的性质设计出具体图形，将实际问题抽象出数学问题求解.
探究点二：相似三角形与几何的综合应用
【类型一】 相似三角形与直角三角形
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，AB=4，BD=3，则BC的长为（ ）
A. B.4 C.5 D.
解析：∵Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，AB=4，BD=3，根据射影定理得出AB2=BD•BC，∴16=3BC，∴BC=，故选D.
方法总结：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：
①AD2=BD•DC；②AB2=BD•BC；AC2=CD•BC.
【类型二】 三角形的重心
如图，△ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点，AD、CE相交于G.求证：==.
解析：根据三角形重心的性质解答即可，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1
证明：∵如图，△ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点，
∴点G是△ABC的重心，
∴==2，
∴==.
方法总结：三角形重心的性质：①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等.③重心到三角形3个顶点距离的和最小.（等边三角形）
【板书设计】
1.利用相似三角形测量物体的高度；
2.利用相似三角形测量河的宽度；
3.设计方案测量物体高度；
4.相似三角形与几何的综合应用：①射影定理；②三角形的重心.